第四章全等三角形綜合題（培優(yōu)）一、填空題1．已知：如圖，AD是△ABC中BC邊上的高，∠ABC=42°，AE平分∠BAC，∠ACB=70°，則∠DAE=度．2．如圖，橋梁拉桿和橋面構(gòu)成三角形的結(jié)構(gòu)，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理．3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③△ABD是等腰三角形；④點D到直線AB的距離等于CD的長度．其中正確的有．（填序號）4．如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB于E，點E在線段AB上，連接EF、CF．則下列結(jié)論：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF：④5．在△ABC中，AD⊥BC交BC于點D，AE平分∠BAC交BC于E，F(xiàn)為BC延長線上一點，F(xiàn)G⊥AE交AD延長線于G，AC的延長線交FG于H，連接BG，下列結(jié)論：①∠DAE=∠F；②∠AGH=∠BAE+∠ACB；③S△AEB：S△AEC=AB：6．如圖，B、C、E三點在一條直線上，△ABC和△DCE均為正三角形，BD與AC交于點M，BD與AE交于點O，AE與CD交于點N，連接MN、OC，以下結(jié)論正確的序號是．①MN∥BE；②ACCE=OBOD；③BC二、單選題7．下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（）A． B．C． D．8．如圖，已知AC、BD交于點O，OA=OB，那么添加下列一個條件后，仍不能判定△AOC≌△BOD的是（）A．OC=OD B．∠A=∠BC．AC=BD D．∠C=∠D=90°9．如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC,AD,CE的中點，且S△ABC=24?cmA．6?cm2 B．8?cm2 C．10．如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，如果∠CAE=15°，那么∠BOE的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．67.5°11．下列說法正確的是（）A．面積相等的兩個三角形全等B．三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．等腰三角形的角平分線，中線和高相互重合D．與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上12．如圖，AB//DC，以點A為圓心，小于AC的長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于12EF長為半徑作圓弧兩條弧交于點G，作射線AG交CD于點H，若∠C=120A．120° B．30° C．13．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ=PQ，PR=PS，則下列四個結(jié)論：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中結(jié)論正確的的序號為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④14．如圖，在△ABC中，BC=3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P，Q分別是A．4 B．5 C．6 D．715．如圖，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中AB=AC=AG=FG，∠BAC=∠AGF=90°，AF、AG分別與BC交于D、E兩點，將△ACE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則下列結(jié)論：①BH⊥BC；②AD平分∠HDE；③若BD=3，當(dāng)DE=2CE時，則AB=322+323；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．將四個全等的三角形按如圖所示的方式圍成一個正方形ABCD，記△AED的面積為S1，四邊形EFCG的面積為S2．若EG∥CF，A．6 B．8 C．10 D．12三、解答題17．如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求（2）若△ABC的面積為40，BD=5，則E到BC邊的距離為多少？18．如圖，已知正方形ABCD中，AB=2，AC為對角線，AE平分∠DAC，EF⊥AC，垂足為F．求FC的長．19．已知關(guān)于x的方程x2（1）求證無論m取何值，這個方程應(yīng)有實數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長為6，另兩邊的長恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．20．如圖，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求證：（1）△ABE≌△CDF．（2）AD∥BC．21．如圖，OP平分∠BOA，PE⊥OA于E，若BP=AP.（1）求證：∠1+∠2=180°；（2）求OA+OB與OE之間的等量關(guān)系.22．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點E是CA延長線上一點，連接BE，點D是AB邊，上一動點，且AE=AD，過點D作DF⊥BC，垂足為點F．圖1圖2圖3（1）如圖1，若DF=3，BE=6，求CF的長；（2）如圖2，連接AF，求證：BE=2（3）如圖3，過點A作AM⊥CD，連接BM并延長交AC于點N，若BC=4，當(dāng)BM最小時，直接寫出△ACM的面積．四、計算題23．設(shè)a，b，c是△ABC的三邊，化簡：|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|a＋c－b|．24．如圖，已知FC//AB//DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，求α、∠D、∠B的度數(shù)．25．貝貝在學(xué)習(xí)三角形章節(jié)內(nèi)容時，對于三角形中的角度計算問題進(jìn)行了如下探究：在△ABC中，∠ABC=20°，∠C>∠B．（1）如圖1，若點D為線BC上一點．連接AD，將△ABD沿著AD進(jìn)行翻折后得到△AB1D，若∠ADC=47°（2）如圖2，將△BEF沿EF翻折得到△B1EF．探究∠1（3）如圖3，若D點為直線BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD進(jìn)行翻折后得到△AB1D連接BB1，若△BDB

