試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題相似三角形的判定（6大題型）（專項訓練）數(shù)學北師大版九年級上冊一、解答題1．如圖，．求證：．2．已知：如圖，在等邊中，點D為上任意一點，且，求證：3．如圖，點、、分別在等邊的三邊、、上，且，求證：．4．如圖，在中，，是邊上的高，平分，且分別與相交于點E，F(xiàn)．求證：．5．如圖，在正方形中，P為中點，Q為上一點，且．求證：．6．如圖，在中，點在上，連接．已知，求證，．7．如圖，在中，D為上一點，，求證：．8．如圖，在四邊形中，，，E是的中點，．求證：．9．如下圖所示的是由三個邊長為1的正方形拼成的矩形．求證：．10．如圖，在邊長為1個單位的方格紙上，有與．求證：．11．如圖所示，在的網(wǎng)格中，和的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．(1)填空：________，________；(2)判斷與是否相似？并證明你的結論．12．根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：(1)，，，，，；(2)，，，．二、單選題13．下列條件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定與相似的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個14．如圖，小正方形的邊長均為，則下列正方形網(wǎng)格中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B． C． D．15．如圖，，添加一個條件能判定的是（）①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④16．下列條件中，不能判定以、、為頂點的三角形與相似的是（

）A．， B．，，C．， D．，三、填空題17．如圖，已知，請?zhí)砑右粋€條件使與相似：（不添加字母及輔助線）．18．如圖，是的邊上一點，添加一個條件，使．你添加的條件是．19．如圖，在中，若，點D為的中點，則當時，．20．如圖，在四邊形中，對角線平分，，，則要使，只要．四、解答題21．如圖，點、在線段上，△是等邊三角形，．(1)證明：；(2)線段、、之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．22．如圖，在中，，是邊上一點，且．(1)求證：．(2)若，，求的長．23．如圖，在中，點、分別在邊、上，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．24．如圖，在四邊形中，是的中點，交于點．，．(1)求證：(2)若，求的長．五、單選題25．如圖，已知中，D為邊上一點，P為邊上一點，，，，當?shù)拈L度為（）時，和相似．A．9 B．6 C．4或9 D．6或926．如圖，在的正方形方格中，的頂點，都在邊長為1的小正方形的頂點上，邊上的點也在小正方形的頂點上，則的面積等于（）A． B． C． D．27．定義：如果一個四邊形的兩條對角線將它分成的四個小三角形都是相似三角形，那么稱這樣的四邊形是“全相似四邊形”．如圖，和關于直線對稱，下列條件能使四邊形成為“全相似四邊形”的是（

）A． B．C． D．六、填空題28．如圖，中，是上一點，連接．請你補充一個條件，使．29．在Rt中，．若在Rt中，，則Rt與Rt（填“相似”或“不相似”）．30．已知的三邊長分別為，的兩邊長分別為1和．當?shù)牡谌呴L為時，與相似．31．如圖①，一張正三角形紙片，，點在邊上，，點是邊上的一點．如圖②，將沿翻折得到，與的邊相交于點和點．若，，則的長度為．32．如圖，已知中，，，，是的中點，是邊上一個動點．將沿折疊，使點落在處，如果與原相似，那么的長為．七、解答題33．如圖，相交于點O，，求證：．34．如圖，在邊長為的小正方形組成的網(wǎng)格中，和的頂點都在網(wǎng)格點上，證明：．35．如圖，在中，，是邊上高，若，．(1)求證：；(2)求的長．36．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，和的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上：(1)則，；(2)判斷與是否相似，若相似，請說明理由．37．如圖，在梯形中，是梯形對角線，．

(1)求證：；(2)以為一邊作交邊于點，求證：．38．如圖，在中，是角平分線，點是邊上一點，且滿足．(1)求證：．(2)若，，求的長．39．如圖，在矩形中，點E在邊上，點F在對角線上，連接交于點O，且．(1)求證：；(2)判斷與是否相似，并說明理由；(3)若，，，求的長．40．如圖所示，和中，，，且平分．(1)求證：；(2)點E是邊的中點，連接和，和交于點F，若，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案題號13141516252627答案DABDCAB1．見解析【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)角之間的關系可得，再根據(jù)相似三角形判定定理即可證明．【詳解】證明：，，，又，．2．證明見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題關鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質可得，再根據(jù)三角形的外角性質、角的和差可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證．【詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，∴，又∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．3．見解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，相似三角形的性質與判定：先由等邊三角形的性質得到，再由三角形內角和定理和平角的定義證明，即可證明．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，．4．