《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》期末復(fù)習(xí)提要

第一章隨機(jī)事務(wù)與概率

1.事務(wù)的關(guān)系A(chǔ)uBAuBABA-BAAB=(/)

2.運(yùn)算規(guī)則(I)A\JB=B\JAAB=BA

(2)(AU3)DC=AU(8DC)(AB)C=A(BC)

(3)(AD8)C=(A058O(AB)UC=(AUC)(BUC)

(4)A'UB=ABAB=B

3.概率P(4)滿意的三條公理及性質(zhì):

(I)O<P(A)<1(2)P(Q)=1

(3)對互不相容的事務(wù)人,…,A〃，有P(〔jAD=fP(A?)(〃可以取oo)

k=\t=l

(4)尸3)=0(5)P(7)=1-P(A)

(6)P(A-B)=P(A)-P(AB)^AuB》"P(B-A)=P(B)—P(A),P(A)<P(B)

(7)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

(8)uBoC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(AB。

4.古典概型：基本領(lǐng)件有限且等可能

5.幾何概率

6.條件概率

(1)定義：若P(B)>0,則P(A|B)=曳"

尸(3)

(2)乘法公式：P[AB)=P(B)P(A\B)

若5,當(dāng),…凡為完備事務(wù)如.P(用)>0?則有

(3)全概率公式：P(A)=tp(g)P(A|8j)

r=l

(4)Bayes公式：P(Bk\A)='()/(*與)

2P(B)P(A\B，)

<=i

7.事務(wù)的獨(dú)立性：A,B獨(dú)立oP(Ab)=P(A)P(B)(留意獨(dú)立性的應(yīng)用)

其次章隨機(jī)變量及其分布

I.離散隨機(jī)變量：取有限或可列個(gè)值，2乂=西)=/乙滿意(1)pf>0,(2)W>，=l

I

(3)對隨意OuH,P(XED)=

i-.x^D

2.連續(xù)隨機(jī)變量：具有概率密度函數(shù)/*),滿意(1)/(x)>0,f(x)dx=1；

rb

(2)P(a<X<b)=[f(x)dx；(3)對隨意awR,P(X=a)=0

3.幾個(gè)常用隨機(jī)變量

名稱與記號分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差

兩點(diǎn)分布B(l,p)P(X=1)=p,P(X=0)=^=1—/?ppq

二項(xiàng)式分布p)p(x=k)=C：p、"i,k=0,12…明npnpq

乃

Poisson分布P(A)P(X=Q=e〃下火=0,1,2,…22

J_q

幾何分布G(p)p(X=k)=q"'p,k=l,2,…>)

Pp~

f(x)=-5—,a<x<b,a+b

勻稱分布U(a,〃)

h-a212

11

指數(shù)分布4%)/(x)=Q弋x>0

T不

i一(a―

正態(tài)分布N(4?2)a2

4.分布函數(shù)F(x)=P(X<x),具有以下性質(zhì)

(1)尸(-oo)=0,F(+x))=l；(2)單調(diào)非降；(3)右連續(xù)；

(4)P(a<X<b)=F{b)-F(a),特殊P(X>a)=1-尸(a)；

(5)對離散隨機(jī)變量，"X)=ZP，；

i:x(<x

(6)對連續(xù)隨機(jī)變量，/(工)=[]/(/)力為連續(xù)函數(shù)，且在/(x)連續(xù)點(diǎn)上，F(xiàn)(x)=f(x)

5.正態(tài)分布的概率計(jì)算以中(幻記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,l)的分布函數(shù)，則有

(1)0(0)=0.5；(2)①(一幻=1一①")；(3)若乂~N3b2),則/⑶二①(上當(dāng);

a

（4）以〃〃記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（O,1）的上側(cè)a分位數(shù)，則尸（X>（）=a=l-①（%）

6.隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g（X）

（1）離散時(shí)，求y的值，將相同的概率相加；

（2）X連續(xù)，g（x）在X的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

4（y）=/x（gT（y））l（gT。））），若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。

第三章隨機(jī)向量

I.二維離散隨機(jī)向量，聯(lián)合分布列尸（x=x,,y=），,?）=〃『邊緣分布列

P(X=演)=必，P[Y=y})=/%有

(1)PgNO：(2)Z%=1；⑶Pi=EPij'Pj=￡P(guān)ij

ijJi

2.二維連續(xù)隨機(jī)向量，聯(lián)合密度/(x,)，)，邊緣密度/x(x),/y(y),有

(1)/(x,y)>0；(2)匚匚八")=1；⑶P((X,Y)eG)=jjGf(x,y)dxdy：

(4)fxM=rf(x,y)dy,fY(y)=Vf(x,y)dx

?*-<OJ-30

3.二維勻稱分布/*,），）=；詞'O'）'）￡G,其中機(jī)（G）為G的面積

0,其它

4.二維正態(tài)分布（X,y）?其密度函數(shù)（牢記五個(gè)參數(shù)的含義）

/（X,y）=—Jw導(dǎo)』口21-2/~2一+上算

且X~N（〃],b；）,Y?旦（4。；）；

5.二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)b（x,），）=P（XWx,yWy）有

<1）關(guān)于X,），單調(diào)非降；（2）關(guān)于X,），右連續(xù)；

（3）/（乂-00）=F（-co,y）=F（-oo,-oo）=0；

(4)F(+oo,+oo)=1,F(X,-K?)=Fx(x),F(+oc,y)=FY(y)；

(5)P(M<X<x2,y]<YW%)=/"2，>2)一￡(修，必)一尸。2，%)+尸(內(nèi)，)'1)；

(6)對二維連續(xù)隨機(jī)向量，

oxdy

6.隨機(jī)變量的獨(dú)立性工,丫獨(dú)立0斤。,)，)=&(幻居，6，)

