第33頁（共33頁）2026年菁優(yōu)高考數學解密之相等關系與不等關系一．選擇題（共10小題）1．（2025?宜昌校級模擬）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2） D．（0，2）2．（2025?德州模擬）若實數x，y，z滿足x+y+z＝0，且x＞y＞z，則yxA．(-55，55C．(-12，12) 3．（2025?西城區(qū)一模）已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|lgx＞0}，那么集合A∪B＝（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，+∞）4．（2025?新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}5．（2025?金山區(qū)二模）已知a∈R，則下列結論不恒成立的是（）A．a+1＞a B．a+1a≥2 C．|1﹣a|+|a+2|≥3 D．a2+6．（2025?福州模擬）已知﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，則3a+b的取值范圍是（）A．[﹣3，0] B．[﹣5，3] C．[﹣5，0] D．[﹣2，5]7．（2025?北京）已知a＞0，b＞0，則（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．8．（2025?福州模擬）若x＞0，y＞0且x+y＝xy，則xxA．3 B．52+6 C．3+69．（2025?新疆校級一模）已知x∈（0，+∞），則y=2A．3 B．4 C．32 D．10．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）下列命題中正確的是（）A．若ac2＞bc2，則|a|＞|b| B．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d C．若a＞b，則1aD．若a＞b＞0，c＜d＜0，則a二．多選題（共6小題）（多選）11．（2025?重慶校級模擬）已知x，y均為正數，且x+4y＝xy，則下列選項正確的有（）A．xy≥16 B．4x+y≥25 C．1x-4+1y-（多選）12．（2025?浙江三模）已知a＞0，b＞0，則下列說法正確的是（）A．若ab＝a+b+3，則ab≥9 B．a2+4C．若a+b＝9，則36a+aD．若a+5b≤k（多選）13．（2025?遼寧模擬）設正實數m，n滿足m+n＝2，則（）A．1m+2B．m+n的最大值為C．mn的最大值為14D．m2+n2的最小值為1（多選）14．（2025?丹東模擬）設正實數x，y滿足x+y＝2，則（）A．xy有最大值為1 B．x2+y2有最小值為4 C．4yx+D．x+3+（多選）15．（2025?濱?？h校級模擬）已知a＞b＞0，c為實數，則下列不等式正確的是（）A．a3＞b3 B．ac2＞bc2 C．ab+ba＞2 D．a﹣sin（多選）16．（2025?自流井區(qū)校級二模）設正實數m、n滿足m+n＝2，則下列說法正確的是（）A．nm+2n的最小值為3 B．C．m+n的最小值為2 D．m2+n2三．填空題（共5小題）17．（2025?歷下區(qū)校級模擬）設函數f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），其中0＜a＜b＜c，若f（x﹣1）?f（4﹣x）≤0，則2ba+4ac的最小值18．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）關于x的不等式x-1x-2≤019．（2025?黃浦區(qū)校級三模）不等式x-1x2-4x20．（2025?甘谷縣校級模擬）若不等式|ax3+（a+b）x﹣a|≤x對x∈[1，2]恒成立，則8a+b的最大值為．21．（2025?河東區(qū)一模）已知a，b∈R+，a+2b＝1，則2a+2+1b+1的最小值為四．解答題（共4小題）22．（2022?花山區(qū)校級模擬）已知正數a，b，c滿足a+b+c＝2．（1）若c＝1，證明：a+（2）求a223．（2022?建水縣校級模擬）已知函數f（x）=|x+3|+|（1）求實數m的范圍；（2）若m的最大值為n，當正數a，b滿足4a+5b+13a24．（2022?蘇仙區(qū)校級模擬）閱讀下列材料：對于兩個正數a和b，我們有多種不同的方式來定義不同的平均值．利用加法，令a+b＝x+x，可得x=a+b2，稱a+b2為a，b的算術平均值，這是因為我們可以在一條直線上順次取三點A，B，C，使AB＝a，BC＝b，取A，C的中點O，則點O分別到A，C利用乘法，令a?b＝y(tǒng)?y，可得y=ab，稱ab為a，b的幾何平均值，這是因為我們可以作出一個正方形，使其與長和寬分別為a，b的矩形面積相等，這個正方形的邊長就是ab．其實還有其他的方式來定義a，b的平均值，如將a，b先取倒數為1a和1b，求其算術平均值為1a+1b2，再取倒數得21a+1b，即2如圖所示，以線段AB為直徑作圓O，在線段AB上取點C使AC＝a，CB＝b，不妨設a≥b＞0．過C作AB的垂線交圓于點D，連接DO，作CE⊥DO于點E．其中表示算術平均值的線段為OA和OB，表示幾何平均值的線段是CD．（1）通過計算判斷在線段OC、CE、DE中表示a，b的調和平均值的線段是哪條？并由圖直觀比較a，b的調和平均值與幾何平均值的大小；（2）類似地，對于三個正數a，b，c的算術平均數a+b+c3和幾何平均數3abc，有不等關系：a+b+c3≥3abc成立，當且僅當a＝25．（2022?全國四模）已知不等式ax2﹣（a+2）x+b＞0的解集為A，a，b∈R．（1）若A＝{x|x＜1，或x＞2}，求|x﹣a|+|x+b|的最小值；（2）若b＝2，且2∈A，求3+a