見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，角平分線的定義等知識點，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．根據(jù)互余可得，再由角平分線得到，即可證明．【詳解】證明：∵是邊上的高，∴∵，∴，∵平分，∴，∴．5．見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質，由正方形的性質得出，，結合已知條件得出，進而即可得出．【詳解】證明：∵四邊形是正方形，P為中點，∴，，∵，∴，又∵，∴．6．見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．通過計算可得，加上為公共角，則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷．【詳解】證明：，，，，，，，7．見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理解題關鍵．由題意得到兩邊對應成比例，且夾角相等，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證．【詳解】解：，，，，又∵，．8．見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，由題意可得，再結合即可得證，熟練掌握相似三角形的判定定理是解此題的關鍵．【詳解】證明：∵E是的中點，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．9．證明見解析【分析】本題主要考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理；解決問題的關鍵是熟練掌握勾股定理，證明三邊成比例．根據(jù)正方形的性質和勾股定理求出的長，得出，再根據(jù)相似三角形的判定方法即可證明．【詳解】證明：由題意可知，．由勾股定理，得．10．見解析【分析】本題考查了勾股定理和相似三角形的判定，先計算出三角形的各個邊的長，再根據(jù)三邊對應成比例的兩個三角形相似證明即可．【詳解】證明：由圖知：，，，，，．，．11．(1)；(2)，證明見解析【分析】此題考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．（1）取格點G，連接，，根據(jù)勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，進而求出根據(jù)勾股定理即可求出；（2）首先根據(jù)勾股定理求出與各邊長，然后得到，即可證明出．【詳解】（1）解：如圖所示，取格點G，連接，，由網(wǎng)格得，點G，A，C三點共線∵，，∴，∴是等腰直角三角形∴∴；由勾股定理得，；（2）解：∵在中，，，，∵在中，，，∴∴．12．(1)，理由見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查相似三角形的判定、三角形內角和定理；熟練掌握相似三角形的判定方法，通過計算得出三邊成比例或兩角對應相等是解決問題的關鍵．（1）通過計算得出兩個三角形三邊成比例，即可得出結論；（2）由三角形內角和定理求出，得出，，即可得出結論．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，，，．13．D【分析】本題考查的是相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法，即可判斷．【詳解】解：①由，，可判定，故①符合題意；②由，，可判定，故②符合題意；③由，可判定，故③符合題意．∴能判定與的有3個．故選：D．14．A【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)三角形的一個角為判斷即可，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．【詳解】解：由題意，，，∴，選項中的三角形有一個角為，且該角度的鄰邊之比為，符合題意．故選：．15．B【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．先證出，再由相似三角形的判定方法即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，∴，添加，利用兩角對應相等可判定，故①符合題意；添加，利用兩角對應相等可判定，故②符合題意；添加，無法判定，故③不符合題意；添加，利用兩邊對應成比例及其夾角相等可判定，故④符合題意；故選：B．16．D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理．利用相似三角形的判定定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：A.由兩個角對應相等的三角形相似可知，該選項正確，不符合題意；B.因為，，即，根據(jù)兩邊對應成比例及其夾角相等的三角形相似可知，該選項正確，不符合題意；C.由兩邊對應成比例及其夾角相等的三角形相似可知，該選項正確，不符合題意；D.該選項條件中，相等的角不是對應成比例兩邊的夾角，故不能證明三角形相似，該選項錯誤，符合題意．故選：D．17．（答案不唯一）【分析】本題考查了三角形相似的判定定理，熟練掌握三角形相似的判定定理是解題的關鍵．根據(jù)三角形相似的判定定理去添加條件（答案不唯一）．【詳解】解：添加,∴故答案為：（答案不唯一）．18．或或（任選一個）【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．【詳解】解：在和中，∵，∴當或或時，，故答案為：或或．19．【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，代入數(shù)據(jù)進行計算即可求解．【詳解】解：∵點D為的中點，，∴，∵，∴要使，則，此時；故答案為：．20．4【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)兩組對應邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，進行求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，當時，，即：，∵，，∴，∴，故答案為：4．21．