必修二全冊綜合測試卷（提高篇）一．選擇題1．復數(shù)z1=?12?32i，復數(shù)A．z2=?1C．z2的虛部為32i 【解題思路】由已知求出z2【解答過程】對于A，由已知可得，z2=1z1=1?1+對于C，根據(jù)復數(shù)的概念可知z2的虛部為3對于D，根據(jù)復數(shù)的概念可知z2在復平面內(nèi)對應的點為?2．經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,?,xn，且數(shù)據(jù)xA．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,B．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,C．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,D．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,【解題思路】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的性質(zhì)逐項進行檢驗即可判斷.【解答過程】對于A，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的方差s2=0時，說明所有的數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn都相等，但不一定為0，故選項A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，的平均數(shù)為x=3，數(shù)據(jù)yi=2xi+13．已知事件A，B，C的概率均不為0，則PA=PBA．PA∪B=PAC．PAB=P【解題思路】根據(jù)和事件的概率公式判斷A、B，根據(jù)積事件的概率公式判斷C、D.【解答過程】解：對于A：因為PA∪B=PA只能得到PA∩B=0，并不能得到對于B：因為PA∪C=PA由PA∪C=PB∪C由于不能確定A，B，C是否相互獨立，故無法確定PA對于C：因為PAB=PA?PAB，對于D：由于不能確定A，B，C是否相互獨立，若A，B，C相互獨立，則PAC=PA則由PAC=PBC可得PA=P故選：C.4．某社團開展“建黨100周年主題活動——學黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34、23，兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法正確的是（A．兩人均獲得滿分的概率為1B．兩人至少一人獲得滿分的概率為7C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為3D．兩人至多一人獲得滿分的概率為11【解題思路】利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式和對立事件概率公式計算各自的概率，進而作出判定【解答過程】解：∵甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34、23，兩人能否獲得滿分相互獨立，分別記甲，乙能得滿分的事件為M，N，則PM=34，PN=2兩人至少一人獲得滿分的概率為1?PM∩N兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為PM∩兩人至多一人獲得滿分的概率為1?PM∩N5．對于給定的△ABC，其外心為O，重心為G，垂心為H，則下列結論不正確的是（

）A．AOB．OAC．過點G的直線l交AB、AC于E、F，若AE=λAB，AFD．AH與ABAB【解題思路】根據(jù)外心在AB上的射影是AB的中點，利用向量的數(shù)量積的定義可以證明A正確；利用向量的數(shù)量積的運算法則可以OA?OB=OA?OC即【解答過程】如圖，設AB中點為M，則OM⊥AB，∴AO∴AOOA·OB=OA·OC等價于對于一般三角形而言，O是外心，OA不一定與BC垂直，比如直角三角形ABC中，若B為直角頂點，則O為斜邊AC的中點，OA與BC不垂直，故B錯誤；設BC的中點為D，則AG=∵E，F(xiàn)，G三點共線，∴13λ+ABAB=ABBCcosπ?BABcosB+ACBC∴ABABcosB6．如圖，在長方體ABCD?A1B1CA．BB．BD與EF異面C．EH//平面D．平面EFGH//平面【解題思路】根據(jù)題目信息和相似比可知，BD1不可能平行于GH，BD與【解答過程】如下圖所示，連接A1根據(jù)題意，由A1EEB1同理可得GH//CD由GH//CD1，而CD易知BD與EF不平行，且不相交，由異面直線定義可知，BD與EF異面，即B正確；在長方體ABCD?A1B所以EF//GH,EF=GH，即四邊形EFGH為平行四邊形；所以EH//FG，又EH?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以EH//平面ABCD由EF//A1B，EF?平面A1BCD1，又BC//FG，F(xiàn)G?平面A1BCD1，BC?平面又EF∩FG=F，且FG,EF?平面EFGH，所以平面EFGH//平面A7．在△ABC中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC的平分線交AC于點D，BD=1且b=2，則△ABC周長的最小值為（