2026年菁優(yōu)高考數學解密之相等關系與不等關系參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BAACBCCDAD二．多選題（共6小題）題號111213141516答案ABCACABACDACABD一．選擇題（共10小題）1．（2025?宜昌校級模擬）已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2） D．（0，2）【考點】指、對數不等式的解法；求集合的交集．【專題】轉化思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】B【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解．【解答】解：因為集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝（0，1）．故選：B．【點評】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．2．（2025?德州模擬）若實數x，y，z滿足x+y+z＝0，且x＞y＞z，則yxA．(-55，55C．(-12，12) 【考點】等式與不等式的性質．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】A【分析】將y換成用x，z表示，從而將yx2+z2平方表示成(yx2+z2)2=1+2zx【解答】解：因為x＞y＞z，x+y+z＝0，所以y＝﹣（x+z）且x＞﹣（x+z）＞z，故-2＜zx＜所以-5故-1≤所以(y所以yx故選：A．【點評】本題主要考查了不等式性質的應用，屬于中檔題．3．（2025?西城區(qū)一模）已知集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|lgx＞0}，那么集合A∪B＝（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（1，+∞）【考點】指、對數不等式的解法；求集合的并集．【專題】轉化思想；轉化法；集合；運算求解．【答案】A【分析】解出集合A，B，再結合并集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|lgx＞0}＝{x|x＞1}，則A∪B＝（﹣2，+∞）．故選：A．【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．4．（2025?新高考Ⅱ）不等式x-4A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}【考點】分式不等式．【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】移項通分化簡后轉化為一元二次不等式，求解即可．【解答】解：因為x-4x-所以x-4-2(x所以(x+2)(x-1)≤0x所以x-4x-1≥2的解集為{x|故選：C．【點評】本題考查分式不等式的求解，屬于基礎題．5．（2025?金山區(qū)二模）已知a∈R，則下列結論不恒成立的是（）A．a+1＞a B．a+1a≥2 C．|1﹣a|+|a+2|≥3 D．a2+【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】B【分析】根據已知條件，結合不等式的性質，絕對值三角不等式，即可求解．【解答】解：a+1＞a顯然成立，故A不符合題意，當a＜0時，a+1a＜0，故|1﹣a|+|a+2|≥|1﹣a+a+2|＝3，當且僅當（1﹣a）（a+2）≥0時，等號成立，故C不符合題意，a2+a故選：B．【點評】本題主要不等式的應用，屬于基礎題．6．（2025?福州模擬）已知﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，則3a+b的取值范圍是（）A．[﹣3，0] B．[﹣5，3] C．[﹣5，0] D．[﹣2，5]【考點】等式與不等式的性質．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】C【分析】根據不等式的性質求解．【解答】解：因為3a+b＝2（a+b）+（a﹣b），又﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，所以﹣6≤2（a+b）≤﹣4，即﹣5≤2（a+b）+a﹣b≤0，所以3a+b的取值范圍是[﹣5，0]．故選：C．【點評】本題主要考查了不等式性質的應用，屬于基礎題．7．（2025?北京）已知a＞0，b＞0，則（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據重要不等式及基本不等式，即可求解．