(1)離散時(shí)X,Y獨(dú)立<=>Pij=p,.p.j

(2)連續(xù)時(shí)X,y獨(dú)立=以x,y)=fxMfY(y)

(3)二維正態(tài)分布x,y獨(dú)立。夕=0,且X+Y~N(〃|

7.隨機(jī)變量的函數(shù)分布

(I)和的分布Z=X+y的密度fz⑶=匚/(Z-y,y)dy=匚f(x,z-x)dx

(2)最大最小分布

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.期望

(1)離散時(shí)E(X)=￡XR,E(g(X))=Zg(xJPi；

ii

⑵連續(xù)時(shí)E(X)=jxf(x)dx,E(g(X))=￡g(x)f(x)dx：

(3)二維時(shí)E(g(X,r))=Zg@"j)P〃E(g(X"?=OZS^y)f[x,y)dxdy

i，j88

(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；

(6)E(X+y)=E(X)+E(K)；

(7)X,y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)

2.方差

(1)方差D(X)=E(X-E(X)y=E(X2)-(EX)?,標(biāo)準(zhǔn)差cr(X)=JO(X)；

(2)O(C)=0,D(X+C)=D(X)；

(3)D(CX)=C2D(X)；

(4)x,y獨(dú)立時(shí),D(x+y)=D(x)+zxn

3.協(xié)方差

(1)o?v(x,r)=E[(x-E(x))(y-E(y))]=E(XY)-E(X)E(Y)；

(2)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aXybY)=abCov(X9Y)；

(3)Cov(X[+X2,K)=Cov(Xx,K)+Cov(X2,Y)；

<4)Cn，(X,y)=0時(shí)，稱X,y不相關(guān)，獨(dú)立n不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時(shí)等價(jià);

(5)D(X+Y)=D(X)+EXY)+2Cbv(X,Y)

Cov(Xy)

=

4.相關(guān)系數(shù)PXY；有IPXYI-1?IPXYl1O9仇P(Y=aX+A)=1

o-iX)cr(y)

5.k階原點(diǎn)矩/=E(X"),k階中心矩〃人.二E(X—E(X))?

第五章大數(shù)定律與中心極限定理

1.Chebyshev不等式P||X-E(X)|>^)<^^或尸｛|X-七(X)|<021-四￡2

8~￡

2.大數(shù)定律

3.中心極限定理

(1)設(shè)隨機(jī)變量看,乂2,…，X”獨(dú)立同分布E(XJ=〃，Q(Xj)=/,則

”2XXjfR

Yx,~%(伙,〃。2),或L之Xj~N(〃,J)或------N(0,l),

白‘近似'"〃占'近似3九Mo近似

(2)設(shè)機(jī)是〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中4發(fā)生的次數(shù)，P(A)=p,則對隨意x,有

limp｛牛絲<X｝=O(x)或理解為若X~8(〃,〃)，則X~N(np,npq)

"f°yjnpq近似

第六章樣本及抽樣分布

1.總體、樣本

(1)簡潔隨機(jī)樣本：即獨(dú)立同分布于總體的分布(留意樣本分布的求法)；

(2)樣本數(shù)字特征：

_1〃__-.2

樣本均值X=-YXi(E(X)=//,D(X)=—)；

〃z-i〃

樣本方差52=—^(X,-X)2(E(S2)=(y2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差

Ak

樣本攵階原點(diǎn)矩乙=-Yx,',樣本攵階中心矩外=-y(xz-X)

〃Z=1〃汩

2.統(tǒng)計(jì)量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)

3.三個(gè)常用分布(留意它們的密度函數(shù)形態(tài)及分位點(diǎn)定義)

(I)%?分布??=X：+X；+…+X：~%2(〃)，其中X1,乂2,…，X”獨(dú)立同分布于標(biāo)

準(zhǔn)正態(tài)分布N(0』)，若*~~七2(%)且獨(dú)立，則X|丫~力2(勺|%)；

X

(2)/分布t=^=-t(n),其中X?N(O,1),y~227(〃)且獨(dú)立;

（3）口分布F=N~"S，）,其中X~%2（/）,丫~力2（%）且獨(dú)立，有下面的

Y/n2

性質(zhì)產(chǎn)%（々，〃2）二不一~~；

4.正態(tài)總體的抽樣分布

（1）X~N（〃,CT2/〃）；（2）二￡（Xj-〃）2?/（〃）；

（3）"L?S?/（〃—］）且與官獨(dú)立;（4）［=上苔?f（〃一1）：

bS/J〃

⑸,=（5/）-（〃「/）尸?2）,s］=5T）S；+（〃「閭

S“V々+〃2~々+%-2

，

72

（6）/=4^-F（M,-1,M2-1）

第七章參數(shù)估計(jì)

1.矩估計(jì)：

（1）依據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計(jì)

2.極大似然估計(jì)：

（1）寫出極大似然函數(shù)；（2）求對數(shù)極大似然困數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏

導(dǎo)數(shù)為0,解出極大似然伍計(jì)（如無解回到（1）干脆求最大值，一