2026屆深圳市平湖中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的準線方程是，則a的值為（）A.4 B.C. D.2．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.3．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.4．算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.165．已知點在橢圓上，與關于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.6．設等差數(shù)列的前n項和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.387．圓和圓的位置關系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離8．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.29．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.10．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標準方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝111．設命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，12．甲、乙兩名同學8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標準差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點作圓的切線l，直線與l平行，則直線l過定點_________，與l間的距離為____________14．已知正三棱柱中，底面積為，一個側面的周長為，則正三棱柱外接球的表面積為______.15．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________16．已知圓，若圓的過點的三條弦的長，，構成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對五校高三學生進行綜合素質(zhì)測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質(zhì)成績的平均值和中位數(shù)；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質(zhì)成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.18．（12分）已知，C是圓B：（B是圓心）上一動點，線段AC的垂直平分線交BC于點P（1）求動點P的軌跡的方程；（2）設E，F(xiàn)為與x軸的兩交點，Q是直線上動點，直線QE，QF分別交于M，N兩點，求證：直線MN過定點19．（12分）如圖，四棱臺的底面為正方形，面，（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值20．（12分）為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，鼓勵全民閱讀經(jīng)典書籍，某市舉行閱讀月活動，現(xiàn)統(tǒng)計某街道約10000人在該活動月每人每日平均閱讀時間（分鐘）的頻率分布直方圖如圖：（1）求x的值；（2）從該街道任選1人，則估計這個人的每日平均閱讀時間超過60分鐘的概率.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知圓，點P在圓上，過點P作x軸的垂線，垂足為是的中點，當P在圓M上運動時N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點，試問在x軸上是否存在點M，使得過點M的動直線交C于兩點時，恒有？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由22．（10分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數(shù)列的項構成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，求及.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求得拋物線的標準方程，可得其準線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得拋物線的標準方程為，準線方程為，又準線方程是，所以，所以.故選：C2、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.3、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點坐標和長軸端點坐標，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標準方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點坐標為，，焦點坐標為，，∴雙曲線的焦點在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.4、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選：A5、B【解析】由，得到，結合，得到，進而求得，得出，結合離心率的定義，即可求解.【詳解】設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.6、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項公式得到公差d，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A7、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關系即可判斷.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因為，即，所以圓和圓的位置關系是相交，故選：C.8、A【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意，正態(tài)曲線的對稱軸為，則與關于對稱軸對稱，于是.故選：A.9、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B10、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.11、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結果.【詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.12、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.##2.4【解析】利用直線與平行，結合切線的性質(zhì)求出切線的方程，即可確定定點坐標，再利用兩條平行線間的距離公式求兩線距離.【詳解】由題意，直線斜率，設直線的方程為，即∴直線l過定點，由與圓相切，得，解得，∴的方程為，的方程為，則兩直線間的距離為故答案為：；.14、【解析】首先由條件求出底面邊長和高，然后設、分別為上、下底面的的中心，連接，設的中點為，則點為正三棱柱外接球的球心，然后求出的長度即可.【詳解】如圖所示，設底面邊長為，則底面面積為，所以，因此等邊三角形的高為：，因為一個側面的周長為，所以設、分別為上、下底面的的中心，連接，設的中點為則點為正三棱柱外接球的球心，連接、則在直角三角形中，即外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：求幾何體的外接球半徑的關鍵是根據(jù)幾何體的性質(zhì)找出球心的位置.15、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設等比數(shù)列的公比為，首項為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了和的關系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.16、2【解析】根據(jù)題意，求得過點的直線截圓所得弦長的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【詳解】圓的圓心，半徑，設點為點，因為，故點在圓內(nèi)，當直線過點，且經(jīng)過圓心時，該直線截圓所得弦長取得最大值；當直線過點，且與直線垂直時，該直線截圓所得弦長取得最小值，此時，則滿足題意的直線為，即，又，則該直線截圓所得弦長為；根據(jù)題意，要使得數(shù)列的公差最大，則，故最大公差.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）平均值為74.6分，中位數(shù)為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)和中位數(shù)算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質(zhì)成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數(shù)在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數(shù)在70~80之間，設為，則，解得，∴綜合素質(zhì)成績的中位數(shù)為75分.【小問2詳解】設這6名同學分別為，，，，1，2，其中設1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中含有文科學生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16種，∴含文科生的概率為.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)，利用橢圓的定義求解；（2）（解法1）設，得到，的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M，N的坐標，寫出直線的方程求解；（解法2）上同解法1，由對稱性分析知動直線MN所過定點一定在x軸上，設所求定點為，由C，D，T三點共線，然后由求解；（解法3）設，由，，設：，：，其中，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，由F，M，N三點的橫坐標為該方程的三個根，得到：求解.【小問1詳解】解：由題知，則，由橢圓的定義知動點P的軌跡為以A，B為焦點，6為長軸長的橢圓，所以軌跡的方程為【小問2詳解】（解法1）易知E，F(xiàn)為橢圓的長軸兩端點，不妨設，，設，則，，于是：，：，聯(lián)立得，解得或，易得，同理當，即時，：；當時，有，于是：，即綜上直線MN過定點（解法2）上同解法1，得，，由對稱性分析知動直線MN所過定點一定在x軸上，設所求定點為，由C，D，T三點共線，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直線MN過定點（解法3）設，則，，當時，直線MN即為x軸；當時，因為，所以，則，設：，：，其中，聯(lián)立，得，整理得，易知F，M，N三點的橫坐標為該方程的三個根，所以：，由及的任意性，知直線MN過定點19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）：連結交交于點O，連結，，通過四棱臺的性質(zhì)以及給定長度證明，從而證出，利用線面平行的判定定理可證明面；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理以及基本事實可證明，即求與平面所成角的正弦值；通過條件以及面面垂直的判定定理可證明面面，則為與平面所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【詳解】（1）證明：連結交交于點O，連結，，由多面體為四棱臺可知四點共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均為正方形，，∴，所以為平行四邊形，∴，面，面，∴平面（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直線m與平面所成角可轉化為求與平面所成角，∵和均為正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，設O在面的投影為M，則，∴為與平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直線m與平面所成角的正弦值為.【點睛】思路點睛：（1）找兩個平面的交線，可通過兩個平面的交點找到，也可利用線面平行的性質(zhì)找和交線的平行直線；（2）求直線和平面所成角，過直線上一點做平面的垂線，則垂足和斜足連線與直線所成角即為直線和平面所成角.20、（1）（2）0.7【解析】（1）利用概率和為1計算可得的值；（2）求頻率分布直方圖中每人每日平均閱讀時間超過60分鐘的概率即為這個人閱讀時間超過60分鐘的概率.【小問1詳解】由得【小問2詳解】，估計這個人的每日平均閱讀時間超過60分鐘的概率為21、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設，根據(jù)中點坐標公式用N的坐標表示P的坐標，將P的坐標代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設存在，設M為(m，0)，設直線l斜率為k，表示其方程，l方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得根與系數(shù)關系，由，得，代入根與系數(shù)的關系求k與m關系即可判斷.【小問1詳解】設，因為N為的中點，，又P點在圓上，，即C軌跡方程為；【小問2詳解】不存在滿足條件的點M，理由如下：假設存在滿足條件的點M，設點M的坐標為，直線的斜率為k，則直線的方程為，由消去y并