【解答】解：因為a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立，所以A選項錯誤；取a=b=13，則1a因為a+b≥2因為1a+1故選：C．【點評】本題考查重要不等式及基本不等式的應用，屬基礎題．8．（2025?福州模擬）若x＞0，y＞0且x+y＝xy，則xxA．3 B．52+6 C．3+6【考點】基本不等式及其應用．【專題】計算題；轉化思想；轉化法；不等式；運算求解．【答案】D【分析】先把x+y＝xy轉化為1x+1y=1，再將x【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y＝xy，∴1x+∴xx-1+2yy-1=xy-x+2xy-2y(當且僅當2xy=yx，即x＝1+2故xx-1+故選：D．【點評】本題考查了基本不等式求最值的問題，考查了學生的運算轉化能力，屬于中檔題．9．（2025?新疆校級一模）已知x∈（0，+∞），則y=2A．3 B．4 C．32 D．【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】A【分析】根據給定條件，利用基本不等式求出最小值．【解答】解：因為x∈（0，+∞），y=2當且僅當2x+1=4故選：A．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．10．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）下列命題中正確的是（）A．若ac2＞bc2，則|a|＞|b| B．若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d C．若a＞b，則1aD．若a＞b＞0，c＜d＜0，則a【考點】不等關系與不等式；等式與不等式的性質．【專題】對應思想；定義法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據不等式的性質可解．【解答】解：對于A，若ac2＞bc2，則a＞b，不能得到|a|＞|b|，故A錯，對于B，若a＞b，c＞d，則﹣c＜﹣d，則不能得到a﹣c＞b﹣d，故B錯，對于C，若a＞b，取a＝0時，1a無意義，故C對于D，若a＞b＞0，c＜d＜0，則ac＜bd，兩邊同時除以bc＞0，則ad＜b故選：D．【點評】本題考查不等式的性質，屬于基礎題，二．多選題（共6小題）（多選）11．（2025?重慶校級模擬）已知x，y均為正數，且x+4y＝xy，則下列選項正確的有（）A．xy≥16 B．4x+y≥25 C．1x-4+1y-【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】ABC【分析】利用基本不等式逐項判斷可得答案．【解答】解：對于A，因為x，y均為正數，且x+4y＝xy，可得xy≥2x?4y，解得當且僅當x＝4y即x＝8，y＝2時等號成立，故A正確；對于B，由x+4y＝xy可得y=xx-4＞0所以4x+y＝4x+4x-4+1＝4（x﹣4）+4x-當且僅當4(x-4)=4x-4對于C，由x+4y＝xy得xy﹣x﹣4y+4＝4，即（x﹣4）（y﹣1）＝4，可得14（x﹣4）（y﹣1）＝1由于x＞4，所以x﹣4＞0，y﹣1＞0，所以1x-4+1y-1=（1x-4=14（2+y-1x-4當且僅當y-1x-4=x-4y-對于D，x+y＝x+4x-4+1＝（x﹣4）+4當且僅當x-4=4x-4即故選：ABC．【點評】本題考查基本不等式的性質的應用及基本不等式形式的化簡，屬于基礎題．（多選）12．（2025?浙江三模）已知a＞0，b＞0，則下列說法正確的是（）A．若ab＝a+b+3，則ab≥9 B．a2+4C．若a+b＝9，則36a+aD．若a+5b≤k【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】AC【分析】選項A直接用基本不等式即可判斷對錯；B用對勾函數性質判斷；C常數代換再用基本不等式判斷；D不等式恒成立轉化為求函數最值確定對錯．【解答】解：分析A選項，由已知a+b＝ab﹣3，因為a＞0，b＞所以ab-3≥2ab，不等式變形(所以ab≥3，即ab≥9，故A分析B選項，a2+4而a2+3=4a2+3無解，故分析C選項，由a+b＝9，得36=4+(4當且僅當4ba=ab即a=2b時等號成立（有最小值8，故選項C正確．分析D選項，a+5b≤ka+b恒成立，a＞0即k≥(a+=1+4令t=ab（t＞0再令m＝4+25t（m＞4），則t=m-=1+20mm2-8m+36=1+20m+36m-8，由基本不等式m+36故選：AC．【點評】本題考查基本不等式求最值，屬于基礎題．（多選）13．（2025?遼寧模擬）設正實數m，n滿足m+n＝2，則（）A．1m+2B．m+n的最大值為C．mn的最大值為14D．m2+n2的最小值為1【考點】運用基本不等式求最值．【專題】對應思想；定義法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】AB【分析】利用基本不等式結合相關變式即可求解．【解答】解：設正實數m，n滿足m+n＝2，則1m當且僅當nm=2mn由(m當且僅當m＝n＝1時等號成立，則m+n的最大值為2，故由mn≤(m+n2)則mn的最大值為1，故C錯誤；由m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn≥4﹣2×1＝2，當且僅當m＝n＝1時等號成立，則m2+n2的最小值為2，故D錯誤．