答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)山東省聊城市臨清市第三高級(jí)中學(xué)2026屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知向量，，，若，則（）A．-1 B．0 C．1 D．22．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．3 B．4 C． D．23．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．120 B．90 C．60 D．454．瓷器是由瓷石、高嶺土、石英石、莫來(lái)石等燒制而成的，其外表施有玻璃質(zhì)釉或彩繪.通過(guò)在窯內(nèi)的高溫?zé)?，瓷器表面的釉色?huì)因?yàn)闇囟鹊牟煌瑥亩l(fā)生各種化學(xué)變化.某瓷器可近似地看作由一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合體，如圖所示，該瓷器的體積為（）A．556π B．900π C．732π D．588π5．若，，，則（）A． B． C． D．6．已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若直線OA與OB的斜率之和為4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，四個(gè)開(kāi)關(guān)控制著五盞燈，其中開(kāi)關(guān)控制著1，2，3號(hào)燈，開(kāi)關(guān)控制著2，3，4號(hào)燈，開(kāi)關(guān)控制著3，4，5號(hào)燈，開(kāi)關(guān)控制著1，4，5號(hào)燈.開(kāi)始時(shí)，五盞燈均是亮的，現(xiàn)先后按動(dòng)這四個(gè)開(kāi)關(guān)中兩個(gè)不同的開(kāi)關(guān)，則其中2號(hào)燈亮的概率為（）A． B． C． D．8．兩條直線的夾角指的是兩條直線所形成的小于或等于的角.若曲線與曲線的兩條公切線的夾角為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則a的值可以為（）A．3 B．1 C． D．10．如圖，月牙形是由兩段圓弧圍成的一個(gè)封閉圖形，若兩段圓弧所在圓的半徑相同，兩圓的圓心分別為坐標(biāo)原點(diǎn)和，，直線與月牙形只有兩個(gè)交點(diǎn)，則（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．圓的方程為C．b的取值范圍為D．月牙形的面積約為11．如圖，有一個(gè)直三棱柱容器，，，，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A．異面直線與所成角的余弦值為B．的最小值為C．三棱錐的外接球的半徑為D．在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球的表面積的最大值為三、填空題12．已知集合，若，則.13．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，是雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，若，且F為的重心，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線MN的方程為.14．已知等差數(shù)列滿足且數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)比在區(qū)間中的項(xiàng)多2項(xiàng)，則.四、解答題15．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若的角平分線交AC于點(diǎn)D，且，求BD．16．如圖，在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)在平面內(nèi).(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.17．甲、乙兩人進(jìn)行游戲，且都有1個(gè)紅色彈珠和1個(gè)黃色彈珠，每人每次獨(dú)立地隨機(jī)取出1個(gè)彈珠相互交換.(1)若只交換1次，求甲的彈珠的顏色相同的概率；(2)若只交換1次，記甲有紅色彈珠的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及期望；(3)若一共交換3次，最后甲的2個(gè)彈珠顏色相同，則甲獲勝，否則乙獲勝，試問(wèn)這個(gè)游戲是否公平?18．已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)若，函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，證明：.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求軌跡C的方程.(2)已知，點(diǎn)A，B在軌跡C上，且在x軸的同側(cè)，，交于點(diǎn)G，證明：為定值.《山東省聊城市臨清市第三高級(jí)中學(xué)2026屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BACDDABCABACD題號(hào)11答案BCD1．B【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，解?故選：B.2．A【分析】結(jié)合圖象求出周期，進(jìn)而利用可得結(jié)果.【詳解】由題圖知，即，所以，又，則.故選：A3．