(1)見解析(2)【分析】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定．（1）由等邊三角形性質得，，從而有；由得，由相似三角形的判定得證；（2）根據(jù)，，求出，由等角對等邊即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，∴；∵，即：，∴，，∴，,∴；（2）結論：．證明∵，∴；∵，∴，，又∵，∴22．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質是解題的關鍵．（1）直接利用兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似判定即可；（2）先利用相似性質得出，再分別在兩個直角三角形和中，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，，又∵，∴，∴．23．(1)見詳解(2)【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，比的利用等知識．熟練掌握相似三角形的判定是解此題的關鍵．（1）首先得到，然后結合即可證明；（2）由已知條件可得出，，根據(jù)等高三角形面積比等于三角形的底比可得出：，，進一步即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，又∵，∴．（2）解：，，，，∴，，∴，，根據(jù)等高三角形面積比等于三角形的底比可得出：，，∴，∴24．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）證明是的中位線，得，，繼而推出，，根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）根據(jù)三角形中位線的性質推出，，繼而得到，，由平行四邊形的性質得，最后利用勾股定理可得出結論．【詳解】（1）證明：∵，∴點是的中點，又∵點是的中點，∴是的中位線，∴，，∴，，∴；（2）解：∵，∴，由（1）知：，，∴，，又∵，，∴，，又∵，∴四邊形為平行四邊形；∴，在中，，∴的長為．【點睛】本題考查三角形中位線定理，相似三角形的判定，平行四邊形的判定和性質，勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．25．C【分析】此題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確進行分類討論是解決問題的關鍵．分別根據(jù)當時，，當時，，求出的長即可．【詳解】解：，當時，，，，，，；當時，，，，的長度為4或9時，和相似．故選：C．26．A【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，三角形的面積，熟練利用網(wǎng)格中的平行線判定相似是解題的關鍵．由圖，利用，判定，得出，即可求出，則可求出，再利用，即可求解．【詳解】解：如圖，由圖可知，，，，，，，∴，∴，即，解得：，∴，∴，故選：A．27．B【分析】本題考查相似圖形，全等三角形的判定和性質．如圖，連接交于點O．證明，推出，，再證明當時符合題意即可．【詳解】解：如圖，設交于點O．∵和關于直線對稱，∴，∴，，當時，，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，同法可證，故選項B符合題意．當或或時都不符合題意．故選：B．28．（或或或）（答案不唯一）【分析】本題考查兩個相似三角形的判定定理，涉及兩角分別相等的兩個三角形相似、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似判定即可得到答案．熟記兩個相似三角形的判定定理是解決問題的關鍵．【詳解】解：在和中，，是的一個外角，，即，且，，當時，；或當時，；或當時，；故答案為：（或或或）（答案不唯一）．29．相似【分析】本題考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.【詳解】解：∵在Rt中，．∴∴，∴，∵，∴.故答案為：相似．30．【分析】本題考查的是相似三角形的判定，解決問題的關鍵是熟知相似三角形的對應邊成比例．設第三邊長為,應用兩三角形相似的判定定理，三邊對應成比例，解題即可．【詳解】解：的三邊長分別是，三邊長的比為．，且的兩邊長分別是1和需要分情況進行討論:①若，解得；②若，∵，∴該情況不成立③若，解得經(jīng)檢驗，當時，與的三邊對應成比例，兩三角形相似；當時，與的三邊對應不成比例，兩三角形不相似；故答案為：．31．9【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．根據(jù)等邊三角形的性質可得，，從而可得，再利用折疊的性質可得：，，從而可得，，然后證明8字模型相似，從而利用相似三角形的性質求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，由折疊得：，，，，，，，，，，故答案為：9．32．或【分析】本題考查了相似三角形的性質，分當時，當時，再根據(jù)相似三角形的性質即可求解，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：當時，，為中點，∴，∴，∴；

當時，，∴，∴，綜上，的長為或，故答案為：或．33．見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定定理解答即可．【詳解】證明：∵交于點O，∴，∵，∴．34．證明見解析．【分析】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，相似三角形的判定，由網(wǎng)格可知，，，，，，再利用三邊對應成比例的兩個三角形相似即可求證，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．【詳解】證明：根據(jù)勾股定理，得，，，，，，∴，，，∴，∴．35．(1)見解析(2)【分析】（1）通過尋找兩個三角形中相等的角，利用兩角分別相等來證明相似．（2）先利用勾股定理求出斜邊的長度，再根據(jù)三角形面積的兩種不同表示方法，建立等式求出的長．本題主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面積公式，熟練掌握相似三角形的判定定理和利用面積法求高是解題的