試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省珠海市紫荊中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．一元二次方程化為一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）．A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，53．若拋物線的開(kāi)口向上，則m的值可能為（

）A．0 B．1 C．3 D．4．關(guān)于x的方程是一元二次方程，那么m的值為（

）A． B． C．3 D．以上都不對(duì)5．如圖是二次函數(shù)（，a，b，c為常數(shù)）的部分圖象，該圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，則方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，6．設(shè)、是拋物線上的兩點(diǎn)，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．7．如圖，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到若點(diǎn)剛好落在邊上，且，若，則旋轉(zhuǎn)的角度為（）A． B． C． D．8．菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，則菱形的面積是（

）A． B． C． D．9．俗語(yǔ)有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門(mén)外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識(shí)和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時(shí)復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過(guò)的東西就會(huì)被遺忘，假設(shè)每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，設(shè)每天“遺忘”的百分比約為，則可列方程為（

）A． B． C． D．10．如圖，在中，，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接，則線段的最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．二、填空題11．二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．12．把拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的解析式是．13．紫砂壺是我國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，圖2是正確使用該工具時(shí)的示意圖．如圖3，為某紫砂壺的壺口，已知A，B兩點(diǎn)在上，直線l過(guò)點(diǎn)O，且于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C．若，，則這個(gè)紫砂壺的壺口半徑r的長(zhǎng)為14．已知是方程的一個(gè)根，則的值為．15．如圖是二次函數(shù)的圖像，其對(duì)稱(chēng)軸是直線，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6；有下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；⑤當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，其中正確的有．（填序號(hào)）三、解答題16．解方程：；17．同學(xué)們利用幾何畫(huà)圖軟件開(kāi)展了“圖案設(shè)計(jì)”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，下面在的正方形網(wǎng)格中設(shè)計(jì)的兩種不同圖案的一部分(1)請(qǐng)將圖中的陰影三角形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的三角形；(2)利用圖中的陰影三角形，通過(guò)添加全等三角形的方式，補(bǔ)成一個(gè)圖案，使其既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；（可以補(bǔ)充一個(gè)或多個(gè)）18．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，，若，求的長(zhǎng)．19．已知關(guān)于的方程．(1)求證：取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若斜邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)，恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．20．如圖，已知拋物線（為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)拋物線上一點(diǎn)在直線上方，其橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交線段于點(diǎn)．連接、，若的面積是面積的倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；21．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)實(shí)體店背景下的網(wǎng)上銷(xiāo)售價(jià)格方案？素材1某公司在網(wǎng)上和實(shí)體店同時(shí)銷(xiāo)售一種自主研發(fā)的小商品，成本價(jià)為20元/件．素材2據(jù)調(diào)查，該商品的網(wǎng)上銷(xiāo)售價(jià)為40元/件時(shí)，平均每天網(wǎng)上銷(xiāo)售量是100件，而銷(xiāo)售價(jià)每降低元，平均每天網(wǎng)上就可以多售出件．素材3該公司在實(shí)體店的銷(xiāo)售價(jià)定為50元/件．據(jù)調(diào)查，該實(shí)體店的銷(xiāo)售受網(wǎng)上影響，實(shí)體店銷(xiāo)售量為件．問(wèn)題解決任務(wù)1確定模型求網(wǎng)上每天銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)（元）關(guān)于的表達(dá)式．任務(wù)2探究銷(xiāo)售方案若該公司網(wǎng)上每天銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)為3000元，那么網(wǎng)上銷(xiāo)售的價(jià)格應(yīng)定為多少元？任務(wù)3擬定最優(yōu)方案當(dāng)該小商品的網(wǎng)上銷(xiāo)售價(jià)是每件多少元時(shí)，該公司每天銷(xiāo)售這種小商品的總利潤(rùn)最大？（總利潤(rùn)網(wǎng)上利潤(rùn)實(shí)體店利潤(rùn)）最大總利潤(rùn)是多少？22．小珠為了研究拋出的乒乓球落在斜面上反彈后的運(yùn)動(dòng)情況，用繪圖軟件在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行模擬演示．當(dāng)乒乓球（看成點(diǎn)）以某種特定的角度和初速度從軸上的點(diǎn)處拋出后，乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上經(jīng)反彈后，繼續(xù)沿拋物線運(yùn)動(dòng)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)若斜面所在直線的解析式為，拋物線與的開(kāi)口大小和方向均不變，但最大高度是的，①求乒乓球與斜面接觸點(diǎn)的坐標(biāo)；②求拋物線的解析式．