廣東省廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.下列方程是一元二次方程的是()2.觀察下列四個圖形，中心對稱圖形是()3.用配方法將方程x2-8x-1=0變形為(x-m)2=17,則m的值是().A.-2B.4C.-44.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(-4,0),點C的坐標(biāo)為(0,2).以O(shè)A,OC為邊作矩形OABC,若將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形OA'B'C',則點B'的坐A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)5.某種商品原價是120元，經(jīng)兩次降價后的價格是100元，求平均每次降價的百分率.設(shè)平均每次降價的百分率為x,可列方程為()A.120(1—x)2=100B.100(1—x)2=120C.100(1+x)2=1206.關(guān)于拋物線y=3(x-1)2+2,下列說法錯誤的是()A.開口方向向上B.對稱軸是直線x=lC.頂點坐標(biāo)為(1,2)D.當(dāng)x>1時，y隨x的增大而減小7.拋物線y=-2(x-1)2+3上有三個點(-1,y),(0,y?),(4,y?),那么Y、y?、y?的大小關(guān)系A(chǔ).y<y?<y?B.y?=y?<y?C.y?=y?<y?8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=-bx+c的圖象不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限9.若一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是()A.k=-1B.k≥-1且k≠0C.k>-1且k≠0D.k≤-1且k≠010.如圖，VABC中，∠B=30,將VABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到DEC,點A,B的對應(yīng)點分別為D,E,延長BA交DE于點F,下列結(jié)論一定正確的是()C.AB=EFD.BF⊥CE二、填空題11.已知點A(a,1)與點B(5,b)是關(guān)于原點O的對稱點，則a+b=12.將拋物線y=x2先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的試卷第2頁，共8頁13.已知一元二次方程2x2-3x-1=0的兩根為x?、x?,則x?·x?=14.已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c與一次函數(shù)y=mx+n的圖象相交于點A(-2,4)和點B(6,-2),則不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是15.如圖，某校團(tuán)委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，在長為30cm、寬為20cm的矩形畫面四周鑲邊寬度相等的彩紙，并使彩紙的面積恰好與原畫面積相等，若設(shè)彩紙的寬度為xcm,根據(jù)題意可列方程·16.如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1,則下列結(jié)論正確的是(填序號)①ac<0;②b2-4ac>0;③2a-b=0;④a-b+c<0;⑤4a+2b+c>0.三、解答題(2)用配方法解方程：x2-10x+6=0.試卷第4頁，共8頁18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0.(1)若方程有一個根為3,求方程的另一根.19.畫出拋物線的圖象(要求列表，描點),回答下列問題：(2)當(dāng)V隨x的增大而增大時，寫出x的取值范圍.20.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，VABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,4)、B(1,1)、C(4,3).(1)畫出VABC關(guān)于原點對稱的△A?B?C?,并寫出點A?的坐標(biāo)；21.如圖是一座拋物線形的拱橋，拱橋在豎直平面內(nèi)，與水平橋相交于A,B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m,AB=36m,D,E為拱橋底部的兩點，DE//AB.(1)以C為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，求出此時拋物線的解析式.(忽略自變量取值范圍)(2)若DE=48m,求E點到直線AB的距離.試卷第6頁，共8頁現(xiàn)：如果每件服裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件.(1)要使平均每天銷售這種服裝盈利1200元，那么每件服裝應(yīng)降價多少元?(2)要使平均每天銷售這種服裝盈利最多，那么每件服裝應(yīng)降價多少元?一天最多盈利多少元?23.已知關(guān)于x的方程ax2-(2a+1)x+a-2=0(a為實數(shù))(3)在(2)的條件下，拋物線y=ax2-(2a+1)x+a-2與x軸交于A、B兩點.①結(jié)合圖形，寫出y>0時自變量x的取值范圍；②若拋物線頂點為C,求VABC的面積.(1)將圖①中的VADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD,CE,請判斷BD和CE(2)將圖①中的VADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D恰在邊BC上時，如圖③,請寫出DB,DA,DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)若DE=2,將圖①中的VADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠CAD=45°,請直接寫出CE的長.25.已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點，點A試卷第8頁，共8頁在點B左側(cè).點B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB.備用圖(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使(3)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；(4)若點E在x軸上，點P在拋物線上.是否存在以A,C,E,P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.《廣東省廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷》參考答123456789DCBCADDDBD【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2;二次項系數(shù)不為0;是整式方程；含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進(jìn)行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.【詳解】解：A.不是整式方程，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合B.x2+2xy+1=0,含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；C.x2+2x3=0,最高次數(shù)不是2,不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；D.x2+x=2,是一元二次方程，故該選項正確，符合題意；【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義即可判斷.【詳解】在平面內(nèi)，若一個圖形可以繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，根據(jù)定義可知，C選項中的圖形是中心對稱圖形.【點睛】本題考查的知識點是中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握中心對稱圖形.【分析】本題主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟練掌握配方法解一元二次方程步驟是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：∵x2-8x-1=0,故選：B.答案第1頁，共19頁【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到OA=4,OC=2,再由矩形的性質(zhì)可得AB=OC=2,∠ABC=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA'=OA=4,A'B'=AB=2,∠OBB′=90°,據(jù)此可得答案.