《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題及答案

選擇題

單項選擇題

1.以表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件為().

(A)“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”；

(B)“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”；

(C)”甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”：

(D)“甲種產(chǎn)品滯銷”.

解：設(shè)'甲種產(chǎn)品暢銷'，'乙種產(chǎn)品滯銷'，

‘甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷'.選C.

2.設(shè)是三個事件，在下列各式中，不成立的是().

(A)-

(B)(AUB)—3=A;

(C)=

(D)(4UB)—C=(A—C)U(B—C).

解：A對._

====B不對

(4U8)—A8=(A-8)U(8—A)=A8UW及C對/.選B.

同理D也對.

3.若當(dāng)事件同時發(fā)生時，事件必發(fā)生，則().

(A)P(C)WP(H)+P(8)-1；

(B)P(C)NP(A)+P(3)-1；

(C)P(C)=P(AB);

(D)P(C)=P(AB).

解：

???選B.

4.設(shè)，則等于().

(A)a-bx(B)c-b\(C)a(\-b)；(D)b-a.

解：

?.選B.

5.設(shè)是兩個事件，若，則().

(A)A3互不相容；(B)AB是不可能事件；

(C)2(4)=0或夕(8)=0；(D)A8未必是不可能事件.

解：.選D.

6.設(shè)事件滿足，則下列結(jié)論中肯定正確的是().

(A)A,看互不相容；(B)A,看相容；

(C)P(AB)=P(A)P(B)；(D)P(A-B)=P(A).

解：相容A不對.

A=B,B=A,AB=6/.B錯.

,而不一定為0C錯.

.選D.

7.設(shè)，則()

(A)互不相容；(B)A3互為對立；

(C)4,8不獨立；(D)A8相互獨立.

解：

P(-8)(1—P(B))+7(8)(1—P(4)—P(B)+P(A3))

P(B)-p2(B)=P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P\B)

P(AB)=P(A)P(B)選D.

8.下列命題中，正確的是().

(A)若，則是不可能事件；

(B)若，則互不相容；

(C)若，則；

(D)P(A-B)=P(A)-P(B).

解:

由，A.B錯.

只有當(dāng)時，否則不對.選C.

9.設(shè)為兩個事件，且，則下列各式中正確的是().

(A)P(A\JB)=P(A)；(B)P(AB)=P(A)；

(C)P(B|A)=P(B)；(D)P(B—A)=P(8)—P(A).

解：選A.

10.設(shè)是兩個事件，且；

(A)；(B),則有()

(C)P(A)>P(A\B)；(D)前三者都不一定成立.

解：要與比較，需加條件.選D.

11.設(shè)且，則下列等式成立勺是()二

(A)P(AU4舊)=P(AI豆)+尸(41目);

(B)P(A]BJA2B)=P(AB)+P(A2B)；

(C)P(AUA)=P(A|B)+P(AIB)；

(D)P(B)=P(A)P(8|A)+P(A2)P(B14).

解1:

=>P(44|B)=0=>P(AtA2B)=0

p(4B(JA2B)=P(AIB)+P(A2B)-P(AlA2B)=P(AB)+P(A2B)

選B.

解2:由得

p(48J48)=P(4B)+P([8)

P(B)-P(B)

可見尸(A3J4或=p(AB)+P(A2B)

...選B.

12.假設(shè)事件滿足，則().

(A)6是必然事件；(B)&6)=1；

(C)P(A—B)=0；(D)Au3.

解：

=>尸(4-8)=0?.選C.

13.設(shè)是兩個事件，且,則下列選項必然成立的是().

(A)P(A)<P(AIB)；(B)P(A)〈尸(A|B)；

(C)P(A)>P⑷8)；(D)P(A)>P(A\B)

解：

AuB=>P(A)WP(8)O<P(B)<1/.選B

(或者：)

14.設(shè)互不相容，則下列各式中不一定正確的是().

(A)尸(44|8)=0；

(B)P(AU4I8)=P(4|8)+P(416；

(C)P(AA13)=1；

(D)P(4U，2|A)=L

解：

P(44|3)=P(A4")=0A對.

P(B)

P(A|B)=P(A|B)+P(A2IB)-P(Ai4|B)

=P(4|3)+尸(4|3)B對.

p(AAIB)=P(Au&iB)=i—p(aUAifi)

=l-p(4|3)-P(4|3)wlc錯.

P(ALA2IB)=P(A^IB)=1-P(A1A2IB)=1-O=1D對.

???選c.