C【分析】將變形成，利用二項(xiàng)式定理，可得項(xiàng)的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.4．D【分析】根據(jù)圓臺(tái)、圓柱及球的體積計(jì)算公式可得.【詳解】由題圖可知，半球和圓柱的半徑為6，圓柱的高為8，圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，高為9，所以該瓷器的體積為,故選：D5．D【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)求值得，結(jié)合誘導(dǎo)公式利用兩角差的正弦公式求值得，即可比較大小.【詳解】因?yàn)椋?，又，所?故選：D6．A【分析】法一：聯(lián)立拋物線與直線并整理得，根據(jù)已知及韋達(dá)定理列方程求參數(shù)即可；法二：設(shè)A，B，且，根據(jù)已知有，再聯(lián)立拋物線與直線并整理得，應(yīng)用韋達(dá)定理得到方程求參數(shù).【詳解】法一：由，其中，得，整理得，設(shè)，因?yàn)橹本€OA與OB的斜率之和為4，由韋達(dá)定理，，解得.法二：設(shè)A，B，且，因?yàn)橹本€OA與OB的斜率之和為4，所以，可得，即（*），聯(lián)立且，消去，得，由韋達(dá)定理，，代入（*），可得，解得.故選：A7．B【分析】先由排列數(shù)確定總的基本事件個(gè)數(shù)，再分兩類情況按第一個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)，2號(hào)燈滅，按第二個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)，2號(hào)燈亮，或按第一個(gè)開(kāi)關(guān)和第二個(gè)開(kāi)關(guān)均與2號(hào)燈無(wú)關(guān)，討論2號(hào)燈亮的情況，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【詳解】先后按動(dòng)這四個(gè)開(kāi)關(guān)中兩個(gè)不同的開(kāi)關(guān)，有=12種方法.2號(hào)燈亮有兩類情形.第一類，按第一個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)，2號(hào)燈滅，按第二個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)，2號(hào)燈亮，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方法有=2種（兩個(gè)開(kāi)關(guān)進(jìn)行全排列）；第二類，按第一個(gè)開(kāi)關(guān)和第二個(gè)開(kāi)關(guān)均與2號(hào)燈無(wú)關(guān)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方法有=2種（兩個(gè)開(kāi)關(guān)進(jìn)行全排列）.故所求事件的概率為.故選：B8．C【分析】根據(jù)反函數(shù)的對(duì)稱性可分析出傾斜角更大的直線的斜率是，設(shè)出該公切線在，的切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用兩種方式表達(dá)出切線方程，然后根據(jù)兩個(gè)方程的截距相等列出等式，進(jìn)而求解.【詳解】由題易知，曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由兩條切線的夾角是，根據(jù)對(duì)稱性知曲線的切線的傾斜角為，即切線的斜率為.設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，直線的方程為，即，設(shè)直線和的切點(diǎn)坐標(biāo)是，，所以，直線的方程為，即，于是，即，即由，兩邊取對(duì)數(shù)可得，由，得到，兩邊取對(duì)數(shù)得，分別把上述條件代回原等式，得到，即，整理可得.故選：C9．AB【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)得，然后利用復(fù)數(shù)的幾何意義列方程計(jì)算即可.【詳解】，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由題意得，解得或.故選：AB10．ACD【分析】對(duì)于AB，可通過(guò)確定圓心坐標(biāo)即可判斷，對(duì)于C，設(shè)直線，分別計(jì)算直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切時(shí)，直線與圓相切時(shí)的取值，即可判斷，對(duì)于D，連接，求得的面積為，通過(guò)向量夾角公式求得，結(jié)合圖形對(duì)稱性即可求解.【詳解】由題易知，圓的半徑為，圓心在的垂直平分線上，,且中點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)坐標(biāo)為，且，所以，解得，所以圓C的方程為，，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.設(shè)直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)也過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得或，因?yàn)橹本€與月牙形只有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知的取值范圍為，故選項(xiàng)C正確.

