微分方程y''±196y=±9x±280sin16x符號(hào)變化對(duì)通解的影響主要內(nèi)容：根據(jù)二階常系數(shù)非齊次線性方程的求解法則，本文以y''+196y=9x+280sin16x,y''+196y=9x-280sin16x,y''-196y=9x-280sin16x，y''-196y=9x+280sin16x,y''+196y=-9x+280sin16x,y''+196y=-9x-280sin16x,y''-196y=-9x-280sin16x，y''-196y=-9x+280sin16x,共八個(gè)微分方程為例，介紹運(yùn)算符號(hào)對(duì)微分方程通解的影響。微分方程y''+196y=9x+280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''+196y=9x+280sin16x的特征方程為：r2+196=0，即：r=±14i，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+196y=0的通解y1為：y1=C1cos14x+C2sin14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=9x+280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=9x+280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=9，a2=0，(196-162)a3=280,解出：a1=eq\f(9,196)，a2=0，a3=-eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1cos14x+C2sin14x+eq\f(9,196)x-eq\f(14,3)sin16x。微分方程y''+196y=9x-280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''+196y=9x-280sin16x的特征方程為：r2+196=0，即：r=±14i，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+196y=0的通解y1為：y1=C1cos14x+C2sin14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=9x-280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=9x-280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=9，a2=0，(196-162)a3=-280,解出：a1=eq\f(9,196)，a2=0，a3=eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1cos14x+C2sin14x+eq\f(9,196)x+eq\f(14,3)sin16x。微分方程y''-196y=9x-280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''-196y=9x-280sin16x的特征方程為：r2-196=0，即：r=±14，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''-196y=0的通解y1為：y1=C1e14x+C2e-14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=9x-280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=9x-280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=9，a2=0，(196-256)a3=-280,解出：a1=eq\f(9,196)，a2=0，a3=eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1e14x+C2e-14x+eq\f(9,196)x+eq\f(14,3)sin16x。微分方程y''-196y=9x+280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''-196y=9x+280sin16x的特征方程為：r2-196=0，即：r=±14，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''-196y=0的通解y1為：y1=C1e14x+C2e-14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=9x+280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=9x+280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=9，a2=0，(196-256)a3=280,解出：a1=eq\f(9,196)，a2=0，a3=-eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1e14x+C2e-14x+eq\f(9,196)x-eq\f(14,3)sin16x。微分方程y''+196y=-9x+280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''+196y=-9x+280sin16x的特征方程為：r2+196=0，即：r=±14i，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+196y=0的通解y1為：y1=C1cos14x+C2sin14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=9x+280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=-9x+280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=-9，a2=0，(196-162)a3=280,解出：a1=-eq\f(9,196)，a2=0，a3=-eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1cos14x+C2sin14x-eq\f(9,196)x-eq\f(14,3)sin16x。微分方程y''+196y=-9x-280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''+196y=-9x-280sin16x的特征方程為：r2+196=0，即：r=±14i，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+196y=0的通解y1為：y1=C1cos14x+C2sin14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=-9x-280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=-9x-280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=-9，a2=0，(196-162)a3=-280,解出：a1=-eq\f(9,196)，a2=0，a3=eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1cos14x+C2sin14x-eq\f(9,196)x+eq\f(14,3)sin16x。微分方程y''-196y=-9x-280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''-196y=-9x-280sin16x的特征方程為：r2-196=0，即：r=±14，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''-196y=0的通解y1為：y1=C1e14x+C2e-14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=9x-280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=-9x-280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=-9，a2=0，(196-162)a3=-280,解出：a1=-eq\f(9,196)，a2=0，a3=eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1e14x+C2e-14x-eq\f(9,196)x+eq\f(14,3)sin16x。微分方程y''-196y=-9x+280sin16x通解的計(jì)算解：微分方程y''-196y=-9x+280sin16x的特征方程為：r2-196=0，即：r=±14，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''-196y=0的通解y1為：y1=C1e14x+C2e-14x.設(shè)所求微分方程的特解y2=a1x+a2cos16x+a3sin16x,則：y′=a1-16a2sin16x+16a3cos16x,y''=-162a2cos16x-162a3sin16x,代入微分方程得：-162a2cos16x-162a3sin16x+196a1x+196a2cos16x+196a3sin16x=-9x+280sin16x，196a1x+(196-162)a2cos16x+(196-162)a3sin16x=-9x+280sin16x，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得：196a1=-9，a2=0，(196-162)a3=280,解出：a1=-eq\f(9,196)，a2=0，a3=-eq\f(14,3)，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1e14x+C2e-14x-eq\f(9,196)x-eq\f(14,3)sin16x。