1/14.2指數(shù)函數(shù)（精講）考點一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1-1】下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中一定為指數(shù)函數(shù)的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】形如且為指數(shù)函數(shù)，其解析式需滿足①底數(shù)為大于0，且不等于1的常數(shù)，②系數(shù)為1，③指數(shù)為自變量，所以只有②是指數(shù)函數(shù)，①③④⑤都不是指數(shù)函數(shù)，故選：B.【例1-2】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時，且，所以解得.故選：C【一隅三反】1．函數(shù)，，，，其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，所以和是指數(shù)函數(shù)．故選：B．2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得.故選：C.3.已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，由是指數(shù)函數(shù)，所以，所以，故答案為：.考點二指數(shù)函數(shù)的定義域與值域【例2-1】求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)定義域為，值域為(2)定義域為R，值域為(3)定義域為，值域為(4)定義域為R，值域為【解析】(1)由題意知，∴，∴函數(shù)的定義域為．∵，∴，∴函數(shù)的值域為．(2)由題意知函數(shù)的定義域為R．∵，∴，∴函數(shù)的值域為．(3)由題意知，∴，∴，∴函數(shù)的定義域為．∵，∴，又，∴，∴，∴，∴函數(shù)的值域為．(4)由題意知定義域為R．∵，∴．又，∴函數(shù)的值域為．【例2-2】若函數(shù)f(x)＝的定義域是[1，＋∞)，則a的取值范圍是（

）A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．(2，＋∞)【答案】B【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴當(dāng)a＞1時，x≥1．故函數(shù)定義域為[1，＋∞)時，a＞1．故選：B．【例2-3】若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則原問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，即在恒成立，又當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故實數(shù)的取值范圍是，故選：C．【一隅三反】1．若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方程有解，有解，令，則可化為有正根，則在有解，又當(dāng)時，所以，故選：．2．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為，所以函數(shù)的值域為.故選：C3．函數(shù)（，且）在上的最大值為13，則實數(shù)的值為___________.【答案】或【解析】∵令，則，則，其對稱軸為.該二次函數(shù)在上是增函數(shù).①若，由，得，故當(dāng)，即時，，解得(舍去).②若，由，可得，故當(dāng)，即時，.∴或(舍去).綜上可得或.故答案為：或.4．求下列函數(shù)的定義域、值域.（1）；（2）y=4x-2x+1；（3）；（4）(a為大于1的常數(shù))【答案】（1）R，(0，1)；（2）R，[)；（3），；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)，[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函數(shù)的定義域為R(∵對一切xR，3x≠-1).∵，又∵3x>0，1+3x>1，∴，

∴，∴，∴值域為(0，1).(2)定義域為R，，∵2x>0，

∴即=-1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴函數(shù)的值域為[).(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即函數(shù)的定義域為，值域是.(4)∵，解之得(-∞，-1)∪[1，+∞)，∴定義域為(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵且，∴且，∴函數(shù)的值域為[1，)∪(，+∞).考點三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性運用【例3-1】若x滿足不等式，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，因為在R上單調(diào)遞增，所以即x2+2x-3≤0，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選:B.【例3-2】已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，，所以，又，∴．故選：C．【例3-3】已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，即，所以，又，所以，而遞增，故故選：D【一隅三反】1．若，則a?b?c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為在上單調(diào)遞增，且，所以，即，因為在上單調(diào)遞減，且，所以，即，所以，即故選：A2.若滿足不等式，則函數(shù)的值域是（） B． C． D．【答案】B【解析】由可得，因為在上單調(diào)遞增，所以即，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選：B.3.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】）因為，當(dāng)時單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，解得，即不等式的解集為故選：A考點四指數(shù)函數(shù)的定點【例4】函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過點___________.【答案】【解析】因為函數(shù)，其中，，令得，把代入函數(shù)的解析式得，所以函數(shù)(且)的圖像必經(jīng)過點的坐標(biāo)為.故答案為：【一隅三反】1．函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)過定點.故選：B2．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)且過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是冪函數(shù)，所以或，又因為該冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以函數(shù)過定點，故選：D3．已知函數(shù)（且），則函數(shù)的圖像恒過定點______．【答案】【解析】由解析式，當(dāng)，即時，所以的圖像恒過定點.故答案為：4．已知無論取何值函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，且在冪函數(shù)的圖象上，則的解析式為__________；【答案】【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，設(shè)冪函數(shù)為，在冪函數(shù)的圖象上，可得：，解得，所以.故答案為：考點五指數(shù)函數(shù)的圖像問題【例5-1】函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)時，的減函數(shù)，且時，，即圖象過點；符合條件的圖象是．故選：A．【例5-2】已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像經(jīng)過（

