2025年考研數(shù)學(xué)一概率論試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.設(shè)事件A,B互斥，P(A)=0.3，P(A∪B)=0.6，則P(B)=_______.2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，則λ=_______.3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c(x+1),-1<x<0;0,其他，則c=_______.4.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y=2X-1，則Y的期望E(Y)=_______，方差D(Y)=_______.5.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,X?是來(lái)自總體X的樣本，樣本均值為\(\bar{X}\)，樣本方差為S2，則\(\bar{X}\)服從_______分布，\(\frac{S2}{σ2}\)服從_______分布.二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列事件中，與事件A相互獨(dú)立的是（）。A.A的對(duì)立事件\(\overline{A}\)B.事件B，其中P(A∩B)=0C.事件C，其中P(A∩C)=P(A)P(C)D.事件D，其中A?D2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列敘述正確的是（）。A.F(x)是單調(diào)遞減函數(shù)B.F(x)是非負(fù)函數(shù)C.F(x)是右連續(xù)函數(shù)D.F(x)是奇函數(shù)3.設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布U(0,1)，Y=-2lnX，則Y服從（）分布。A.指數(shù)分布B.泊松分布C.卡方分布D.伽瑪分布4.設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布，且X服從正態(tài)分布N(0,1)，則下列隨機(jī)變量中一定服從正態(tài)分布的是（）。A.X+YB.X2+Y2C.X-YD.\(\frac{X}{Y}\)5.設(shè)X?,X?,...,X?是來(lái)自總體X的樣本，總體X服從參數(shù)為p的0-1分布，則\(\sum_{i=1}^nX_i\)服從（）分布。A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.指數(shù)分布三、解答題（每題10分，共30分）1.一個(gè)袋中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中不放回地依次取出3個(gè)球。求：(1)取出的3個(gè)球都是紅球的概率；(2)取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球的概率。2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={\(\frac{1}{2}\),0<x<2;0,其他。求：(1)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)；(2)P(1<X<3)。3.設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立同分布，且X服從正態(tài)分布N(0,1)，求隨機(jī)變量Z=X2+Y2的分布函數(shù)F_Z(z)。四、證明題（10分）設(shè)X?,X?,...,X?是來(lái)自總體X的樣本，總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。證明：樣本均值\(\bar{X}\)是總體均值μ的無(wú)偏估計(jì)量。試卷答案一、填空題（每空3分，共15分）1.0.32.13.\(\frac{1}{2}\)4.0,45.N(μ,\(\frac{σ2}{5}\)),χ2(4)二、選擇題（每題3分，共15分）1.C2.C3.C4.A5.A三、解答題（每題10分，共30分）1.解：(1)P(3個(gè)紅球)=\(\frac{C_5^3}{C_8^3}\)=\(\frac{10}{56}\)=\(\frac{5}{28}\)(2)P(至少一個(gè)白球)=1-P(3個(gè)紅球)=1-\(\frac{5}{28}\)=\(\frac{23}{28}\)2.解：(1)F(x)={0,x≤0;\(\frac{x^2}{4}\),0<x<2;1,x≥2(2)P(1<X<3)=F(3)-F(1)=1-\(\frac{1}{4}\)=\(\frac{3}{4}\)3.解：(1)當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)_Z(z)=P(Z≤z)=P(X2+Y2≤z)=0(2)當(dāng)z≥0時(shí)，F(xiàn)_Z(z)=P(Z≤z)=P(X2+Y2≤z)=P(-\(\sqrt{z}\)≤X≤\(\sqrt{z}\))=\(\int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\)由于X,Y獨(dú)立同分布N(0,1)，則Z=X2+Y2服從自由度為2的卡方分布，即χ2(2)。所以F_Z(z)=P(Z≤z)=P(χ2(2)≤z)=F_χ2(2)(z)其中F_χ2(2)(z)是自由度為2的卡方分布的分布函數(shù)。綜上所述，F(xiàn)_Z(z)={0,z<0;F_χ2(2)(z),z≥0}四、證明題（10分）證明：E(\(\bar{X}\))=E(\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\))=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i)\)（由期望的線性性質(zhì)）由于X?,X?,...,X?是來(lái)自總體X的樣本，且總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，所以E(X?)