【詳解】解：∵點A的坐標(biāo)為(-4,0),點C的坐標(biāo)為(0,2),∵將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形OA'B'C′,∴點B'的坐標(biāo)為(2,4),【分析】由題意知，平均每次降價的百分率為x,則第一次降價后的價格為120(1-x),第二【詳解】解：平均每次降價的百分率為x,則第一次降價后的價格為120(1-x),第二次降價故選A.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的列方程.【分析】開口方向由a決定，看a是否大于0,由于拋物線為頂點式，可直接確定對稱軸與側(cè)y隨x的增大而增大即可.答案第2頁，共19頁答案第3頁，共19頁拋物線的頂點坐標(biāo)是(1,2),C正確，不正確.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)問題，由具體拋物線的頂點式抓住有用信息，會用二次項系數(shù)確定開口方向與大小，會求對稱軸，會寫頂點坐標(biāo)，會利用對稱軸把函數(shù)的增減性一分為二，還要結(jié)合a確定增減問題.【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得二次函數(shù)的開口方向以及對稱軸，從而得出拋物線上的點離對稱軸的距離越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，由此即可出答案，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.∴a=-2<0,拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1,∴拋物線上的點離對稱軸的距離越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸判斷出a、b的正負(fù)情況，再由一次函數(shù)的性質(zhì)解答.【詳解】解：由勢力的線與y軸正半軸相交可知c>0,對稱軸得b<0.所以一次函數(shù)y=-bx+c的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題.【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式△=9+9k≥0即可求出答案.答案第4頁，共19頁次方程根的判別式的應(yīng)用.確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠BCE=∠ACD=60°,結(jié)合∠B=30,即可得證BF⊥CE,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明兩直線平行，來分析AC//DE不一定根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運(yùn)算或線段的運(yùn)算得出A和C選項是錯誤的.【詳解】解：記BF與CE相交于一點H,如圖所示：D∵x°不一定等于30°答案第5頁，共19頁∵∠ACB=60°-x°,∠ACD=60°,x不一定等于0°【分析】本題考查關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)，掌握知識點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，可求出a和b的值，再計算它們的和.【詳解】解：∵點A(a,1)與點B(5,b)是關(guān)于原點O的對稱點，故答案為：-6.【分析】先確定拋物線y=x2的頂點坐標(biāo)為(0,0),再利用點平移的規(guī)律得到點(0,0)平移所得對應(yīng)點的坐標(biāo)為(1,2),然后根據(jù)頂點式寫出新拋物線解析式.【詳解】解：拋物線y=x2的頂點坐標(biāo)為(0,0),點(0,0)先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度所得對應(yīng)點的坐標(biāo)為(1,2),所以新拋物線的解析式為y=(x-1)2+2故答案為y=(x-1)2+2.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.答案第6頁，共19頁【詳解】由根與系數(shù)關(guān)系可得點睛：本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實數(shù)根為x1,x2,則有【分析】不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是二次函數(shù)在一次函數(shù)的圖象上方部分x的范圍；結(jié)合圖形，找出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)上面的自變量的取值就是不等式的解集.∵兩函數(shù)圖象相交于點A(-2,4),B(6,-∴不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是-2<x<6.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解答該題時，要具備很強(qiáng)的讀圖能力.個長為(30+2x)cm,寬為(20+2x)cm的矩形面積，再由彩紙的面積恰好與原畫面積相等列出方程即可.【詳解】解：由題意得，(20+2x)(30+2x)=2×30×20,故答案為：(20+2x)(30+2x)=2×30×20.答案第7頁，共19頁【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.②由拋物線與x軸有兩個交點，可得b2-4ac>0,故本項正確，符合題意；④由對稱軸為x=1及拋物線過(3,0),可得拋物線與x軸的另外一個交點是(-1,0),所以a-b+c=0,故本項錯誤，不符合題意.⑤當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c>0,故本項正確，符合題意.綜上所述，正確的有①②⑤.故答案為：①②⑤.【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.(1)運(yùn)用因式分解法進(jìn)行解方程，即可作答.(2)先移項，再在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，再開方，即可作答.(2)解：∵x2-10x+6=0,則x2-10x+25=-6+25答案第8頁，共19頁判別式，熟練掌握當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時△=0是解題的關(guān)鍵.(1)x=3代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根.(2)根據(jù)一元二次方程的根的判別式，得到△=0,求出k的值即可.【詳解】(1)解：將x=3代入x2-2x+k=0,得解得k=-3,x?=3,x?=-1.答：方程的另一根為-1.(2)∵方程x2-2x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，解得k=1.答：當(dāng)k為1時，方程有兩個相等的實數(shù)根.19.(1)畫圖見解析，拋物線的開口方向向下，對稱軸是直線x=1,頂點坐標(biāo)是(1,5)(1)列表計算、再描點畫圖，然后根據(jù)拋物線頂點式的性質(zhì)解答即可；(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答即可.【詳解】(1)解：列表如下：x…0123…y…353…答案第9頁，共19頁(2)解：由圖象可得：當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大.20.(1)見解析；A(-2,-4)【分析】本題考查作圖一旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱，解題的關(guān)鍵是作出對應(yīng)點的位置.(1)利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點A?,B?,C?,然后順次連接即(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點A?,B?,C?,然后順次連接即可.【詳解】(1)解：如圖，△A?B?C?即為所求，點A,的坐標(biāo)A(-2,-4);(2)解：如圖，△A?B?C?即為所求，點C?(3,2).答案第10頁，共19頁【分析】(1)以AB中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)y=ax2+9,將點B(18,0)代入，(2)令x=24,代入求得y,即可求得E點到直線AB的距離.【詳解】(1)解：如圖，∵C到AB的距離為9m,AB=36m,將點B(18,0)代入得0=182a+9則xE=24∴求E點到直線AB的距離為7【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22.(1)