）．A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限C．第二、四象限 D．第一、二象限【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二象限，又的圖象是由的圖象沿y軸向下平移2個單位得到，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，如圖，故選：B【一隅三反】1．函數(shù)(是自然底數(shù))的大致圖像是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】，函數(shù)為偶函數(shù)，且過，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，故C符合.故選：C.2．如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，時，時，.故選：B.3．在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且圖像恒過定點，此時，則二次函數(shù)的圖像開口向下，頂點坐標(biāo)為，故選項A錯誤，選項B正確；當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，且圖像恒過定點，此時，則二次函數(shù)的圖像開口向上，頂點坐標(biāo)為，故選項C錯誤，選項D錯誤.故選：B.4．若函數(shù)圖象不過第二象限，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)也為增函數(shù)，若圖象不過第二象限，則滿足，則，解得：，所以的取值范圍是.故選：A.考點六指數(shù)函數(shù)的綜合運用【例6】已知函數(shù)．(1)判斷并證明在其定義域上的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增；證明見解析(2)【解析】（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，；，，又，，，在上單調(diào)遞增.（2），為上的奇函數(shù)，由得：，由（1）知：在上單調(diào)遞增，在上恒成立；當(dāng)時，，在上恒成立；令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即實數(shù)的取值范圍為.【一隅三反】1．已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)用定義證明的單調(diào)性．【答案】(1)；(2)在R上單調(diào)遞減，證明見解析【解析】（1）因為是R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，則．又，則，解得，經(jīng)檢驗當(dāng)，時，是奇函數(shù)，所以．（2）證明：由（1）知，對任意的，R，且，有，因為，所以，所以，∴在R上單調(diào)遞減．2．已知定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)有最小正周期2，且當(dāng)時，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)當(dāng)取何值時，方程在上有實數(shù)解.【答案】(1)(2)在上為減函數(shù)，證明見解析；(3)【解析】（1）依題意，是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)，，所以.（2）當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，證明如下：任取，.由于，所以，所以在上為減函數(shù).（3）由（2）可知在上為減函數(shù)，所以，即，由于在上有實數(shù)解，所以.2．已知函數(shù)（a為常數(shù)，且，）．請在下面三個函數(shù)：①；②；③中，選擇一個函數(shù)作為，使得具有奇偶性．(1)請寫出表達式，并求a的值；(2)當(dāng)為奇函數(shù)時，若對任意的，都有成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)若選①：，則，定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，故函數(shù)不能是奇函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，化簡可得，則不為常數(shù)，即函數(shù)不可能為偶函數(shù)，不合乎題意；若選②，，則.若函數(shù)為奇函數(shù)，則，不合乎題意；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，整理可得，則不為常數(shù)，不合乎題意.選③，，則，，當(dāng)為奇函數(shù)，則，即，可得；當(dāng)為偶函數(shù)，則，則，可得；(2)由（1）知，當(dāng)為奇函數(shù)時，，，因為，所以，由于函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，若對于任意的，都有成立，所以，設(shè)，，任取、，且，即，則，，則，，可得，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即.所以的取值范圍是.4.2指數(shù)函數(shù)（精練）1指數(shù)函數(shù)判斷1．下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量，而是的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)，只有規(guī)定且時，才是指數(shù)函數(shù)；④中前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù).故選：D.2．下列是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式可知，為指數(shù)函數(shù)，A、B選項中的函數(shù)均不為指數(shù)函數(shù)，C選項中的底數(shù)的范圍未知，C選項中的函數(shù)不滿足指數(shù)函數(shù)的定義.故選：D.3．下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)【答案】B【解析】A中底數(shù)不滿足大于0且不等于1，故錯誤；B中函數(shù)滿足指數(shù)函數(shù)的形式，故正確；C中系數(shù)不是1，故錯誤；D中指數(shù)部分不是x，故錯誤；故選：B4．在①；②；③；④；⑤中，y是關(guān)于x的指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，知①⑤中的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，②中底數(shù)不是常數(shù)，指數(shù)不是自變量，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中的系數(shù)是-1，所以不是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù)-4﹤0，所以不是指數(shù)函數(shù).故選：B.5．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．a(chǎn)＝1或a＝3 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得．故選：C6．若是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】因為是指數(shù)函數(shù)，所以，解得.故選：C．7．（多選）函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故選：ACD.8．下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是__________(填序號)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解析】①的系數(shù)不是，不是指數(shù)函數(shù)；②的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)；④的底數(shù)是不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；⑤的指數(shù)不是自變量，不是指數(shù)函數(shù)；⑥是冪函數(shù)．故答案為：③9．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為________．【答案】【解析】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，解得.故答案為：.10．已知指數(shù)函數(shù)，則的值是___________.【答案】2.【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為：．2指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1．函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】，解得，即，定義域為，因為，所以，，即值域為．故選：B．2．函數(shù)，的值域是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，則，故選：A.3．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】∵函數(shù)的值域為，又當(dāng)時，，∴，解得.