第六章平面向量及其應用全章綜合測試卷（提高篇）一．單選題1．下列命題中，正確的是（

）A．若a//b，bB．若a=b，bC．若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等D．若a//b，則a與【解題思路】對ABC選項找出反例，證明其錯誤，選項B根據(jù)傳遞性很明顯正確，即可求解.【解答過程】對于A選項：0平行于任何向量，若b=0，滿足a//b，對于B選項：根據(jù)向量傳遞性，正確；對于C選項：兩個單位向量互相平行，這兩個單位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C錯；對于D選項：零向量與任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果a,b中有一個是零向量,那么2．已知a，b是不共線的向量，OA=λa+μb，OB=3a?2b，OC=2A．λ=μ?5 B．λ=μ+5 C．λ=μ?1 D．λ=μ+1【解題思路】根據(jù)向量的線性運算方法，分別求得AB=(3?λ)a?(2+μ)再由AB//BC，得到【解答過程】由OA=λa+μb，可得AB=OB?若A,B,C三點共線，則AB//BC，可得3?λ=?(2+μ)，化簡得3．在△ABC中，點D在BC邊上，且BD=DC，點E在AC邊上，且AE=45AC，連接DE，若DE=mABA．?15 B．45 C．?【解題思路】由已知結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理可求m，n，進而可求m+n．【解答過程】解：如圖，連接AD則DE=DA+AE=?12(故選：A.4．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若a=2，b=3，∠A=30°，則解此三角形的結(jié)果有（

）A．無解 B．一解 C．兩解 D．一解或兩解【解題思路】根據(jù)題意作出圖形，推得CD<BC<AC，從而得到圓C與射線AE有兩個交點，進而得到滿足題意的三角形有兩個，由此得解.【解答過程】依題意，作出∠A=30°，AC=b=3，B落在射線AE上，過C作CD⊥AE于D，如圖，則在Rt△ACD中，由正弦定理CDsinA=ACsin∠CDA，得CD=ACsinAsin∠CDA=3×sin30°sin90°=32，因為BC=a=2，所以CD<BC<AC.5．已知向量a=2,1,b=?1,1,A．1 B．2 C．22 【解題思路】根據(jù)向量平行得到2m+n=4，再利用均值不等式計算得到答案.【解答過程】a+b=1,2，c=m?2,?n，當m≤0，n>0或n≤0，m>0時，mn≤0；當m>0且n>0時，2m+n=4≥22mn，mn≤2，當2m=n，即m=1，n=2綜上所述：mn的最大值為2.故選：B.6．已知三個單位向量a,b,c滿足a?A．?52 B．?102 C．【解題思路】由題意可得|a+b|=102，設a+b與【解答過程】解：由題意可得|a|=|b所以|a+b|=(a+則(a+b)?c所以102cosθ∈[?102,102]7．在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，且F1=F2，F(xiàn)1A．θ越小越費力，θ越大越省力B．θ的范圍為0,πC．當θ=π2D．當θ=2π3【解題思路】根據(jù)G=F1+F【解答過程】解：對A，∵G∴G2=由題意知：θ∈0,π時，y=cosθ單調(diào)遞減，∴F1對B，當θ=π時，對C，當θ=π2時，F(xiàn)1對D，當θ=2π3時，F(xiàn)18．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且3cacosB=A．A=B．當a=2，c=4時，△ABC的面積為4C．若AD是∠BAC的角平分線，且AD=23，則D．當b?c=3a3【解題思路】選項A：先用正弦定理得3sinCsinAcosB=【解答過程】選項A:因為3cacos又因為sinC=sinA+B化簡可得3tanA+tanB可得tanA=3，A∈0,π選項B：當a=2，c=4時，由選項A，得A=π3，因為可得b2選項C：因為若AD是∠BAC的角平分線，且AD=23，由選項A，得故∠BAD=∠CAD=π6，而S△BAD得c+b=12bc選項D：因為b?c=3a3，由正弦定理可得sinB?sinC=3所以sin2π3?C?sin解得C=π6或π2，由條件可知C<B故C=π6，所以B=π二．多選題9．有下列說法其中正確的說法為（

）A．若a∥bB．若a∥b，則存在唯一實數(shù)λC．兩個非零向量a,b，若|a?bD．若2OA+OB+3【解題思路】利用向量的傳遞性和向量的線性運算及向量共線的充要條件可判斷A、B、C項，運用三角形重心向量的表示和性質(zhì)，結(jié)合三角形面積的求法可判斷D項.【解答過程】對于A項，若a∥b,b∥對于B項，若a∥b，且b≠0，則存在唯一實數(shù)對于C項，兩個非零向量a,b，若|a?b對于D項，因為2OA+OB故4OF+2OE=0,所以O、E、F所以OE=1310．如圖，M是△ABC所在平面內(nèi)任意一點，O是△ABC的重心，則（

