答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)江西省南昌市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．2 C． D．12．已知，，，則（）A． B．4 C．1 D．3．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間的是（

）A． B． C． D．4．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，則集合（）A． B． C． D．5．已知平面，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則6．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列，其前n項(xiàng)積是公差為3的等差數(shù)列，則＝（

）A．4 B．3 C． D．7．已知甲、乙、丙、丁四位老師參加青年教師教學(xué)大賽，問(wèn)其比賽結(jié)果，他們回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每個(gè)人的兩個(gè)回答中，都恰有一個(gè)是正確的，而且沒(méi)有并列名次，那么這次比賽獲得第一、二、三、四名依次是（

）A．丙、甲、丁、乙 B．丙、甲、乙、丁 C．甲、乙、丙、丁 D．甲、乙、丁、丙8．，已知，若“”的充要條件是“”，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知P是圓C：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．|OP|的最大值為 B．|OP|的最小值為C．|MN|最大值為6 D．|MN|最小值為210．某電商平臺(tái)為了解用戶對(duì)配送服務(wù)的滿意度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了500名用戶進(jìn)行問(wèn)卷評(píng)分調(diào)查，將評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)按[40，50），[50，60），……，[90，100]分組整理得知如下方頻率分布直方圖，記該樣本的平均數(shù)為，三個(gè)四分位數(shù)分別為a，b，c，則下列判斷正確的是（

）A． B．C．a(chǎn)，b，c成等差數(shù)列 D．11．已知函數(shù)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．有對(duì)稱中心 B．有對(duì)稱軸C．的極小值為 D．三、填空題12．已知，則＝．13．如圖，雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作漸近線的垂線l，垂足為A，且l與另一條漸近線、y軸分別交于B，C，若，則雙曲線的離心率為．

14．如圖，在中，，D，E是線段上的兩個(gè)點(diǎn)，為正三角形，，則．

四、解答題15．已知拋物線C：（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)直線l⊥y軸時(shí)，|AB|＝4．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AB的斜率為1，求△ABO的面積．16．中央政治局會(huì)議指出，要強(qiáng)化科技創(chuàng)新和產(chǎn)業(yè)鏈供應(yīng)鏈韌性，加強(qiáng)基礎(chǔ)研究，推動(dòng)應(yīng)用研究，開(kāi)展補(bǔ)鏈強(qiáng)鏈專項(xiàng)行動(dòng)；加快解決“卡脖子”難題．某科研院所成立攻關(guān)研究小組，準(zhǔn)備攻克一個(gè)“卡脖子”難題，研究分兩個(gè)階段，第一階段研究三個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題，第二階段研究三個(gè)應(yīng)用問(wèn)題．若該攻關(guān)研究小組第一階段內(nèi)能解決這三個(gè)問(wèn)題中的至少兩個(gè)，就可以進(jìn)入第二階段，研究應(yīng)用性問(wèn)題，否則該攻關(guān)研究小組解散．假設(shè)每個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題，該小組在第一階段內(nèi)解決的概率均為0.5，若該攻關(guān)研究小組進(jìn)入了第二階段，每個(gè)應(yīng)用問(wèn)題，該攻關(guān)研究小組能解決的概率均為0.4（假設(shè)各個(gè)階段的每個(gè)問(wèn)題均相互獨(dú)立）．(1)求該攻關(guān)研究小組能進(jìn)入第二階段研究的概率；(2)在該攻關(guān)研究小組進(jìn)入了第二階段研究的前提下，記該攻關(guān)研究小組解決應(yīng)用問(wèn)題的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；(3)第一階段，該攻關(guān)研究小組能獲得1（單位：億元）啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)，第二階段，每解決一個(gè)應(yīng)用問(wèn)題，該攻關(guān)研究小組能獲得5（單位：億元）費(fèi)用．記該攻關(guān)研究小組在這兩階段獲得的總費(fèi)用和為Y（單位：億元）．求隨機(jī)變量Y的期望值．17．已知f（x）＝（a＞0）．(1)討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＞2，求證：f（x）有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)．18．如圖，球O的半徑為4，PQ是球O的一條直徑，C是線段PQ上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C且與PQ垂直的平面與球O的球面交于⊙C，是⊙C的一個(gè)內(nèi)接正六邊形．