故選：AB．【點評】本題考查基本不等式相關知識，屬于中檔題．（多選）14．（2025?丹東模擬）設正實數x，y滿足x+y＝2，則（）A．xy有最大值為1 B．x2+y2有最小值為4 C．4yx+D．x+3+【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】ACD【分析】由基本不等式結合題意可判斷選項正誤．【解答】解：對于A，因為正實數x，y滿足x+y＝2，由基本不等式可得2＝x+y≥2xy，可得xy≤1，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時取等號，故A正確；對于B，因為x2+可得x2+y2≥(x+y)22=222=對于C，因為正實數x，y滿足x+y＝2可得，4yx+則x＝2y，即x=43對于D，(x又(x+3)(y+4)≤(x+y+7)24=814，則、當且僅當（x故選：ACD．【點評】本題考查基本不等式的性質的應用，屬于中檔題．（多選）15．（2025?濱?？h校級模擬）已知a＞b＞0，c為實數，則下列不等式正確的是（）A．a3＞b3 B．ac2＞bc2 C．ab+ba＞2 D．a﹣sin【考點】不等關系與不等式．【專題】轉化思想；轉化法；不等式；運算求解．【答案】AC【分析】對A，由不等式的性質可得；對B，取c＝0即可得；對C，由基本不等式可得；對D，設f（x）＝x﹣sinx，根據函數的單調性可得．【解答】解：對于A，因為a＞b＞0，所以a3＞b3，故A正確；對于B，若c＝0，所以ac2＝bc2，故B錯誤；對于C，因為a＞b＞0，所以ab+b對于D，設f（x）＝x﹣sinx，f′（x）＝1﹣cosx≥0，所以函數f（x）在R上單調遞增，又a＞b＞0，所以a﹣sina＞b﹣sinb，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查不等關系和不等式，屬于基礎題．（多選）16．（2025?自流井區(qū)校級二模）設正實數m、n滿足m+n＝2，則下列說法正確的是（）A．nm+2n的最小值為3 B．C．m+n的最小值為2 D．m2+n2【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】ABD【分析】由已知結合基本不等式及相關變形，結論分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為m＞0，n＞0，所以nm+2n當且僅當nm=mn且m+n＝2即m＝n＝1時取等號，此時取得最小值由mn≤(m+n2)2=1，當且僅當m＝n＝1(m+n)2=m+n+2mn=2+2mn≤2+m+n＝故m+n≤2即最大值為2m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn≥4-2×(m+n2)2=2，當且僅當m＝n故選：ABD．【點評】本題主要考查了基本不等式及結論的應用，屬于基礎試題．三．填空題（共5小題）17．（2025?歷下區(qū)校級模擬）設函數f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），其中0＜a＜b＜c，若f（x﹣1）?f（4﹣x）≤0，則2ba+4ac的最小值【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解．【答案】5【分析】構建g（x）＝﹣f（4﹣x），根據題意分析可知y＝f（x﹣1）的零點與y＝g（x）的零點相同，進而可得2b＝a+c＝3，結合基本不等式即可得結果．【解答】解：令g（x）＝﹣f（4﹣x）＝﹣（4﹣x﹣a）（4﹣x﹣b）（4﹣x﹣c）＝（x+a﹣4）（x+b﹣4）（x+c﹣4），因為f（x）的零點為a，b，c，可知y＝f（x﹣1）的零點為a+1，b+1，c+1，y＝g（x）的零點為4﹣a，4﹣b，4﹣c，又0＜a＜b＜c，則1＜a+1＜b+1＜c+1，4＞4﹣a＞4﹣b＞4﹣c，若f（x﹣1）?f（4﹣x）＝f（x﹣1）?[﹣g（x）]≤0，則f（x﹣1）?g（x）≥0，可知y＝f（x﹣1）的零點與y＝g（x）的零點相同，則a+1=4-cb+1=4-bc+1=4-a，可得2則2b當且僅當ca=4ac，即c＝故答案為：5．【點評】本題主要考查了函數性質在零點求解中的應用，還考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題．18．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）關于x的不等式x-1x-2≤0的解集為【考點】分式不等式．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】應用分式不等式轉化為一元二次不等式計算求解．【解答】解：x-則(x-1)(x-2)≤0所以不等式的解集為[1，2）．故答案為：[1，2）．【點評】本題主要考查分式不等式的求解，屬于基礎題．19．（2025?黃浦區(qū)校級三模）不等式x-1x2-4x+5＞【考點】分式不等式．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】把分式不等式轉化為二次不等式即可求解．【解答】解：因為x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1＞0恒成立，由x-1x2-4x+5＞1可得x即x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．