試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁安徽省阜陽市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．2．荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時(shí)期的名言.此名言中的“積跬步”是“至千里”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知命題，都有，則為（

）A．，都有 B．，使得C．，都有 D．，使得4．若存在正實(shí)數(shù)x，y滿足于，且使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“◎”：，設(shè)函數(shù)（），若函數(shù)的圖象與x軸恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1，另一個(gè)實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題9．已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

）A．1 B． C． D．10．（多選）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間，是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡(jiǎn)單地講，就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，且當(dāng)時(shí)，，則以下結(jié)論正確的是（

）A．在內(nèi)的值域?yàn)?B．C．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 D．在]內(nèi)零點(diǎn)之和為1612．已知，都為正數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題13．已知函數(shù)（且在上是增函數(shù)，則的取值范圍為．14．已知函數(shù)，且對(duì)于，恒有.則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．已知奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則．16．已知函數(shù)，且，若對(duì)任意的，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題17．（1）計(jì)算：①；②.（2）解不等式：③；

④．18．已知集合(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)命題q：“，使得”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．已知函數(shù)為上的增函數(shù)，對(duì)于任意，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求；(2)證明函數(shù)是奇函數(shù)；(3)解關(guān)于的不等式，20．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義加以證明；(2)求使成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．已知函數(shù)(1)若的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)若對(duì)于任意恒成立，求的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《安徽省阜陽市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ABDDADCCACDBCD題號(hào)1112答案ADABD1．A【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．故選：A．2．B【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念判斷.【詳解】“積跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“積跬步”，“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選：B.3．D【分析】根據(jù)全稱命題的否定判斷即可.【詳解】命題，都有，所以為，使得，故選：D.4．D【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，解得或，所以m的取值范圍是．故選：D．5．A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，則，即可求出的大致范圍，再令的根為、且，，，對(duì)分兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A6．D【分析】根據(jù)定義求出的解析式，在同一個(gè)坐標(biāo)系作出與的圖像，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以：?dāng)，即：，解得：，此時(shí)：；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有最小值：，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有最大值：所以：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即：，解得：或，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以：，所以：當(dāng)或，作出的圖象，如圖所示：函數(shù)的圖象與軸恰有1個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線恰有1個(gè)交點(diǎn)，由圖象并結(jié)合各分段區(qū)間上的的值，可得：或，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故D項(xiàng)正確.故選：D.7．C【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合已知作出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖

則有，解得.故選：C.8．C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合其單調(diào)性求其值域，利用分類討論思想，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，令，令，由函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，則，化簡(jiǎn)可得，，由對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以方程在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，整理可得，易知該函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，可得，由函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，故在上無零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).故選：C.9．ACD【分析】令，原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象如圖，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】令，則原方程化為,由方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，易知方程在時(shí)有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是[1,).故選：ACD.10．BCD【分析】利用“不動(dòng)點(diǎn)”的定義，逐項(xiàng)判斷.【詳解】選項(xiàng)A，若，則，該方程無解，故該函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)B，若，則，解得或，故該函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)C，若，則，得，且，解得，該函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；選項(xiàng)D，若，則，即，在同一坐標(biāo)系中，作出與的函數(shù)圖象，如圖，

由圖可知，方程有實(shí)數(shù)根，即存在，使，故該函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．故選：BCD11．AD【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)的部分圖象，結(jié)合圖象，利用函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，可得函數(shù)的周期為，又由是偶函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)闀r(shí)，，可得函數(shù)的部分圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)椋訟正確；由，所以B錯(cuò)誤；由函數(shù)的周期為，則函數(shù)在與在區(qū)間上的單調(diào)性相同，結(jié)合圖象，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；由函數(shù)，令，可得，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在區(qū)間有8個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得零點(diǎn)之和為，所以D正確.故選：AD.12．ABD【分析】利用基本不等式一一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為，故A正確，對(duì)于B：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，故B正確，對(duì)于C：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，顯然不成立，所以，則其最小值不為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為，故D正確.故選：ABD．13．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)分類討論，列出不等式組求解即可得解.【詳解】設(shè)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上為增函數(shù)，由，解得．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在為減函數(shù)，由，解得．綜上，故的取值范圍為．故答案為：14．【分析】由題意先由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得出，然后根據(jù)時(shí)，有意義進(jìn)一步得到的一個(gè)范圍，最終還要保證整體的單調(diào)，由此即可得解.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則有，從而，即，所以是R上的減函數(shù)，首先有，此時(shí)函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知關(guān)于單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，有意義，即恒成立，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故還需滿足，所以當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)滿足，符合題意，即，解得．故答案為：.15．/【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義和已知關(guān)系式可推導(dǎo)得到，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，利用已知解析式可求得的值，由此可得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)，，，；；，，，.故答案為：.16．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)在上的最小值小于函數(shù)在上的最小值求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)任意的，存在，使得成立，函數(shù)在上的最小值小于函數(shù)在上的最小值.又當(dāng)，時(shí)，，不符合題意，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.17．（1）①20②;（2）③④【分析】（1）①根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，②根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解；（2）③由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可，④根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）①.②.（2）③由可得；，所以，解得，所以不等式的解集為.④由可得：，所以，即，所以或，解得或，所以不等式的解集為.18．(1)(2)【分析】（1）考慮的情況，然后求解出的范圍，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)范圍在實(shí)數(shù)集下的補(bǔ)集求解出結(jié)果；（2）根據(jù)條件先分析出，然后考慮的情況，由此求解出符合條件的的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，若，滿足，則，解得；若，因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，的取值范圍是，所以時(shí)，的取值范圍是.（2）因?yàn)椤?，使得”是真命題，所以，當(dāng)時(shí)，若，成立，此時(shí)，解得；若，則有或，解得，所以時(shí)，的取值范圍是或，所以命題為真命題時(shí)的取值范圍是.19．(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式采用賦值法求解的值；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證即可；（3）根據(jù)知己確定函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為含參一元不等式，分類討論解不等式即可得結(jié)論.【詳解】（1）對(duì)于任意，都有.令得即（2）函數(shù)定義在上，由（1）并令得，即所以函數(shù)是奇函數(shù)（3）原不等式即，由（2）是奇函數(shù)及對(duì)，都有，得即，任取、，且，則，由，．，，即，從而在上是增函數(shù)；所以，即，當(dāng)時(shí)不等式即，解集為，當(dāng)時(shí)，方程的兩根為或，①當(dāng)時(shí)，，所求不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，，所求不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，，所求不等式的解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為.20．(1)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，證明見解析(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，可得出的值，再由可得出的值，可得出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)，判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)可將所求不等式變形為，再利用函數(shù)的定義域與單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，即．又，即，解得，此時(shí)，，對(duì)任意的，，所以，是定義在上的奇函數(shù)．函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，證明如下：、，且，則．∵，∴，，，∴，即，∴在上是增函數(shù)．（2）解：由（1）知，在上是增函數(shù)，∵是定義在上的奇函數(shù)，由，得，所以，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的值域?yàn)槟苋〉囊磺兄担⒉坏仁角蠼饧纯?；?）函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，即在內(nèi)也為單調(diào)函數(shù)，注意對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，建立不等式求解即可.【詳解】（1）令，.的值域?yàn)槟苋〉囊磺兄?，所?（2）因?yàn)樵趦?nèi)為單調(diào)函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)也為單調(diào)函數(shù)，且時(shí)，當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，即函數(shù)的對(duì)稱軸且，解得；