15.設(shè)是三個相互獨立的事件，且，則在下列給定的四對事件中不相互

獨立的是().

(A)AIJ3與c；(B)衣與仁;

(C)A-B與飛;(D)而與乙

=[1一(P(A)+尸(8)—P(A)P(B))]P(C)=P(AUB)P(C)A對.

P(ACC)=P[(AJC)C]=P(ACJCC)=P(AC)+P(C)-P(AC)

=P(C)P(AC)P(C)而與3不獨立/.選B.

16.設(shè)三個事件兩兩獨立，則相互獨立的充分必要條件是().

(A)A與5c獨立；(B)A5與At，。獨立；

(C)AB與4c獨立;(D)AB與AC獨立.

解：兩兩獨立，若相互獨立則必有

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)A與8C獨立.

反之，如與獨立則

/.選A.

17.設(shè)為三個事件且相互獨立，則以下結(jié)論中不正確的是（）.

（A）若，則與也獨立;

（B）若，則與也獨立;

（C）若，則與也獨立;

（D）若，則與也獨立.

解：概率為1的事件與任何事件獨立

與也獨立.A對.

P[(AC)B]=P\(AC)B]=P(ABBC)

=P(AB)+P(BC)—P(ABC)=P(A.C)P(B)/.B對.

P[(A-C)A]=P(ACA)=P(AC)=P(A)P(C)=尸(A)P(A。)

???C對二選D（也可舉反例）.

18.一種零件的加工由兩道工序組成.第一道工序的廢品率為，第二道工序

的廢品率為，則該零件加工的成品率為（）.

（A）]-P[—〃2；（B）]-P|P2；

（C）1一一+Pl〃2；（D）（1-P]）+（1-〃2）.

解：設(shè)成品零件，第道工序為成品

P（A）=I-PIP（A2）=I-P2

P（A）=P（A4）=P（A）p（4）=（1-A）a-P2）

=i?-〃2+P1P2

??.選c.

19.設(shè)每次試驗成功的概率為，現(xiàn)進行獨立重復(fù)試驗，則直到第1（）次試驗

才取得第4次成功的概率為（）.

（A）CIQ/?4（1—p）6；（B）C；p4（l-p）6；

（C）C；p4（l—p）5;（D）C；p3（l—p）6.

解：說明前9次取得了3次成功???第10次才取得第4次成功的概率為

*/（J〃）6P=—“）6

???選B.

20.設(shè)隨機變量的概率分布為，則().

(A)4為任意正實數(shù);(B)2=〃+1；

(C)2=-^；(D)Z=—.

1+/?h-\

解:

1

/I=選c.

1+b

21.設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度和分布函數(shù)分別為和，則下列各式

正確的是().

(A)0<f(x)<1；(B)P(X=x)=f(x)；

(C)P(X=x)=F(x)；(D)P(X=x)<F(x).

解：???選D.

22.下列函數(shù)可作為概率密度的是().

(A)/(x)=e-|r|,xeR；

(B)/(x)=-乃--(-1-+---f丁)、xsR；

1

x>0,

(C)fM=7^

0,x<0;

1,13

(D)/(幻=〈

0,|x|>l.

解:A:???錯.

B:

且小)=小

選B.

23.下列函數(shù)中，可作為某個隨機變量的分布函數(shù)的是().

(A)(B)F(x)=—+—arctanx；

2兀

x>0

(C)FM=

0x<0;

(D),其中

解：對A：，但不具有單調(diào)非減性且??,A不是.

對B:.

由arctanx是單調(diào)非減的/。)是單調(diào)非減的.

F(—co)=—+—?(——)=0F(+oo)=—+—?—=1.

2"2'27i2

具有右連續(xù)性.???選B.

24.設(shè)是隨機變量，其分布函數(shù)分別為，為使是某一隨機變量的分布函

數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取().

3,22,2

(A)a=—,b=—；(B)rz=—,h=—；

5533

1,313

(C)ci=—,b=一；(D)a=—,b=—.

2222

解：，，只有A滿足

???選人

25.設(shè)隨機變量的概率密度為，且是的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)有

().

(A)F(-a)=1_JfMdx；

(B)/(一〃)=：一］；/。)公；

(C)F(-a)=F(a)；

(D)F(-a)=2F(a)-\.

解：

I一1；八力公

p+0C-KOr+00fU

由(f\x)dx=2of\^dx=1nJ。f(x)dx=jf(x)dx=-

J-00.

???選B.