）A．7 B．22 C．2+22【解題思路】先利用面積相等與三角形面積公式，結合正弦的倍角公式求得2accos∠ABC2=c+a，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到【解答過程】由題可得，S△ABC=S又BD=1，所以2acsin∠ABC=csin因為0<∠ABC<π，所以0<∠ABC2所以2accos∠ABC2=c+a，即cos∠ABC所以2c+a2ac2所以(c+a)2=ac(c+a)2?4所以a+c≥22，當且僅當a=c=2時，等號成立，則故△ABC周長的最小值為2+22.8．如圖，一張A4紙的長P1P2=2a，寬P1P4①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為4π其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】將該多面體放入長方體中，利用題干條件求出長方體的長、寬、高，從而得到該多面體是三棱錐，①正確；求出各邊長，求出AP2+CP2=AC2，得到AP⊥CP，再由AP⊥BD即可證明線面垂直，從而得到面面垂直，【解答過程】將該多面體放入長方體中，如圖，設長、寬、高分別為x,y,z，則x2+y從而該多面體是三棱錐，①正確；由勾股定理得：AP=CP=3a2?a由勾股定理逆定理得AP⊥CP，因為AB=AD=3a，P為BD中點，所以AP⊥因為BD∩CP=P，BD,CP?平面BCD，所以AP⊥平面BCD，因為AP?平面BAD，所以平面BAD⊥平面BCD，②正確；取AC的中點H，連接HB，HD，因為AB=BC=DA=DC=3a，故BH⊥AC，DH⊥且BH=DH=3a2?a2=2a因為DH,AC?平面ACD，且DH∩AC=H，所以BH⊥平面ACD，又因為BH?平面BAC，所以平面BAC⊥平面ACD，③正確；從圖形可知，長方體的外接球即為該三棱錐的外接球，而長方體的體對角線長為x2+y2+z2二．多選題9．下列說法正確的有（

）A．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件N＝“出現(xiàn)3點或4點”，則PB．袋中有大小質(zhì)地相同的3個白球和2個紅球．從中依次不放回取出2個球，則“兩球同色”的概率是3C．甲，乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靶率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98D．某學生在上學的路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為【解題思路】計算古典概率判斷A；利用列舉法結合古典概型計算判斷B；利用對立事件及相互獨立事件求出概率判斷CD作答.【解答過程】對于A，依題意，事件MN=“出現(xiàn)3點”，而擲骰子一次有6個不同結果，所以PMN對于B，記3個白球為a1,aa1其中兩球同色的結果有：a1a2對于C，依題意，“至少一人中靶”的概率為1?(1?0.8)(1?0.9)=0.98，C正確；對于D，該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈，即在前兩個路口都沒有遇到紅燈，第3個路口遇到紅燈，所以到第3個路口首次遇到紅燈的概率為(1?110．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且3bcosC+3ccosA．若B+C=2A，則△ABC的外接圓的面積為3B．若A=π4，且△ABC有兩解，則bC．若C=2A，且△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為3D．若A=2C，且sinB=2sinC，O為△ABC的內(nèi)心，則【解題思路】根據(jù)條件3bcosC+3ccos選項A：根據(jù)條件B+C=2A求角A，根據(jù)正弦定理求外接圓的半徑，從而求外接圓的面積；選項B：由余弦定理得9=b2+c2選項C：根據(jù)正弦定理把邊c表示為6cosA，利用△ABC為銳角三角形求角A的范圍，從而求邊選項D：利用正弦定理求出角C，從而判斷出△ABC是直角三角形，利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求△ABC的內(nèi)切圓半徑，從而求△AOB的面積.【解答過程】因為3bcosC+3ccos即3sinB+C=asinA，因為A+B+C=π，所以選項A：若B+C=2A，則A=π3，所以△ABC的外接圓的直徑2R=a所以△ABC的外接圓的面積為π×選項B：由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA得9=選項C：由正弦定理，得asinA=因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π20<B<π2所以c=6cos選項D：因為sinB=2sinC，所以b=2c，因為A=2C所以由正弦定理bsinB=csinC，得即2sinCcos所以cos2C=34，又因為A=2C，所以C=π6，即△ABC是直角三角形，所以內(nèi)切圓的半徑為r=1所以△AOB的面積為S=111．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，CB=2，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進行翻折，連接AB，AC得到四棱錐A?BCED（如圖2），點F為AB的中點，在翻折過程中下列結論正確的是（