故答案為：.4．設(shè)函數(shù)的最小值為2，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意，函數(shù)的最小值為，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，可得時，函數(shù)有最小值為，則當(dāng)時，函數(shù)，可得函數(shù)滿足，當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，根據(jù)題意可得或，解得或，可得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：5．函數(shù)的值域為____.【答案】【解析】令，函數(shù)化為，即函數(shù)的值域為．故答案為：6．函數(shù)且的值域是，則實數(shù)____.【答案】或【解析】當(dāng)時，函數(shù)且是增函數(shù)，值域是，；當(dāng)時，函數(shù)且是減函數(shù)，值域是，.綜上所述，可得實數(shù)或.故答案為：或7．求下列函數(shù)的定義域與值域．（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定義域是，值域為且.；定義域為，值域為；（3）定義域為，值域為．【解析】（1）因為，所以，故定義域為.設(shè)，因為，所以.因為，，所以且，故值域為且.（2）函數(shù)，，所以定義域為.設(shè)，因為，，所以，故值域為.（3）因為，所以，解得，故定義域為.因為，所以，即，故值域為.8．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)，且時，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)在的最小值為，求實數(shù)的值；【答案】(1)(2)【解析】(1)當(dāng)時，；令，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，的值域為.(2)令，則當(dāng)時，，，對稱軸為；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍）；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍）或；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，，解得：（舍）；綜上所述：.9．已知函數(shù).(1)求的值域；(2)當(dāng)時，的最大值為7，求的值.【答案】(1)(2)或【解析】(1)設(shè)，則.因為，所以，所以，所以，即的值域為.(2)函數(shù)圖象的對稱軸為直線.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，則，解得或（舍去）所以；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，則，解得或（舍去），因為，所以.綜上，或.3指數(shù)函數(shù)單調(diào)性運用1．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，，，又函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以，故，故選:C．2．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為在上為減函數(shù)，且，所以，所以，故選：A3．已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為單調(diào)遞減，所以，，所以.故選：D4.設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，故.故選：B5．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，且冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為所以，即，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為所以，所以，綜上，故選：A.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是增函數(shù)，故，而，故.故選：A.7．比較下列幾組值的大?。?1)和；(2)和；(3)和；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)>(4)【解析】(1)由于，．∵在上為增函數(shù)，且，∴，即；(2)由于．∵在上為減函數(shù)，且，∴；(3)∵在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且，∴，，∴；(4)∵，在上為增函數(shù)，且∴∴．4指數(shù)函數(shù)的定點函數(shù)的圖像恒過定點______.【答案】【解析】，令，得，，函數(shù)的圖象恒過定點，故答案為：.2.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)的圖象上，其中實數(shù)m，n滿足，則的最小值為______．【答案】4【解析】∵函數(shù)且的圖象恒過定點，可得，∵點在一次函數(shù)的圖象上，∴，∵，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；故答案為：43．已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標(biāo)為____________.【答案】【解析】時，，所以函數(shù)圖象恒過定點．故答案為：．4．對于任意實數(shù)，函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過一個定點，則該定點的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】因為函數(shù)圖像可以通過向左平移個單位得，再將圖像上的點向上平移個單位得到，且指數(shù)函數(shù)（且）恒過定點，所以函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點.故答案為：5.函數(shù)的圖象恒過定點_______.【答案】【解析】當(dāng)時，，的圖象恒過定點.故答案為：.5指數(shù)函數(shù)的圖像問題1．函數(shù)（，且）的圖像經(jīng)過第二?三?四象限，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】若，則函數(shù)的圖象必經(jīng)過第一象限，而函數(shù)（，且）的圖像經(jīng)過第二?三?四象限，所以，此時函數(shù)必過第一、二象限，且經(jīng)過定點，若，圖象往上平移，則必過第一、二象限，若，圖象往下平移且經(jīng)過第二?三?四象限，所以．故選：A．2．若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（-∞，-2） B．（-∞，-2]C．（3，+∞） D．[3，+∞）【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.由于將函數(shù)向上或下平移后，得到，而函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，由圖可知，至少要向下平移2個單位，則.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.3.(多選)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．a(chǎn)>1 B．0<a<1C．b>1 D．0<b<1【答案】BD【解析】觀察圖象得，函數(shù)是單調(diào)遞減的，因此，，圖象與y軸交點縱坐標(biāo)有：，而時，，于是得，解得，所以，.故選：BD4．（多選）函數(shù)（，且）的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由題意，，且.對A，根據(jù)圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，但根據(jù)最小值點可知，，矛盾.故A錯誤；對B，根據(jù)圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，根據(jù)最小值點可知，，滿足題意.故B正確；對C，根據(jù)圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，根據(jù)最大值點可知，，滿足題意.故C正確；對D，根據(jù)圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，但根據(jù)最大值點可知，，不合題意.故D錯誤.故選：BC.5．若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)的圖象過點，至少向下平移個單位