(1)若C是OQ的中點(diǎn)．（i）求六棱錐的體積；（ii）求二面角的余弦值；(2)設(shè)的中點(diǎn)為M，求證：tan∠MPQ·tan∠MQP為定值．《江西省南昌市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案ABBDCCABABCBD題號(hào)11答案BCD1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求解.【詳解】因?yàn)椋?，故選：A.2．B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和向量的數(shù)量積進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?所以.故選：B.3．B【分析】先求出，再令求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再賦值即可判斷.【詳解】，令，則，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是，故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B4．D【分析】由條件結(jié)合關(guān)系，求出，由此可求.【詳解】因?yàn)?，又，，所以，又，所以，故選：D.5．C【分析】根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)、平行性的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，也可以滿足，，因此本選項(xiàng)結(jié)論不正確；B：當(dāng)時(shí)，直線可以是異面直線，因此本選項(xiàng)結(jié)論不正確；C：設(shè)過(guò)直線的平面與平面相交于直線，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，因?yàn)?，且，所以，而，所以，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；D：當(dāng)時(shí)，可以成立，所以本選項(xiàng)結(jié)論不正確，故選：C6．C【分析】根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)積為等差數(shù)列，得等差數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而得所求項(xiàng).【詳解】因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)為1，且其前n項(xiàng)積是公差為3的等差數(shù)列.所以，令，得.所以數(shù)列是公差為3，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.故，即.所以.故選：C.7．A【分析】根據(jù)三人的回答中各有一個(gè)正確，分別對(duì)甲的回答中正確說(shuō)法進(jìn)行分類討論，得出相應(yīng)矛盾即可判斷出正確結(jié)論.【詳解】若甲說(shuō)的“丙第一”正確，則乙的回答中只能“丁第三”正確，丙的回答中“甲第二”正確，此時(shí)獲得第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙；若甲說(shuō)的“乙第二”正確，又沒(méi)有并列名次，則乙的回答中只能“丁第三”正確，丙的回答中“甲第二”正確，此時(shí)第二名出現(xiàn)甲、乙并列，與題設(shè)矛盾，因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙.故選：A8．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，得到其極值，再對(duì)分類討論即可.【詳解】由題意，.由或；由.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由函數(shù)的極大值，極小值.當(dāng)，解得或，當(dāng)時(shí)，，而，沒(méi)有最小值，不成立，當(dāng)時(shí)，，則，所以的最小值為.故選：B9．ABC【分析】根據(jù)題意可得：所以，，計(jì)算可得A，B選項(xiàng)，設(shè)圓心C到直線的距離為,結(jié)合圖形可知：當(dāng)為直徑時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求出的最小值和最大值.【詳解】由于P是圓C：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線與圓C交于M，N兩點(diǎn),所以點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以，故A正確；所以，故B正確；設(shè)圓心C到直線的距離為,則,當(dāng)為直徑時(shí)，，所以,故C正確；由于時(shí),所以,故D不正確；故選：ABC10．BD【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義、三個(gè)四分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率直方圖進(jìn)行求解即可.【詳解】，設(shè)第一四分位數(shù)為，則有；設(shè)第二四分位數(shù)為，則有；設(shè)第三四分位數(shù)為，則有，因?yàn)椋?；A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不正確；B：因?yàn)椋员具x項(xiàng)正確；C：因?yàn)椋詀，b，c不成等差數(shù)列，因此本選項(xiàng)不正確；D：顯然，因此本選項(xiàng)正確，故選：BD11．BCD【分析】對(duì)于AB，通過(guò)判斷是否為常數(shù)，以及是否可以恒等于可判斷對(duì)稱性；對(duì)于C，由題可得，然后由不等式性質(zhì)可得，然后由對(duì)稱性可得極小值；對(duì)于D，由對(duì)稱性可得，然后注意到，，結(jié)合在上單調(diào)遞減可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于AB，由題，.注意到為與有關(guān)的變量，而當(dāng)時(shí)，，則無(wú)對(duì)稱中心，有對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，，由AB分析，只分析其在上的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞減，則，故C正確；對(duì)于D，，由B分析可知，，時(shí)，，，結(jié)合在上單調(diào)遞減，則，故D正確.故選：BCD12．12【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)求解.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：12.13．/【分析】求出過(guò)右焦點(diǎn)垂直于漸近線的直線方程為，與垂直的漸近線聯(lián)立得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在另一條漸近線上得到，進(jìn)而求出離心率.【詳解】已知直線，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為.又直線過(guò)點(diǎn)，可得直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程，解得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.在直線的方程中，令，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，解得.因?yàn)辄c(diǎn)在另一條漸近線上，所以將代入可得：.化簡(jiǎn)可得，即，又因?yàn)椋?，則.所以.故答案為：.14．/【分析】根據(jù)題意設(shè)，可證，得到，繼而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可．【詳解】設(shè)，則，又為正三角形，所以，則，又，所以，則，故，則，即，所以，即，所以，，即，在中，，即，解得，又，則為銳角，所以．故答案為：．15．(1)(2)【分析】(1)依題意分析當(dāng)直線l⊥y軸時(shí)，用表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù),可求得的值,進(jìn)而得到拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，可得到兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而求得△ABO的面積.【詳解】（1）由題可知：.

