2/10第09講解題技巧專題：全等三角形模型之一線三等角模型與手拉手模型目錄TOC\o"1-1"\h\u【模型一全等三角形模型之一線三等角模型】 1【模型二全等三角形模型之手拉手模型】 6【過關(guān)檢測】 11【模型一全等三角形模型之一線三等角模型】【常見模型及證法】1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB+CD=BC。2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB-CD=BC。1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。例1．（24-25八年級上·山西忻州·期中）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：（模型呈現(xiàn)）（1）如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．由，得．又，可以推理得到．進而得到________，________．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（模型應(yīng)用）（2）如圖2，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．求證：點G是的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有________（填“、、”）例2．（24-25七年級上·山東泰安·期中）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：（1）如圖（1），為等邊三角形，，，則________【模型應(yīng)用】（2）如圖（2），正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________【模型變式】（3）如圖（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的長．【模型二全等三角形模型之手拉手模型】【常見模型及證法】1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。證明：∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。例1．（24-25八年級上·湖南婁底·期中）小茗同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形．小茗把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖所示的“手拉手”圖形中，和均為等腰直角三角形，，，，點在同一直線上，連接，為中邊上的高．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．例2．（24-25八年級上·廣東湛江·階段練習）在學習全等三角形知識時、數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進行了如下操作：(1)如圖1、兩個等腰三角形和中，連接、、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是手拉手模型，在這個模型中，和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2、兩個等腰直角三角形和中，連接，，兩線交于點，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，連接，，兩線交于點，請直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（22-23八年級上·吉林長春·期中）如圖1，，，過點作于點，過點作于點，由，得.又，可以推理得到，進而得到，，我們把這個數(shù)學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型：[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，在中，以，為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接，為邊上的高線，延長交于點N，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（寫上序號）三、解答題3．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，三點在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)當滿足__________時，？4．（24-25七年級上·山東青島·期中）小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，若和均是頂角為的等腰三角形，，分別是底邊，從圖中找出一對全等三角形并說明理由；(2)【拓展探究】如圖2，若和和均為等邊三角形，點、、在同一條直線上，連接，求的度數(shù)．5．（23-24八年級上·廣東潮州·期中）如圖，在中，，，為射線上一動點（點不與點重合），以為直角邊在的右側(cè)作等腰直角三角形，．(1)如圖1，當點在線段上時，求點到直線的距離；(2)如圖2，當點運動到的延長線上時，連接，交直線于點，求證：；(3)點在運動過程中，連接，交直線于點，若，則的長為_____．6．（24-25八年級上·云南玉溪·期中）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應(yīng)連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．(1)如圖1，在“手拉手”圖形中，，若，則(2)如圖2，和是等邊三角形，連接，交于點O，求的度數(shù)；(3)如圖3，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系．7．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）我們把有公共頂點且形狀相同的兩個三角形組成的圖形稱為“手拉手”圖形．數(shù)學興趣小組的幾名同學對“手拉手”圖形進行了探究．(1)初步探究：如圖，與的頂點重合，，，，連接，他們通過測量發(fā)現(xiàn)在和繞點轉(zhuǎn)動的過程中，，請你證明他們的結(jié)論；(2)大膽猜想：如圖，在（）的條件下，連接，他們猜想的面積與的面積相等，請證明他們的猜想是正確的；(3)拓展延伸：如圖，在（）的條件下，當時，延長交于點，，的面積為，求的長度．8．（21-22八年級上·貴州遵義·期末）央視科教頻道播放的《被數(shù)學選中的人》節(jié)目中說到，“數(shù)學區(qū)別于其它學科最主要的特征是抽象與推理”．幾何學習尤其需要我們從復(fù)雜的問題中進行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進行再探究、推理，以解決新的問題．(1)【模型探究】如圖1，和中，，，且，連接，．這一圖形稱“手拉手模型”．求證，請你完善下列過程．證明：，．即．在和中（________）．(2)【模型指引】如圖2，中，，，以為端點引一條與腰相交的射線，在射線上取點，使，求的度數(shù)．小亮同學通過觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在上找一點，使，最后使問題得到解決．請你幫他寫出解答過程．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，為任意角度，若射線不與腰相交，而是從端點向右下方延伸．仍在射線上取點，使，試判斷與有何數(shù)量關(guān)系？并寫出簡要說明．9．（24-25八年級上·山東濟寧·階段練習）通過對如圖數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模