A．當點A與點C重合時，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為3B．四棱錐A?BCED的體積的最大值為3C．若三角形ACE為正三角形，則點F到平面ACD的距離為3D．若異面直線AC與BD所成角的余弦值為34，則A、C兩點間的距離為【解題思路】A項，分析點A與點C重合時三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體類型，即可得到幾何體的表面積；B項，通過∠AEC表達出A?BCED的體積，即可求出四棱錐A?BCED的體積的最大值；C項，通過三角形的等面積法即可求出點F到平面ACD的距離；D項，通過C項的三角形ACE為正三角形時，由余弦定理得到異面直線AC與BD所成角的余弦值為34，即可求出異面直線AC與BD所成角的余弦值為34時，A、【解答過程】由題意，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，CB=2，DE是△ABC∴tanA=BCAC=33∴A=30°,AD=BD=1對于A項，當點A與點C重合時，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為以2為半徑高為1的半個圓錐，∴三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：S=1故A正確；對于B項，設∠AEC=θ，則θ∈0,π，設點A到CE的距離為h，則∴四棱錐A?BCED的體積為：VA?BCDE在y=sinθ中，y∈?1,1，∴VA?BCDE=32對于C，D項，當三角形ACE為正三角形時，∠AEC=60°，AC=AE=CE=3,過點F作FG⊥AC，連接DG取BC的中點H,連接FH，EH，EG在△ABD中，AD=BD,點F為AB的中點，由幾何知識得，F(xiàn)G⊥DF，AC⊥BC在△ACD中，AD=CD=2,∴AG=CG=12AC=32，在△ABC中，G為AC的中點，,點F為AB的中點，AC⊥BC∴FG⊥AC,AB=AC2在△ADG中，DG=在四邊形DEGF中，由幾何知識得，DE⊥EG,DE∥BC∥FG，∴四邊形DEGF是矩形，DG=EF=132，設點F到平面ACD的距離為在△DFG中，DG?h1=DF?FG，即13由幾何知識得，EH∥BD，F(xiàn)H∥AC,∴FH=12AC=32,此時∠FHE由余弦定理，EF2=F∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為34，則A、C兩點間的距離為3故選：ABD.三．填空題12．從某地抽取1000戶居民用戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~650kW·h之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.若根據(jù)圖示估計得該樣本的平均數(shù)為322，則可以估計該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為350.【解題思路】根據(jù)頻率分布直方圖及平均值計算出x,y，再根據(jù)由頻率分步直方圖求百分位數(shù)的方法求解.【解答過程】由題意可得400x+600y+0.36+0.9+0.36=322100100(2y+x+0.0018+0.003+0.0006)=1由0.12+0.18+0.3=0.6知，估計該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為350.故答案為：350.13．已知平面向量a、b、c和實數(shù)λ滿足a=b=a+b=2，a?c【解題思路】根據(jù)a=b=a+b=2，可得a,b=2π3【解答過程】解：因為a=b=則4+2a?b+4=4，所以因為a,b∈0,π，所以a,則a=OA=2,0,b=OB=?1,3，設c所以2,0?λ則?4λ2b2?4則a?λc=2+3λb因為?32?12≤λb≤?32+12，所以y=4λb+322+1在λb∈?故a?λc+b+λ14．如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD,CF//DE，且AB=DE=2,CF=1，G為棱BC的中點，H為棱①當H為DE的中點時，GH//平面ABE；②三棱錐B?GHF的體積為定值；③三棱錐E?BCF的外接球的表面積為12π其中正確的結論序號為①②．（填寫所有正確結論的序號）【解題思路】對于①，根據(jù)線面平行的判定定理進行判斷；對于②，根據(jù)棱錐的體積公式即可判斷；對于③，根據(jù)三棱錐E?BCF的結構特征，確定其外接球球心的位置，求出外接球半徑，即可求得外接球表面積，即可判斷.【解答過程】對于①：當H為DE的中點時，取EA中點為M，連接MH,MB，如下圖所示：因為H,M分別為ED,EA的中點，故可得MH//AD,MH=12AD，根據(jù)已知條件可知：BG//AD,BG=12AD，故MH//BG,MH=BG，故四邊形HMBG為平行四邊形，則HG//MB，又對于②：VB?GFH=VH?BGF，因為B,F,G均為定點，故S△BGF為定值．又DE//CF,CF?平面BGF,DE?平面BGF，故DE//平面BGF，又點H在DE上運動，故點H到平面BGF對于③：取△EFC的外心為O1，過O1作平面EFC的垂線O1N，則三棱錐B?EFC的外接球的球心O一定在O1N上，因為DE⊥平面ABCD,CF//DE，故FC⊥平面ABCD,CB?平面ABCD，則CF⊥CB，又CB⊥CD，CF∩CD=C,CF,CD?平面EFCD，故CB⊥平面EFCD，即BC⊥平面EFC，又OO1⊥平面EFC，則OO1//CB，故OO1,BC在同一個平面內(nèi)，則過則四邊形OPCO1為矩形，則OP=在△EFC中，知EF=22+(2?1)2=5,EC=22+22=22,FC=1，則由余弦定理可得cos∠EFC=5+1?82故由勾股定理可知：OB2=OP2+BP2=四．