當(dāng)直線l⊥y軸時(shí)，可得，.所以.因?yàn)?所以2p＝4，解得p＝2，故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（１）知：，所以直線.聯(lián)立直線l與拋物線C方程，得，設(shè)點(diǎn)A，B,則，，所以.

所以△ABO的面積．16．(1)0.5(2)分布列見(jiàn)解析，1.2(3)4【分析】（1）根據(jù)該攻關(guān)小組在第一階段解決2或3個(gè)問(wèn)題求概率.（2）明確的分布類型為二項(xiàng)分布，可求其分布列和期望.（3）根據(jù)變量之間的關(guān)系求隨機(jī)變量Y的期望.【詳解】（1）該攻關(guān)研究小組能進(jìn)入第二階段研究的概率為：（2）因?yàn)?，所以，（），所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.2160.4320.2880.064其數(shù)學(xué)期望．（3）記進(jìn)入第二階段前提下，獲得費(fèi)用數(shù)為隨機(jī)變量（單位：億元），則，所以（單位：億元）．所以．17．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性；（2）解法一：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性定理得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；解法二：利用函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)極大值，極小值與0的大小得到零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1），令，則，，當(dāng)即時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)即時(shí)，方程有兩根，，則或時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在（）單調(diào)遞減．（2）因?yàn)椋╥＝1，2），所以（i＝1，2），所以，同理，因?yàn)?，所以，設(shè)函數(shù)g（x）＝，則，當(dāng)x≥1時(shí)，≤0，，此時(shí)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，＞0，，此時(shí)．所以＞0，，即g（x）在（0，）單調(diào)遞減，所以，，且x→0時(shí)，f（x）→，x→時(shí)，f（x）→，所以f（x）在，，各有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)．（2）解法二：因?yàn)椋╥＝1，2），所以（i＝1，2），所以，同理，因?yàn)椋?，所以，由?）可知，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在（）單調(diào)遞減．為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，，，，且x→0時(shí)，；x→時(shí)，，所以f（x）在（0，），（，），（，）各有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)．18．(1)（i）；（ii）(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）（i）先計(jì)算正六邊形的面積，再根據(jù)錐的體積公式即可求解；（ii）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用夾角公式即可求解；（2）由已知，M點(diǎn)在過(guò)PQ且與⊙C所在平面垂直的一個(gè)平面內(nèi)，記這個(gè)平面為α．在平面α內(nèi)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以PQ為y軸，以PQ中垂線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，得，又，代入