(3)小海發(fā)現(xiàn)：“（2）中的拋物線可以通過(guò)平移得到．”則平移的最短路程為_(kāi)_______；(4)在軸上的線段處豎直向上擺放著若干個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體回收箱，已知，且每個(gè)回收箱的寬0.5，高是0.4．當(dāng)（2）中沿拋物線下落的乒乓球能落入回收箱內(nèi)時(shí)（不考慮箱壁厚度），求可豎直擺放的回收箱的個(gè)數(shù)．23．在中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接．(1)如圖，若，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______；(2)將線段繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，①求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的度數(shù)；②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段掃過(guò)的面積為_(kāi)_______；(3)當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，判斷線段、的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《廣東省珠海市紫荊中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ABCBBBBBDD1．A【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化，圖形的旋轉(zhuǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，即點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即為．故選：A．2．B【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)是解題的關(guān)鍵．元二次方程的一般形式為（a、b、c為常數(shù)，），其中a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)，由此解答即可．【詳解】解：由得，所以二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是9，4，，故選：B．3．C【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開(kāi)口向上，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵拋物線的開(kāi)口向上，∴，∴，∴m的值可能為3．故選：C．4．B【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義和解法，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義．根據(jù)一元二次方程的定義，得到關(guān)于m的方程，求解即可．【詳解】解：因?yàn)榉匠?是一元二次方程，所以，解得．故選：B．5．B【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)一步可求出另一交點(diǎn)，在根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的兩個(gè)根，即可解答．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為：，即有：，解得：，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是，方程的兩根是，．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及二次函數(shù)與一元二次方程的性質(zhì)，結(jié)合圖象掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的圖象開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)的大小即可判斷出與的大小關(guān)系．【詳解】解：∵∴拋物線的開(kāi)口向下，的對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴離對(duì)稱(chēng)軸越近越大，∵，∴．故選：A．7．B【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出，由三角形外角的性質(zhì)求出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，由三角形內(nèi)角和定理求出，繼而得出答案．【詳解】解：，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，，旋轉(zhuǎn)的角度為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出兩條對(duì)角線之積，再利用菱形的面積公式解答即可．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為，∵菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，∴，∴，故選：．9．D【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)“兩天不練丟一半”的含義，每天“遺忘”百分比為x，則兩天后剩余知識(shí)的百分比應(yīng)為，等于，由此列方程即可．【詳解】解：設(shè)初始知識(shí)量為1，每天“遺忘”百分比為x，∴一天后剩余比例為，兩天后剩余百分比為，又∵兩天后剩余知識(shí)為一半，即，∴．故選：D．10．D【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等．在上取一點(diǎn)E，使，連接，過(guò)點(diǎn)E作于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則當(dāng)（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，最小，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)E，使，連接，過(guò)點(diǎn)E作于F，由旋轉(zhuǎn)知，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，要使最小，則有最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，最小，即點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，最小，最小值為，在中，，，，∴，∵，∴，在中，，∴，故線段長(zhǎng)度的最小值是，故選：D．11．【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以直接寫(xiě)出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．12．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)“上加下減，左加右減”的規(guī)律進(jìn)行解答即可，熟知函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線先向右平移個(gè)單位，∴根據(jù)“左加右減”規(guī)律可得拋物線平移后是，故答案為：．13．【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解垂徑定理構(gòu)建關(guān)于半徑r的等式．根據(jù)可得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建關(guān)于半徑r的等式求解即可．