26.設(shè)隨機變量，其分布函數(shù)和概率密度分別為和，則對任意實數(shù)，

下列結(jié)論中成立的是().

(A)F(x)=1-F(-x)；

(B)f(x)=/(-x)；

(C)F(l-x)=l-F(l+x)；

(D)

解：以為對稱軸對稱.

P(X>l+x)=P(X<l-x)

即F(l-x)=l-P(X<l+x)=l-F(l+x)

???選C.

27.設(shè)，設(shè)，，則().

（A）對任意實數(shù)〃有Pl=P2；（B）P1<P2；

（C）I%>p2；（D）只對〃的個別值才有Pi=p2.

解：

/z+5/z

/?2=p（r>//+5）=i-p（y<//+5）=i-o|-=1一①（i）

I5/

Pi=p2選A（or利用對稱性）

28.設(shè)，則隨著的增大，概率的值（）.

（A）單調(diào)增大；（B）單調(diào)減少；

（C）保持不變；（D）增減不定.

解：

/.不隨。變/.選C.

29.設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)

五丫（》）為（）.

（A）Fx（5y-3）］(B)5&(>)-3；

(D)：G(y)+3.

（C）尸

解：

口行+3、

???選C.

30.設(shè)的概率密度為，則的概率密度為（）.

]]

(A)(B)

%(1+4/)萬(4+y)2

22

(C)(D)

乃(4+y2)"(1+)，2)

解:

]2

A(y)=1A：.選C.

%(4+y2)

31.設(shè)隨機變量與相互獨立，其概率分布分別為

X-11Y-11

j_J_j_

PP

2222

則下列式子正確的是（).

（A）X=Y；（B）p（x=y）=o；

(Op(x=y)=-；(D)P(X=Y)=\.

解:A顯然不對.

=p(x=-i)p(y=-1)+p(x=i)p(r=D=---+---=-

選c.

32.設(shè)，且與相互獨立，貝I」（）.

（A）p（x+y《o）=g；（B）p（x+r<i）=^；

（op（x-y<o）=-；（D）p（x-y<1）=-.

22

解：且獨立???

p（x+r<1）=p（x+r>i）=（P（O）=???選B.

33.設(shè)隨機變量

r-ion

Xj?，X,i=l,2

U24J

且滿足，則（).

（A）0；(B)1/4；(C)1/2；(D)1.

解：

-101p.j

-1

0

1o*

-

4

11

--

A-.42

4

P(X]X2=0)=1=P(X1X2^0)=0

???P(X,=X2)=P(Xl=X2=-1)+P(X1=X2=0)+P(X1=X2=1)

=()+()+()=()

???選A.

34.設(shè)隨機變量我非負整數(shù)值，，且，則的值為（）.

3+753-75

(A)(B)

22

3+百

(C)(D)1/5.

2

???選B.

35.設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為

h-±

14'A>1,

F(x)=x

0,X<1,

則X的數(shù)學(xué)期望為（）.

(A)2；(B)0；(C)4/3；(D)8/3.

???選C.

36.己知，則二項分布的參數(shù)為().

(A)〃=4,〃=0.6；(B)〃=6,p=0.4；

(C)n=8,p—0.3；(D)n=24,/?=0.1.

解：

???選B.

37.已知離散型隨機變量的可能值為，且，則對應(yīng)于的概率為

().

(A)P[=0.4,p2—0.1,P3—0.5；(B)=0.1,p2=0.1,P3=0.5；

(C)Pi=0.5,p2=0.1,p3=0.4；(D)Pi=0.4,p2=0.5,“3=0.5.

解：EX=0.1=~P\+P3

DX=EX2-(EX)2EX2=0.89+(0.1)2=0.9=p.+小

Pi=04

=><p2=0.1選A.

p3=0.5

38.設(shè)，且獨立，記，則.

(A)N(2,1)；(B)N(l,1)；

(C)N(Z13)；(D)N(L5).

解：且獨立

???EZ=E(3X-2r-6)=2.

DZ=9DX+4Dy=9+4=13.

又獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量，，

???選C.

39.設(shè)，則之值為().

(A)14；(B)6；(C)⑵(D)4.

解:,

cov(X,y)=EXY-EXEY=6-4=2

D(X-y)=9+l-2x2=6.

???選B.

40.設(shè)隨機變量的方差存在，則().

(A)(EX)2=EX\(B)(EX)2>EX2；

(C)(EX)2>EX2；(D)(EX)2<EX2.

解：???選D.

41.設(shè)相互獨立，且均服從參數(shù)為的泊松分布，令，則的數(shù)學(xué)期望為

().

