2025-2026學年遼寧省遼南協(xié)作校高二數學第一學期期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．《周髀算經》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺3．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.144．若直線與直線垂直，則（）A6 B.4C. D.5．已知等差數列的前項和為，若，則（）A B.C. D.6．設函數，，，則（）A. B.C. D.7．已知函數（是的導函數），則（）A.21 B.20C.16 D.118．在x軸與y軸上截距分別為，2的直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.90° D.180°9．已知函數，則等于（）A.0 B.2C. D.10．若圓C：上有到的距離為1的點，則實數m的取值范圍為（）A. B.C. D.11．定義焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線為一對相關曲線.已知，是一對相關曲線的焦點，Р是這對相關曲線在第一象限的交點，則點Р與以為直徑的圓的位置關系是（）A.在圓外 B.在圓上C.在圓內 D.不確定12．設雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內的點，若的三個內角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國民間剪紙藝術在剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.現有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個規(guī)格相同的圖形，將其中之一進行第次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個之一進行第次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規(guī)格相同，以此類推，每次對折后都會有兩個圖形規(guī)格相同.如果把次對折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.14．若拋物線經過點，則__________.15．已知5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.16．已知是定義在上的奇函數，當時，則當時___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數f(x)＝（1）求函數f(x)在x=1處的切線方程；（2）求證：18．（12分）已知平面內兩點，，動點P滿足（1）求動點P的軌跡方程；（2）過定點的直線l交動點P的軌跡于不同的兩點M，N，點M關于y軸對稱點為，求證直線過定點，并求出定點坐標19．（12分）已知橢圓的短軸長為2，左、右焦點分別為，，過且垂直于長軸的弦長為1（1）求橢圓C的標準方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側的兩點，且，共線，求四邊形的面積的最大值20．（12分）已知關于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此時的值.21．（12分）已知數列的前項和，且（1）證明：數列為等差數列；（2）設，記數列的前項和為，若，對任意恒成立，求實數的取值范圍22．（10分）如圖，矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時的邊長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A2、C【解析】設等差數列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，記為數列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C3、A【解析】由等差數列的性質可知，再代入等差數列的前項和公式求解.【詳解】數列{an}是等差數列，，那么，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數列的性質和前項和，屬于基礎題型.4、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.5、B【解析】利用等差數列的性質可求得的值，再結合等差數列求和公式以及等差中項的性質可求得的值.【詳解】由等差數列的性質可得，則，故.故選：B.6、A【解析】根據導數得出在的單調性，進而由單調性得出大小關系.【詳解】因為，所以在上單調遞增.因為，所以，而，所以.因為，且，所以.即.故選：A7、B【解析】根據已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B8、A【解析】按照斜率公式計算斜率，即可求得傾斜角.【詳解】由題意直線過，設直線斜率為，傾斜角為，則，故.故選：A.9、D【解析】先通過誘導公式將函數化簡，進而求出導函數，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.10、C【解析】利用圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標準方程得，所以．因為圓C上有到的距離為1的點，所以圓C與圓：有公共點，所以因為，所以，解得，故選：C11、A【解析】設橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，根據題意可得，設，根據橢圓與雙曲線的定義將分別用表示，設，再根據兩點的距離公式將點的坐標用表示，從而可判斷出點與圓的位置關系.【詳解】解：設橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則，所以，以為直徑的圓的方程為，設，則有，所以，設，，所以①，②，則①②得，所以，所以，將代入②得，所以，，則點到圓心的距離為，所以點Р在以為直徑的圓外.故選：A.12、B【解析】設點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】首先根據題意得到，再計算即可；根據題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，所以..故答案為：；14、2【解析】將點代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因為拋物線經過點，所以，即.故答案為：2.15、.【解析】設事件：第1次抽到代數題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設事件：第1次抽到代數題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.16、【解析】當時，利用及求得函數的解析式.【詳解】當時，，由于函數是奇函數，故.【點睛】本小題主要考查已知函數的奇偶性以及軸一側的解析式，求另一側的解析式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）y=5x－1；（2）證明見解析【解析】（1）求出導函數，求出切線的斜率，切點坐標，然后求切線方程（2）不等式化簡為．設，求出導函數，判斷函數的單調性求解函數的最值，然后證明即可【詳解】解：（1）的定義域為，的導數由（1）可得，則切點坐標為，所求切線方程為（2）證明：即證．設，則，由，得當時，；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，（1），即不等式成立，則原不等式成立18、（1）（2）證明見解析，定點坐標為【解析】（1）直接由斜率關系計算得到；（2）設出直線，聯立橢圓方程，韋達定理求出，再結合三點共線，求出參數，得到過定點.小問1詳解】設動點，由已知有，整理得，所以動點的軌跡方程為；【小問2詳解】由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因為直線過定點，所以三點共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點.【點睛】本題關鍵在于設出帶有兩個參數的直線的方程，聯立橢圓方程后，利用題干中的條件，解出一個參數或得到兩個參數之間的關系，即可求出定點.19、（1）（2）2【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）延長，交橢圓C于點．設出直線的方程并與橢圓方程聯立，化簡寫出根與系數關系，根據對稱性求得四邊形的面積的表達式，利用換元法，結合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問1詳解】由題可知，即，因為過且垂直于長軸的弦長為1，所以，所以所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】因為，共線，所以延長，交橢圓C于點．設，由（1）可知，可設直線的方程為聯立，消去x可得，所以，由對稱性可知設與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因為，當且僅當時取等號，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點睛】在橢圓、雙曲線、拋物線中，求三角形、四邊形面積的最值問題，求解策略是：首先結合弦長公式、點到直線距離公式等求得面積的表達式；然后利用基本不等式、二次函數的性質等知識來求得最值.20、（1）;（2），.【解析】（1）利用根與系數的關系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化簡函數的解析式，利用基本不等式可以求出函數的最小值.【小問1詳解】由題意知：，解得【小問2詳解】由（1）知，∴，由對勾函數單調性知在上單調遞減，∴，即當，函數的最小值為21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用錯位相減可得，轉化為對任意，恒成立，求出的最大值可得答案小問1詳解】當時，由，得或（舍去），由，得，①當時，，②由①－②