答案解析部分1．【答案】14【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理2．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【知識點】三角形的穩(wěn)定性3．【答案】①②③④【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；尺規(guī)作圖-作角的平分線4．【答案】①②④【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線5．【答案】①②③【知識點】三角形的面積；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；角平分線的概念6．【答案】①③④【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS7．【答案】A【知識點】兩點確定一條直線；兩點之間線段最短；垂線段最短及其應(yīng)用8．【答案】C【知識點】三角形全等的判定9．【答案】A【知識點】三角形的角平分線、中線和高10．【答案】C【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS11．【答案】D【知識點】三角形全等的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的判定12．【答案】C【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線13．【答案】A【知識點】平行線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；角平分線的判定14．【答案】D【知識點】三角形三邊關(guān)系；平移的性質(zhì)；三角形的中位線定理15．【答案】C【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS16．【答案】B【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；正方形的判定與性質(zhì)17．【答案】（1）55°（2）4【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形的外角性質(zhì)18．【答案】2【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)19．【答案】（1）證明：∵Δ=∴無論m取何值，這個方程總有實數(shù)根；（2）解：當(dāng)方程的一根為6時，將x=6代入原方程，得：36?6(m+1)+2(m?1)=0，解得：m=7，∴原方程為x2解得：x1∵2、6、6能組成三角形，2、2、6不能構(gòu)成三角形，若6是底邊，則x的方程x2由（1）可知m=3，∴三角形的三邊為2，2，6．∵2、2、6不能構(gòu)成三角形，∴該三角形的周長為2+6+6=14．【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)20．【答案】（1）證明：∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴直角△ABE和直角△CDF中，AB=CDAE=CF∴△ABE≌△CDF；（2）證明：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∴在△ADF和△CBE中，AF=CE∠BEC=∠DFA∴△ADF≌△CBE，∴∠DAF＝∠BCE，∴AD∥BC【知識點】平行線的判定；三角形全等及其性質(zhì)21．【答案】（1）證明：過點P作PF⊥OB于F，∵OP平分∠BOA，PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP=∠PFB=90°，PE=PF，∵AP=BPPE=PF，∴Rt△APE?Rt△BPF(HL)，∴∠1=∠PBO∵∠PBO+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°（2）解：OA+OB=2OE，證明：∵OP平分∠BOA，PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP+∠PFB=90°，PE=PF，∵OP=OP，∴Rt△EOP?Rt△FOP(HL)，∴OE=OF，∴OA+OB=OE?AE+OF+BF=OE+OF=2OE【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質(zhì)22．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠DAC=∠EAB=90°，AE=AD，∴△EAB≌△DAC(SAS)，∴CD=BE=6，∵DF⊥BC，DF=3∴CF=C（2）證明：取DC中點M，連接AM，F(xiàn)M，∵DF⊥BC，∴∠CAD=∠DFC=90°，∴AM=FM=CM=1∴∠CAM=∠ACM，∠FCM=∠CFM，∵∠AMD=∠CAM+∠ACM，∠DMF=∠FCM+∠CFM，∴∠AMF=∠AMD+∠DMF=2(∠ACM+∠FCM)=2∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACB=45°，∴∠AMD=90°，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM=FM=2∴DC=2由（1）知，CD=BE，∴BE=（3）4【知識點】三角形的面積；三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的綜合23．【答案】a+b+3c【知識點】三角形三邊關(guān)系；去括號法則及應(yīng)用；合并同類項法則及應(yīng)用；化簡含絕對值有