11,1

(A)—4；(B)矛7；(C)—A+A"；(D)—2~9+2.

333

解：獨立

E(X(+X2=+X2+X3)=3A

z

D1[■-3(、X.IN+XOJ/]」=-9D(、X,I+XN9+XJ=-3

=EY2-(EY)2=EY2

：.EY2=2r+-?,.選C.

3

42.設(shè)的方差存在，且，則().

(A)D(XY)=DXDY；(B)D(X+Y)=DX+DY；

(C)X與丫獨立；(D)X與丫不獨立.

解：

=OX+OY+2(EXY-EXEY)=DX+DY：.選B.

43.若隨機變量滿足，且，則必有().

(A)x,y獨立；(B)x,y不相關(guān)；

(C)DY=O；(D)D(XV)=0.

解：不相關(guān).

???選B.

44.設(shè)的方差存在，且不等于0,則是().

(A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；

(B)獨立的必要條件，但不是充分條件；

(C)不相關(guān)的必要條件，但不是充分條件：

(D)獨立的充分必要條件.

解：由與不相關(guān)

???是不相關(guān)的充要條件.A.C不對.

由獨立，反之不成立

???選B.

45.設(shè)的相關(guān)系數(shù)，則()

(A)x與丫相互獨立；(B)x與丫必不相關(guān)；

(C)存在常數(shù)。力使P(y=aX+A)=l；

(D)存在常數(shù)4力使2(丫=第9+。)=1.

解：存在使

???選C.

46.如果存在常數(shù)，使，且，那么的相關(guān)系數(shù)為().

(A)1；(B)-1；(C)|夕|=1；(D)|p|<1.

解:

以概率1八

2cov(X,r)以概率?aDXa

DY=aDXPxY~/DX4DYl〃|DX~\a

,以概率1成立.

???選c.

47.設(shè)二維離散型隨機變量的分布律為

X012

00.10.050.25

100.10.2

20.20.10

則().

(A)x,y不獨立；(B)x,y獨立；

(ox,y不相關(guān)；(D)x,y獨立且相關(guān).

解：

P(X=O)P(r=0)=(0.14-0.05+0.25)(0.1+0.2)

=0.4x0.3=0.12

p(x=o,y=o)。尸(x=o)尸(y=o)

與不獨立,，選A.

48.設(shè)為連續(xù)型隨機變量，方差存在，則對任意常數(shù)和，必有().

(A)P(\X-C\>e)=E\X-C\/￡；

(B)P(|X-C|>^)>E|X-C|/^；

(C)P(\X-C\>e)<E\X-C\/^

(D)P(|X-C|>￡)<DX/S2.

解：

<frTJ-X----C--\-lfMdx=-1E\X-C\

選c.

49.設(shè)隨機變量的方差為25,則根據(jù)切比雪夫不等式，有().

(A)<0.25；(B)<0.75；(C)>0.75；(D)>0.25.

解：

???選C.

50.設(shè)為獨立隨機變量序列，且服從參數(shù)為的泊松分布，，則().

(A)limP<--------<x=①(x)；

nA

(B)當(dāng)充分大時，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布;

(C)當(dāng)充分大時，近似服從；

(D)當(dāng)充分大時，.

解：由獨立同分布中心極限定理近似服從

???選C

51.設(shè)為獨立隨機變量序列，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則().

/=!4/

(A)limP,----Z——<X>=O(x)；

ni2r

江x,-n

t=i

(B)limP\——,=①(x)；

"I

-7

(C)limPi=l4<x=O(x)；

”->81/A2

(D)limP\—-------<x,=(D(x).

〃T8n

解:

〃”

江x,-n

由中心極限定理limP<x>=limPi—<x,=①(x).

“一>cc冊

：.選B.

52.設(shè)是總體的樣本,已知，未知，則不是統(tǒng)計量的是().

4

(B)ZX：-"；

(A)X1+5X4；

/=1

4

(D)[X1

(C)Xi—o'

/=!

統(tǒng)計量是不依賴于任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù).

J選C.

53.設(shè)總體為來自的樣本，則().

(A)p：(B)1—p；

(C)p產(chǎn)；(D)C；(l-pi.

解：相互獨立且均服從故

_b_

即nX-B(n,p)則P(X=-)=P(nX=k)=C；p”(1—p)〃u

n

：.選C.

54.i殳—是總體的樣本，和分別為樣手的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則().

(A)X7S?/(〃—1)；(B)又?N((),1)；

(C)