）A．AD+BE=C．MA+MB+【解題思路】利用平面向量的線性運算可判斷ABC選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷D選項.【解答過程】對于A選項，由題意可知，D、E、F分別為BC、AC、AB的中點，所以，AD=同理可得BE=12所以，AD+對于B選項，由重心的性質(zhì)可知AD=32AO，由A選項可知，AD+所以，MA+對于C選項，由重心的性質(zhì)可知OD=12AO，所以，MD=3MO對于D選項，BC?同理可得CA?BE=因此，BC?11．在邊長為2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含邊）內(nèi)，滿足AP=xAB+yA．若點P在BD上時，則x+y=1B．x+y的取值范圍為1,2C．若點P在BD上時，APD．若P，Q在線段BD上，且PQ=2，則AP【解題思路】利用向量共線定理推論可判斷A，利用向量的線性運算幾何表示可判斷B，利用向量的數(shù)量積的定義及運算律可判斷C，利用向量數(shù)量積的坐標運算及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【解答過程】當點P在BD上時，因為AP=xAB+y因為P在在邊長為2的正方形ABCD（含邊）內(nèi)，且AP=x所以x∈0,1,y∈0,1當點P在BD上時，AP=xAB所以AP?若P，Q在線段BD上，且PQ=2設Pa,2?a，則Qa+2∴AP=2a2?4?22a+4?2故選：ACD.12．已知△ABC中，AB=1,AC=4,BC=13,D在BC上，AD為∠BAC的角平分線，E為AC中點，下列結(jié)論正確的是（A．BE=B．△ABC的面積為3C．AD=D．P在△ABE的外接圓上，則PB+2PE的最大值為2【解題思路】利用余弦定理計算∠BAC=60°，利用余弦定理計算BE，判斷A；根據(jù)面積公式計算三角形ABC的面積，判斷B；利用正弦定理計算AD，判斷C；設∠PBE=α，用α表示出PB，PE，得出PB+2PE關(guān)于α的三角函數(shù)，從而得到【解答過程】在三角形ABC中，由余弦定理cos∠BAC=∴∠BAC=60°，故S△ABC在△ABE中，由余弦定理得：BE∴BE=3，故A由余弦定理可知：cosC=13+16?12×4×13=7213，∴sin∠ADC=sin(C+30°)=3故AD=ACsinC∵AB=1，AE=2，∠BAE=60°，∴BE=1+4?2×1×2×12∴AE為△ABE的外接圓的直徑，故△ABE的外接圓的半徑為1，顯然當PB+2PE取得最大值時，P在優(yōu)弧BAE上．故∠BPE=∠BAE=60設∠PBE=α，則∠PEB=120°?α，0°<α<∴PB=2sin(120∴PB+2PE=3cosα+5sinα=2∴當α+θ=π2時，PB+2PE取得最大值27，故D正確．三．填空題13．已知如圖，在正六邊形ABCDEF中，與OA－OC＋CD相等的向量有①．①CF；②AD；③DA；④BE；⑤CE＋BC；⑥CA－CD；⑦AB＋AE．【解題思路】直接利用平面向量加法與減法的運算法則以及相等向量的定義逐一判斷即可.【解答過程】化簡OA?OC+由正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖可得向量AD、DA、BE與向量CF方向不同，根據(jù)向量相等的定義可得向量AD、DA、BE與向量CF不相等，②③④不合題意；因為CE＋BC＝BC+CE=CA－CD=DA≠CF，⑥不合題意；AB+14．在△ABC中，AB=5，AC=3，且AB?AC=9，設P為平面ABC上的一點，則PA?PB【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出AB+AC，則【解答過程】解：由題意得：AB+則AB+AC=2則PA=2PA2=2PA?1322?15．根據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若AF=xAB+yAD，則x?y=【解題思路】建立平面直角坐標系，標出各個點的坐標，利用平面向量的坐標運算即可得解.【解答過程】如圖，以A為原點，分別以AB,AD為設正方形ABCD的邊長為2a，則正方形DEHI的邊長為3a，正方形EFGC邊長為可知A0,0，B2a,0，D則xF=3+1又AF=xAB即2ax=3+32a2ay=5+316．