2025年內(nèi)蒙古阿榮旗第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.2．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.3．已知雙曲線(xiàn)上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或214．若雙曲線(xiàn)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5．設(shè)、是兩條不同的直線(xiàn)，、、是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．已知拋物線(xiàn)=的焦點(diǎn)為F，M、N是拋物線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.97．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.108．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.1089．已知三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，且為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若，則（）A.6 B.8C.10 D.1210．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．命題“對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得12．下列直線(xiàn)中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，垂直于軸，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_________15．若恒成立，則______.16．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點(diǎn)（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值18．（12分）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點(diǎn)M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)L與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)Q設(shè)L的斜率為k，若，求k的值.19．（12分）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)，與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程20．（12分）設(shè)橢圓方程為，短軸長(zhǎng)，____________.請(qǐng)?jiān)冖倥c雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，②離心率，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，完成以下問(wèn)題.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程.21．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交于，其中的周長(zhǎng)為的離心率為.（1）求的方程；（2）已知的重心為，設(shè)和的面積比為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.【詳解】由題意可得的重心為．因?yàn)椋?，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為．因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)的斜率，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線(xiàn)方程是，即故選：B.2、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因?yàn)椋?，，所以所以答案選C.考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).3、D【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則由雙曲線(xiàn)定義，知，而所以或21故選：D.4、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線(xiàn)方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)椋?，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A5、B【解析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A.一條直線(xiàn)垂直于一平面內(nèi)的，兩條相交直線(xiàn)，則改直線(xiàn)與平面垂直則由，不能得出，故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.,則正確，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.若，則與可能相交，可能平行，故選項(xiàng)D不正確.故選：B6、B【解析】過(guò)分別作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，則由拋物線(xiàn)的定義可得，再過(guò)MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，然后利用梯形的中位線(xiàn)定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線(xiàn)=的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為直線(xiàn)如圖，過(guò)分別作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，過(guò)MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，則由拋物線(xiàn)的定義可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€(xiàn)，所以，所以線(xiàn)段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B7、A【解析】根據(jù)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解：由題意，關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）.故選：A【點(diǎn)睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱(chēng)，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D9、D【解析】設(shè)，，，由向量關(guān)系化為坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合拋物線(xiàn)的焦半徑公式即可計(jì)算【詳解】由得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，，由得則，化簡(jiǎn)得所以故選：D10、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.11、B【解析】可將原命題變成全稱(chēng)命題形式，而全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，即可選出答案.【詳解】命題“對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有”，可寫(xiě)成：，使得，此命題為全稱(chēng)命題，故其否定形式為：，使得.故選：B.12、C【解析】由直線(xiàn)傾斜角得出直線(xiàn)斜率，再由直線(xiàn)方程求出直線(xiàn)斜率，即可求解.【詳解】由直線(xiàn)傾斜角為45°，可知直線(xiàn)的斜率為，對(duì)于A，直線(xiàn)斜率為，對(duì)于B，直線(xiàn)無(wú)斜率，對(duì)于C，直線(xiàn)斜率，對(duì)于D，直線(xiàn)斜率，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1458【解析】首先由條件可得第圈的石板為，且為等差數(shù)列，利用基本量求和，即可求解.【詳解】設(shè)第圈的石板為，由條件可知數(shù)列是等差數(shù)列，且上層的第一圈為，且，所以，上層的石板數(shù)為，下層的石板數(shù)為.所以下層比上層多塊石板.故答案為：145814、.【解析】通過(guò)垂直于軸,可以求出，由已知為等腰三角形，可以得到，結(jié)合關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于離心率的一元二次方程，解方程求出離心率.【詳解】∵垂直于，∴可得，又∵為等腰三角形，∴，即，整理得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓離心率問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)已知條件構(gòu)造出關(guān)于離心率的方程.15、1【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值為，再構(gòu)造研究其最值，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令，則且，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；所以，綜上，.故答案為：116、【解析】計(jì)算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，即可證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用公式，即可求解二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，且平面，所以，又因?yàn)榈酌鏁r(shí)菱形，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，所以，且，所以平面,又因?yàn)槠矫妫?；【小?wèn)2詳解】由（1）可知，平面，連結(jié)，因?yàn)椋c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，所以,，，，，，所以,，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.18、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點(diǎn)M（，）在橢圓C上，頂點(diǎn)，再由，求得橢圓方程，由，結(jié)合，得到，設(shè)直線(xiàn)方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由，求得Q的坐標(biāo)，代入求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)橢圓C：的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因?yàn)椋?，又，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，與題意方程聯(lián)立，消去y得：則，所以，則，因?yàn)?，由，得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，因，則.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合到焦點(diǎn)、軸的距離求，寫(xiě)出拋物線(xiàn)方程.（2）直線(xiàn)的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線(xiàn)方程聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)而求，由題設(shè)向量垂直的坐標(biāo)表示有求直線(xiàn)方程即可.【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，又到焦點(diǎn)的距離是1，∴點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線(xiàn)方程是（2）假設(shè)直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)的方程為，與聯(lián)立可得交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，易得，可知直線(xiàn)與直線(xiàn)不垂直，不滿(mǎn)足題意，故假設(shè)不成立，∴直線(xiàn)的斜率存在．設(shè)直線(xiàn)為，整理得，設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程是，不滿(mǎn)足，舍去當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程是，即，∴直線(xiàn)的方程是20、（1）答案見(jiàn)解析，.（2）.【解析】（1）若選①：求得雙曲線(xiàn)得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)得出橢圓的，再由，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選②：根據(jù)已知條件和橢圓的離心率可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選③：由已知建立方程，求解可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，所求的直線(xiàn)方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，由根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：若選①：由雙曲線(xiàn)得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)和，因?yàn)闄E圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，所以橢圓的，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選②：因?yàn)?，所以，又離心率，所以，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選③：因?yàn)?，所以，即，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由題意得直線(xiàn)的斜率必存在，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，所求的直線(xiàn)方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為AB中點(diǎn)，所以，解得，所以所求的直線(xiàn)方程為，即.21、（1）（2）【解析】小問(wèn)1：利用通項(xiàng)公式與的關(guān)系即可求出；小問(wèn)2：根據(jù)(1)可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求出前n項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，…①，，…②①②得：，即：.，是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，則，…①兩邊同乘得：，…②①②得：，.22、（1）（2）【解析】（1）已知焦點(diǎn)弦三角形的周長(zhǎng)，以及離心率求橢圓方程，待定系數(shù)直接求解即可.