2025年湖北小池濱江高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.3．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于4．?dāng)?shù)列滿足，對(duì)任意，都有，則（）A. B.C. D.5．中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù).如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點(diǎn)都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.6．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.3 B.4C.6 D.87．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.218．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C與相等 D.9．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.10010．下列函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.11．圓心在x軸上且過(guò)點(diǎn)的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.12．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，則___________.14．已知橢圓，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，是左頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則________15．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.16．雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與連線的斜率之積.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程；（2）若是上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖，在三棱柱中，四邊形為矩形，，，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求平面AEB與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知直線和，設(shè)a為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：（1）（2）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.2、A【解析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A3、D【解析】由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論4、C【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.5、D【解析】設(shè)圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D6、D【解析】由的周長(zhǎng)為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長(zhǎng)為故選：D.7、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.8、D【解析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義分析判斷即可【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對(duì)立，也不相等，，所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D9、D【解析】由題設(shè)條件求出，從而可求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，故，解得，故，故選：D.10、C【解析】每一個(gè)選項(xiàng)根據(jù)求導(dǎo)公式及法則來(lái)運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，不正確；對(duì)于D，，正確.故選：C11、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A12、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數(shù)，所以，（由條件，所以等號(hào)不成立），所以④正確.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以?故答案為：2.14、##【解析】先求出頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線直線與的斜率，利用到角公式求出的正切值，進(jìn)而求出正弦值.【詳解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.故答案為：15、【解析】通過(guò)觀察、分析、歸納，找出規(guī)律運(yùn)算求解即可【詳解】前行共有正整數(shù)個(gè)，即個(gè)，因此第行第個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第個(gè)，即為故答案為：16、2【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求出最小值即可作答.【詳解】設(shè)，則，即，于是得，而，則當(dāng)時(shí)，，所以雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為2.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將條件化為基本量并解出，進(jìn)而求得答案；（2）通過(guò)裂項(xiàng)法即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】由，.得：解得：故.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，.18、（1）；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和.【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合已知列式即可作答.(2)設(shè)上任意一點(diǎn)，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再求出以為直徑的圓的方程即可分析作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率分別為：，，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：，所以的方程是：.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，令是上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)，以MN為直徑的圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q與M，N都不重合時(shí)，，有，當(dāng)點(diǎn)Q與M，N之一重合時(shí)，也成立，因此，以MN為直徑的圓的方程為：，化簡(jiǎn)整理得：，而，即，則以MN為直徑的圓的方程化為：，顯然當(dāng)時(shí)，恒有，即圓恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)和，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為直徑兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程是：.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由離心率、過(guò)點(diǎn)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過(guò)定點(diǎn)；綜合兩種情況可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）橢圓過(guò)點(diǎn)，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡(jiǎn)可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過(guò)定點(diǎn)；綜上所述：直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；④根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；（2）結(jié)合（1），并通過(guò)錯(cuò)位相減法即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.【小問(wèn)2詳解】，…①…②①-②得，.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)矩形及勾股定理的逆定理可得線面垂直的條件，再由平面，即可證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)后，求出相關(guān)法向量，再用夾角公式即可.【小問(wèn)1詳解】證明：由三棱柱的性質(zhì)及可知四邊形為菱形又∵∴為等邊三角形∴，又∵，∴，∴又∵四邊形為矩形∴又∵∴平面又∵平面∴平面平面.【小問(wèn)2詳解】以B為原點(diǎn)BE為x軸，為y軸，BA為E軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所