連接，直線方程為：，點(diǎn)到的距離為，又所以的面積為，設(shè)，，，所以，所以，由對(duì)稱性可知月牙形的面積約為：，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD11．BCD【分析】對(duì)于A，把直線平移至，再利用余弦定理求解即可；對(duì)于B，將四邊形繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得三點(diǎn)共線，連接，交于點(diǎn)，再利用勾股定理計(jì)算即可；對(duì)于C，設(shè)分別為的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)分別作平面，平面的垂線，交點(diǎn)為，即為球心的位置，連接，根據(jù)球的半徑和三角形外接圓半徑以及三角形外接圓半徑的關(guān)系列式求解；對(duì)于D，利用等面積法求出三角形的內(nèi)切圓半徑即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，在平面中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，，，所以，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，將四邊形繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得三點(diǎn)共線，連接，交于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，最小值為，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)分別為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作平面，平面的垂線，交點(diǎn)為，連接，由題知，，，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，所以，，所以，即，所以，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，所以，解得，因?yàn)?，所以放入?個(gè)小球的半徑的最大值為=，故小球的表面積的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD12．【分析】根據(jù)已知有，進(jìn)而可得，再求出集合.【詳解】由，，則，故，可得，所以.故答案為：13．【分析】設(shè)，，由F為的重心，得，，可求MN的中點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)差法求出直線MN的斜率，得直線方程.【詳解】由題知，，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，N點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)镕為的重心，所以，，即，，所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為；因?yàn)镸，N是雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，所以，兩式相減并化簡(jiǎn)得，所以直線MN的方程為，即.故答案為：；14．【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)據(jù)分析，進(jìn)行推理，結(jié)合不等式估計(jì)范圍，再進(jìn)行取整推理，最后能解決問(wèn)題.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以相鄰兩項(xiàng)間的差的絕對(duì)值相等，因?yàn)椋覕?shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)比在區(qū)間中的項(xiàng)多2項(xiàng)，所以均為數(shù)列中的項(xiàng).設(shè)數(shù)列的公差為d，可知，由四個(gè)數(shù)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差依次為，因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)均為d的整數(shù)倍，所以是d的整數(shù)倍，設(shè)，，因?yàn)樗詣t可得又由可得，解得，則，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又因?yàn)閿?shù)列中存在，即，而當(dāng)，此時(shí)不滿足當(dāng)，此時(shí)滿足，而當(dāng)，上時(shí)不滿足，故，則.故答案為：.15．(1)；(2).【分析】（1）已知條件結(jié)合余弦定理，求出，可得；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)得，結(jié)合余弦定理解出的值，由三角形面積的分割關(guān)系列出等式，求解的長(zhǎng)度.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，因?yàn)锽D平分，所以，即，由（1）知，，解得，，因?yàn)?，所以，整理?16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線線平行，結(jié)合平行線的傳遞性可得，即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求解向量的夾角，即可求解.【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接.由題易知所以所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，且點(diǎn)在平面內(nèi)，故點(diǎn)在平面內(nèi)（2）不妨設(shè)，則，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，,.設(shè)為平面的法向量，所以即令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)為平面的法向量，所以即令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?=，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為(3)這個(gè)游戲不公平【分析】（1）根據(jù)題意，甲摸到紅色乙摸到黃色或甲模得到黃色乙摸到紅線，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥概率加法公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的所有可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（3）用分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個(gè)彈珠顏色相同，用分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個(gè)彈珠顏色不相同，結(jié)合全概率公式，分別求得甲、乙獲勝的概率，即可得到答案.【詳解】（1）解：若交換1次，要使得甲的彈珠的顏色相同，則甲摸到紅色乙摸到黃色或甲模得到黃色乙摸到紅色，所以甲的彈珠的顏色相同的概率為.（2）解：由題意知，若只交換1次，則甲、乙兩人取紅色彈珠和黃色彈珠的概率均為，則隨機(jī)變量的所有可能取值為，可得，所以隨機(jī)變量的分布列為012所以的期望.（3）解：用分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個(gè)彈珠顏色相同，用分別表示甲第1次、第2次、第3次交換后，甲的2個(gè)彈珠顏色不相同，由（1）知，，則，由全概率公式，得,同理可得：，所以，所以游戲不公平.18．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論得到的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，從而，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并結(jié)合基本不等式得到在上單調(diào)遞減，所以，結(jié)合即可證得結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以.令，，則，，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所