2025年專(zhuān)升本數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)概率論試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.設(shè)事件A和B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）A與B獨(dú)立（B）A與B不獨(dú)立（C）A與B互為對(duì)立事件（D）A與B可能獨(dú)立2.已知隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=(k+1)/15,k=1,2,3,4，則P{X≤3}等于（）。（A）2/5（B）3/5（C）4/5（D）13.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，則λ等于（）。（A）1（B）2（C）1/2（D）log24.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={1/2,-1≤x≤1;0,其他}，則隨機(jī)變量Y=X^2的密度函數(shù)f_Y(y)在y=1處等于（）。（A）0（B）1/2（C）1（D）1/45.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(0,1)，Y～N(1,1)，則隨機(jī)變量Z=2X+Y的分布是（）。（A）N(0,1)（B）N(1,1)（C）N(1,5)（D）N(0,5)二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題中橫線上。）6.設(shè)事件A,B,C相互獨(dú)立，且P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/4，則P(A∪B∪C)=_______。7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;(1-p)e^{-px},x≥0;p,x>1}，其中0<p<1，則P{X>1}=_______。8.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=2，X的方差DX=1，Y的方差DY=4，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ_XY=_______。9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(3,4)，Y～N(0,1)，則E(XY)=_______。10.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={ke^{-x},x>0;0,x≤0}，則常數(shù)k=_______。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分。）11.一批產(chǎn)品共有10件，其中正品3件，次品7件?，F(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中至少有一件次品的概率。12.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0<x<1;0,其他}，求隨機(jī)變量Y=log(X)的數(shù)學(xué)期望E(Y)。13.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求隨機(jī)變量Z=sqrt(X^2+Y^2)的分布函數(shù)F_Z(z)。14.甲、乙兩人投籃，每次投籃命中率分別為0.7和0.6，兩人獨(dú)立地各投籃3次。求甲比乙投中次數(shù)多的概率。四、證明題（每小題10分，共20分。）15.設(shè){X_n}是隨機(jī)變量序列，且X_n→X（依概率收斂），證明：對(duì)于任意ε>0，有l(wèi)im_{n→∞}P{|X_n-X|≥ε}=0。16.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(μ,σ^2)，Y～U(0,1)，證明：E(XY)=μE(Y)。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.B5.C二、填空題6.11/127.p(e^{-p})8.1/29.010.1三、計(jì)算題11.解：設(shè)A為取出的3件產(chǎn)品中至少有一件次品的事件。P(A)=1-P(取出的3件產(chǎn)品全是正品)=1-C(3,3)/C(10,3)=1-1/120=119/12012.解：Y=log(X)，所以x=e^y。f_Y(y)=f_X(e^y)*|e^y|`={2e^y*e^y,y<0;0,y≥0}={2e^(2y),y<0;0,y≥0}E(Y)=∫_{-∞}^{+∞}y*f_Y(y)dy=∫_{-∞}^{0}y*2e^(2y)dy=∫_{-∞}^{0}2ye^(2y)dy=[ye^(2y)-1/2e^(2y)]_{-∞}^{0}=(0-1/2)-(lim_{y→-∞}(ye^(2y)-1/2e^(2y)))=-1/2-(lim_{y→-∞}y*e^(2y)-1/2*lim_{y→-∞}e^(2y))=-1/2-(0-1/2)=-1/213.解：Z=sqrt(X^2+Y^2)。當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)_Z(z)=P{Z≤z}=0。當(dāng)z>0時(shí)，F(xiàn)_Z(z)=P{sqrt(X^2+Y^2)≤z}=P{X^2+Y^2≤z^2}=?_{x^2+y^2≤z^2}f(x,y)dxdy=?_{x^2+y^2≤z^2}(1/2)dxdy(因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1))=(1/2)*πz^2=(π/2)z^2所以，F(xiàn)_Z(z)={0,z≤0;(π/2)z^2,z>0}14.解：設(shè)X為甲投中的次數(shù)，Y為乙投中的次數(shù)。X～B(3,0.7),Y～B(3,0.6)P{X>Y}=∑_{i=0}^{3}P{X=i}*∑_{j=0}^{i-1}P{Y=j}=∑_{i=0}^{3}C(3,i)*0.7^i*0.3^(3-i)*∑_{j=0}^{i-1}C(3,j)*0.6^j*0.4^(3-j)=P{X=1}*(P{Y=0})+P{X=2}*(P{Y=0}+P{Y=1})+P{X=3}*(P{Y=0}+P{Y=1}+P{Y=2})=(C(3,1)*0.7*0.3^2)*C(3,0)*0.6^3*0.4^3+(C(3,2)*0.7^2*0.3)*(C(3,0)*0.6^3*0.4^3+C(3,1)*0.6^2*0.4*0.4^2)+(C(3,3)*0.7^3)*(C(3,0)*0.6^3*0.4^3+C(3,1)*0.6^2*0.4*0.4^2+C(3,2)*0.6*0.4^2*0.4)=0.189+0.20736+0.163824=0.560184四、證明題15.證明：因?yàn)閄_n→X（依概率收斂），所以對(duì)于任意ε>0，lim_{n→∞}P{|X_n-X|≥ε}=0。由依概率收斂的定義，對(duì)于任意ε>0，存在N，當(dāng)n>N時(shí)，P{|X_n-X|