故答案為：（2，3）．【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎題．20．（2025?甘谷縣校級模擬）若不等式|ax3+（a+b）x﹣a|≤x對x∈[1，2]恒成立，則8a+b的最大值為3．【考點】等式與不等式的性質；絕對值不等式．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；運算求解．【答案】3．【分析】根據已知條件，先對原式變形，再結合換元法，即可求解．【解答】解：由|ax3+（a+b）x﹣a|≤x可得|a令t=x2+1-1x，x∈所以﹣1≤a+b≤1，-1≤故8a+b=2(9故8a+b的最大值為3．故答案為：3．【點評】本題主要考查不等式的性質，屬于基礎題．21．（2025?河東區(qū)一模）已知a，b∈R+，a+2b＝1，則2a+2+1b+1的最小值為【考點】基本不等式及其應用．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式；運算求解．【答案】85【分析】由a+2b＝1可得（a+2）+（2b+2）＝5，整理得2a+2+1b【解答】解：因為a+2b＝1，所以（a+2）+（2b+2）＝5．所以2=1當且僅當a=12，b故答案為：85【點評】本題主要考查不等式的性質、利用基本不等式求最值等知識，屬于基礎題．四．解答題（共4小題）22．（2022?花山區(qū)校級模擬）已知正數a，b，c滿足a+b+c＝2．（1）若c＝1，證明：a+（2）求a2【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）詳見解答過程；（2）22．【分析】（1）由題意可得a+b＝1，結合不等式(a+b)22≤【解答】證明：（1）因為正數a，b，c滿足a+b+c＝2，若c＝1，則a+b＝1，可得(a當且僅當a=b，即所以a+解：（2）因為a2即a2同理可得a2+c所以a2當且僅當a=所以a2+b【點評】本題主要考查了基本不等式在不等式證明及最值求解中的應用，屬于中檔題．23．（2022?建水縣校級模擬）已知函數f（x）=|x+3|+|（1）求實數m的范圍；（2）若m的最大值為n，當正數a，b滿足4a+5b+13a【考點】基本不等式及其應用．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解．【答案】（1）m∈（﹣∞，6]；（2）4a+7b的最小值為32【分析】（1）由題意，得|x+3|+|x﹣3|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣3|）min，利用絕對值不等式的幾何意義可得實數m的范圍；（2）由（1）知n＝6，4a+7b=16（4a+7b）（【解答】解：（1）∵函數的定義域為R，∴|x+3|+|x﹣3|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣3|）min，∵|x+3|+|x﹣3|≥|（x+3）﹣（x﹣3）|＝6，∴（|x+3|+|x﹣3|）min＝6，∴m≤6，即m∈（﹣∞，6]；（2）由（1）知n＝6，4a+7b=16（4a+7b）（=16[（a+5b）+（3a+2b）]（=16（4+1≥16（4+1+24(3a+2b)a+5b∴4a+7b的最小值為32【點評】本題考查了絕對值不等式的性質、函數的定義域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．24．（2022?蘇仙區(qū)校級模擬）閱讀下列材料：對于兩個正數a和b，我們有多種不同的方式來定義不同的平均值．利用加法，令a+b＝x+x，可得x=a+b2，稱a+b2為a，b的算術平均值，這是因為我們可以在一條直線上順次取三點A，B，C，使AB＝a，BC＝b，取A，C的中點O，則點O分別到A，C利用乘法，令a?b＝y(tǒng)?y，可得y=ab，稱ab為a，b的幾何平均值，這是因為我們可以作出一個正方形，使其與長和寬分別為a，b的矩形面積相等，這個正方形的邊長就是ab．其實還有其他的方式來定義a，b的平均值，如將a，b先取倒數為1a和1b，求其算術平均值為1a+1b2，再取倒數得21a+1b，即2如圖所示，以線段AB為直徑作圓O，在線段AB上取點C使AC＝a，CB＝b，不妨設a≥b＞0．過C作AB的垂線交圓于點D，連接DO，作CE⊥DO于點E．其中表示算術平均值的線段為OA和OB，表示幾何平均值的線段是CD．（1）通過計算判斷在線段OC、CE、DE中表示a，b的調和平均值的線段是哪條？并由圖直觀比較a，b的調和平均值與幾何平均值的大小；（2）類似地，對于三個正數a，b，c的算術平均數a+b+c3和幾何平均數3abc，有不等關系：a+b+c3≥3abc成立，當且僅當a＝【考點】基本不等式及其應用．【專題】轉化思想；函數的性質及應用；不等式的解法及應用．【答案】見試題解答內容【分析】（1）直接利用作圖法求出幾何平均數和調和平均數．（2）直接利用代數式的恒等變換和利用均值不等式的應用求出結果【解答】解：（1）設AC＝a，BC＝b，利用射影定理：CD=利用三角形的面積12解得：CE=所以：DE=所以：CD是a和b的幾何平均值，ED是a和b的調和平均值．（2）數y＝x2+2x（x＞=x＝3，當且僅當x＝1時等號成立．