【詳解】解：，，，，，此時(shí)有，解得：，紫砂壺的壺口半徑r的長(zhǎng)為，故答案為：．14．【分析】本題考查了一元二次方程的根的定義，代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程的根的定義，將代入方程得到，然后整體代入求值即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：．15．③④/④③【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖像．根據(jù)圖像可知該二次函數(shù)交于y軸正半軸，即，再由對(duì)稱(chēng)軸可判斷，由此可判斷①；根據(jù)該二次函數(shù)交于x軸于點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式即可判斷②；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸即可判斷③；根據(jù)該函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可判斷④；根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷⑤．【詳解】解：①：∵該二次函數(shù)交于y軸正半軸，即，又∵其對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴，∴，即，∴，故①錯(cuò)誤；②：由圖像可知，該二次函數(shù)交于x軸于點(diǎn)，∴，即，故②錯(cuò)誤；③：∵其對(duì)稱(chēng)軸是直線，即，則有，故③正確；④∵該函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，∴，即，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故④正確；⑤當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故⑤錯(cuò)誤．∴結(jié)論正確的有③④．故答案為：③④．16．，【分析】本題考查了解一元二次方程．移項(xiàng)后根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】解：移項(xiàng)得：提取公因式得：所以或解得，17．(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可畫(huà)圖；（）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)即可畫(huà)圖．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，四邊形即為所求．18．【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，得出是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理知，，結(jié)合，可得，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，連接，是的直徑，弦于點(diǎn)，，，，，，，，解得，．19．(1)見(jiàn)解析(2)的周長(zhǎng)為【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的意義，根與系數(shù)的關(guān)系．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義證明即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴無(wú)論取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，∴，，（）∵斜邊長(zhǎng)，∴，∴，即，解得：（負(fù)值舍去），∴，∴的周長(zhǎng)為．20．(1)拋物線的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用——面積問(wèn)題，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由拋物線對(duì)稱(chēng)軸是直線，得，解得：，求出拋物線的解析式，然后令，解出方程即可；（）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線解析式為，則有，，所以，又的面積是面積的倍，所以，然后解方程即可．【詳解】（1）解：∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴，解得：，∴該拋物線的解析式，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：如圖，由（）得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的解析式，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，設(shè)直線解析式為，，解得：，∴直線解析式為，∵拋物線上一點(diǎn)在直線上方，其橫坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，，∵的面積是面積的倍，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．21．任務(wù)1：任務(wù)2：網(wǎng)上銷(xiāo)售的價(jià)格應(yīng)定為35元或30元任務(wù)3：當(dāng)網(wǎng)上銷(xiāo)售價(jià)是每件34元時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是5720元【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用——銷(xiāo)售問(wèn)題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，能列出相應(yīng)的表達(dá)式，并能根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．任務(wù)1：利用單件利潤(rùn)乘以銷(xiāo)量即可求解；任務(wù)2：求解方程，即可得解；任務(wù)3：利用二次函數(shù)的性質(zhì)先確定x的值，再求解．【詳解】解：任務(wù)1：；任務(wù)2：由題意得，整理得，解得，∴元或元，即網(wǎng)上銷(xiāo)售的價(jià)格應(yīng)定為35元或30元；任務(wù)3：，∴當(dāng)，即（元）時(shí)，（元）．∴當(dāng)網(wǎng)上銷(xiāo)售價(jià)是每件34元時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是5720元．22．(1)，；(2)①；②(3)(4)6個(gè)或7個(gè)．【分析】（1）由點(diǎn)P在拋物線上，且在y軸上，得到當(dāng)時(shí)，，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得到拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①解方程得到，，求得，當(dāng)時(shí)，，于是得到乒乓球與斜面接觸點(diǎn)的坐標(biāo)為；②由題意得，拋物線的最大高度為，設(shè)拋物線的解析式為，把，代入得到，于是得到拋物線的解析式為；（3）根據(jù)的頂點(diǎn)為，的頂點(diǎn)為，得到可將拋物線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，于是得到平移的最短路程為；（4）由，，得到，設(shè)豎直擺放的回收箱有m個(gè)，得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：點(diǎn)P在拋物線上，且在y軸上，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，拋物線的解析式為：，拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為：，；（2）①由