解答題15．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖：(1)求直方圖中的x的值(2)估計月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)，第80百分位數(shù)．(3)從月平均用電量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]內(nèi)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，求從月平均用電量在[220，240)內(nèi)的用戶中應抽取多少戶？【解題思路】（1）由各組數(shù)據(jù)頻率之和即所有矩形面積之和為1可得答案；（2）由直方圖中最高矩形底邊的中點得眾數(shù)，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊直方圖面積相等、第80百分位數(shù)左邊面積占總面積的80%（3）利用頻率估計月平均用電量為[220,240)的居民在四組中所占比例，即可得答案.【解答過程】（1）因直方圖中，各組數(shù)據(jù)頻率之和為所有矩形面積之和為1，則0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+0.0125×20=1，得x=0.0075（2）月平均用電量的眾數(shù)是220+2402因前3個矩形面積之和為0.002+0.0095+0.011×20=0.45<0.5前4個矩形面積之和為0.002+0.0095+0.011+0.0125×20=0.7>0.5則中位數(shù)在220,240內(nèi)，設為y，則y?220×0.0125=0.5?0.45，得y=224因為前4個矩形面積之和為0.7<0.8，前5個矩形面積之和為0.7+20×0.0075=0.85>0.8，則第80百分位數(shù)在[240，260)內(nèi)，設第80百分位數(shù)為a，則(a?240)×0.0075=0.8?0.7=0.1，解得a≈253.33，即第80百分位數(shù)約為253.33.（3）月平均用電量為[220,240)的居民對應的頻率為：0.0125×20=0.25.又由（2）分析可知，月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四組居民對應頻率之和為：1?0.45=0.55.則應抽取居民的戶數(shù)為：11×0.2516．某區(qū)A，B，C三所學校有意愿報考名校自招的人數(shù)分別為24，8，16人，受疫情因素影響，該區(qū)用分層隨機抽樣的方法從三所學校中抽取了6名學生，參加了該區(qū)統(tǒng)一舉辦的現(xiàn)場小范圍自招推介說明會.(1)從這6名中隨機抽取2名學生進行座談和學情調(diào)查，求這2名學生來自不同學校的概率；(2)若考生小張根據(jù)自身實際，報考了甲乙兩所名校的自招，設通過甲校自招資格審核的概率為23，通過乙校自招資格審核的概率為4【解題思路】（1）首先確定三所學校被抽到的人數(shù)，再利用編號，列舉的方法，即可所求概率；（2）首先求兩所學校都沒有通過的概率，再利用對立事件概率公式，即可求解.【解答過程】（1）用分層隨機抽樣的方法從三個學校中一共抽取了6名選手參加全市集訓，現(xiàn)三所學校應該抽取的人數(shù)分別為3，1，2，設來自A學校的三名學生分別為A1，A2，A3；來自B學校的學生為B；來自C學校的兩名學生分別為從這6名中隨機抽取2名學生進行座談和學情調(diào)查，樣本空間Q=A3,B,A記這2名學生來自不同學校為事件D，事件D含A1,B，A1,C1，A1,C2，A2,B，A2,C1（2）記小張至少能通過一所學校自招資格審核為事件E，通過甲學校自招資格審核為事件M，通過乙學校自招資格審核為事件N，則事件E“至少通過一所學校自招資格審核”的對立事件是“兩所學校都通不過”，因為M與N相互獨立，所以M與N相互獨立，所以PE答：小張至少能通過一所學校自招資格審核的概率為141517．如圖所示△ABC的兩邊BC=1，AC=2，設G是△ABC的重心，BC邊上的高為AH，過G的直線與AB，AC分別交于E，F(xiàn)，已知AE=λAB，(1)求1λ(2)若cosC=14，S△AEF=(3)若BF?CE的最大值為?5【解題思路】（1）利用重心的性質(zhì)以及三點共線的充要條件即可求解；（2）先解出λ與μ，再利用解三角形的知識求出EF和AH，最后將EH+AF?HF+EA化簡即可求解（3）以AB和AC【解答過程】（1）AE=λAB?如圖所示，連接AG并延長交BC于點D，則D為BC中點，因為G為△ABC重心，所以AG=因為AG，AE，AF起點相同，終點共線，所以13λ+1（2）設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∴a=1，b=2，∵c2=aS△AEFS△ABC=12AB×AC×sin∠BAC，所以∴AE=2×34=32,AF=2×在△AEF，EF在Rt△AHC，中AH=AC×sinC=HF+∴EH+AF?HF（3）BF=λ+μ3+1=c2+3令t=λη∈12,2若117≤c<3時，BF?CEmax=12+5c2②若1<c<117時，21?c25c2解得：c2=綜上可得：c=2或43518．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，在下列三個條件中任選一個作