故函數的最小值為3．【點評】本題考查的知識要點：代數式的恒等變換，均值不等式的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．25．（2022?全國四模）已知不等式ax2﹣（a+2）x+b＞0的解集為A，a，b∈R．（1）若A＝{x|x＜1，或x＞2}，求|x﹣a|+|x+b|的最小值；（2）若b＝2，且2∈A，求3+a【考點】基本不等式及其應用；一元二次不等式及其應用；等式與不等式的性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（1）|x﹣a|+|x+b|的最小值為3；（2）3+a33【分析】（1）不等式的解可轉化為方程ax2﹣（a+2）x+b＝0的兩個根為1，2，由根與系數的關系求a，b，再利用絕對值的性質求解|x﹣a|+|x+b|的最小值即可；（2）由b＝2，且2∈A，可得a＞1，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）由于不等式的解集為{x|x＜1，或x＞2}，所以1+2=a+2a1×2=ba，可得a＝1，b＝2，即∴|x﹣a|+|x+b|≥|x﹣a﹣（x+b）|＝|a+b|＝3（當且僅當（x﹣a）（x+b）≤0時，等號成立），（2）當b＝2時，不等式為ax2﹣（a+2）x+2＞0，（x﹣1）（ax﹣2）＞0，因為2∈A，b＝2，所以可得a＞1，所以3+a（當且僅當a=36時，等號成立），所以3+【點評】本題考查了二次不等式及二次方程的性質應用，基本不等式的應用，屬于中檔題．

考點卡片1．求集合的并集【知識點的認識】由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或屬于B的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{解：依題意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．2．求集合的交集【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．3．等式與不等式的性質【知識點的認識】1．不等式的基本性質（1）對于任意兩個實數a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且4．不等關系與不等式【知識點的認識】不等關系就是不相等的關系，如2和3不相等，是相對于相等關系來說的，比如42與84就是相等關系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質是做差比較法的依據．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5這個題很典型，考查了不等式和三角函數的相關知識，也體現了一般不等式喜歡與函數聯結的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．5．基本不等式及其應用【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）實例解析例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據的是．A：a，b均為負數，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數的要求是整個式子為正數，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當0＜x解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，y=用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數）相加，而他們的特點是相乘后為常數；最后套用基本不等式定理直接求的結果．【解題方法點撥】基本不等式的應用1、求最值例1：求下列函數的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值．技巧二：湊系數例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當且僅當x＝技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結合函數f（x）＝x+a技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．6．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設計等．例如，求解一個代數式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當且僅當a＝b=1故答案為：6．7．分式不等式【知識點的認識】分式不等式指的是含有分式的數學不等式．解分式不等式時，關鍵是注意分母不為零．【解題方法點撥】將分式不等式轉化為普通不等式，并限定分母部分不為零，找出符合不等式的區(qū)間．綜合各區(qū)間解，寫出最終解集．【命題方向】典型的命題包括解簡單的分式不等式，結合實際應用題解分式不等式，以及分式不等式在函數單調性、最值問題中的應用．求不等式3x解：3x+13-x＞-1可化為2x+4x-3解得