已知△ABC中角A，B，C所對的邊為a，b，c，AB=32，AC=3，點D在BC上，∠BAD+∠BAC=π，記△ABD的面積為S1，△ABC的面積為S2，S1【解題思路】解法一：利用面積公式和已知面積比可以求得ADAC=23，從而得到AD=2，在△ABD和△ABC中同時應用正弦定理并結(jié)合得到BDBC=ADAC=23解法二：把△ABD沿AB翻折到△ABD'，使C，A，D'三點共線，則AB平分∠CBD'．利用角平分線定理和面積公式可得BD'BC=AD【解答過程】解：法一：設∠BAD=θ，則∠BAC=π?θ，則S1=12×32AD在△ABD中，由正弦定理得ADsinB=BDsinθ，在設CD=x，則BD=2x，BC=3x，在△ABC中，由余弦定理得18+9?182所以182cos在△ABD中，由余弦定理得18+4?122cosθ=4x聯(lián)立①②得x=2，所以BC=6．法二：因為∠BAD+∠BAC=π，把△ABD沿AB翻折到△ABD'，使C，A，D'三點共線，則AB因為S1S2=23，所以BD'BC=A設∠BAD'=θ，則∠BAC=π?θ．在△ABC所以182cos在△ABD'中，由余弦定理得18+4?122cos聯(lián)立①②得x=2，所以BC=6．故答案為：6．四．解答題17．如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：(1)與AB相等的向量共有幾個；(2)與AB平行且模為2的向量共有幾個？(3)與AB方向相同且模為32的向量共有幾個？【解題思路】(1)根據(jù)相等向量的概念，即可得到向量AB相等的向量個數(shù)，得到答案；(2)根據(jù)向量的模的概念，即可得與向量AB平行且模為2的向量的個數(shù)；(3)根據(jù)向量的模概念，即可得到與向量AB方向相同且模為32的向量共的個數(shù)．【解答過程】(1)根據(jù)相等向量的概念，可得與向量AB相等的向量共有5個(不包括AB本身)．(2)根據(jù)向量的模的概念，可得與向量AB平行且模為2的向量共有24個．(3)根據(jù)向量的模概念，可得與向量AB方向相同且模為32的向量共有2個．18．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一個動點（不含端點），且滿足AP=λ(1)若λ=13，用向量OA,(2)若OA=6,OB=2，且∠AOB=120°【解題思路】（1）利用向量的線性運算即可求解；（2）利用數(shù)量積的運算律求解即可.【解答過程】（1）因為AP=λPB，所以所以OP=OA+AP=（2）由（1）可知OP=所以OP?因為OA=6,OB=2，∠AOB=120°因為λ>0，所以?52<?52λ+1<0即OP?AB的取值范圍為19．已知a=(1)求a?(2)設a，b的夾角為θ，求(3)若向量a+kb與a?k【解題思路】（1）根據(jù)向量的減法的坐標運算，即可求得答案；（2）求出向量的數(shù)量積和模，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案;（3）根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0，列方程即可求得答案.【解答過程】（1）因為a=1，（2）由題意得a?|a故cosθ=（3）因為向量a+kb與a?k即a220．在如圖所示的平面圖形中，OM=1,ON=2，BM=2(1)設BC=xOM+y(2)若OM∥CN且∠MON∈π6,【解題思路】（1）由向量減法得BC=AC?（2）由題知∠CNO=∠MON=θ，設設CA=λOM，進而得【解答過程】（1）解：因為BM=2所以BC=所以x=?3,y=3，即x+y=0（2）解：因為∠MON∈π6,π4，所以記θ=?設CA=λOM所以，AM=所以AM=λ2所以，當λ=?6cosθ?32時，又因為θ∈π6,所以?(6cosθ?3)21221．如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距6+2海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以22海里/小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達C處，走私船到達D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3(1)當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解題思路】（1）在△ABC中，解三角形得BC=23，∠ABC=45°，在△BCD（2）在△BCD中，解三角形得∠BCD=60°，∠BDC=90°，得到∠CDE=135【解答過程】（1）由題意知，當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時BD=3×1=3,AC=22×1=22在△ABC中，AB=6由余弦定理得BC=(6+2在△ABC中，由正弦定理得ACs