4.4.3不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對(duì)具體問題的探究，認(rèn)識(shí)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)

函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的含義；2.通過利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)的增長(zhǎng)性，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，提升直觀想象素養(yǎng)；3.了解函數(shù)的建模過程。一.課題引入這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長(zhǎng)規(guī)律的反映.

我們?nèi)匀徊捎糜商厥獾揭话?，由具體到抽象的研究方法以函數(shù)y=2x與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.

下面就來研究一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)增長(zhǎng)方式的差異.問題1.請(qǐng)學(xué)生用畫圖像y=2x與y=2x觀察兩個(gè)函數(shù)圖像,探索它們?cè)趨^(qū)間[0，+∞）上的增長(zhǎng)差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)嗎？xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········..觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長(zhǎng)方式：函數(shù)y=2x與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4)在區(qū)間(2，+∞)上1.從圖象的相對(duì)位置來看：xyo121242.從增長(zhǎng)方式來看：

雖然函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在一個(gè)“檔次”.隨著x的增大，y=2x的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長(zhǎng)速度.盡管在x的一定范圍內(nèi)，2x<2x，但由于y=2x的增長(zhǎng)最終會(huì)快于y=2x的增長(zhǎng)，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有2x>2x.指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長(zhǎng).情景導(dǎo)入即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)雖然有一段區(qū)間會(huì)小于y=kx(k>0)，但總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)大大超過y=kx(k>0)的增長(zhǎng)速度.點(diǎn)之后，恒有ax>kx.問題3.以函數(shù)y=lgx與

為例研究對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長(zhǎng)方式的差異.

xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········y=lgx從圖象上，發(fā)現(xiàn)函數(shù)和雖然在區(qū)間[0，＋∞)上都單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度存在著明顯的差異．隨著x的增大，函數(shù)的圖象離x軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù)的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣．一般地，雖然對(duì)數(shù)函數(shù)

與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同.

隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長(zhǎng)速度，而對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來越慢.不論a值比k值大多少，在一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于kx，但由于的增長(zhǎng)會(huì)慢于kx的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有l(wèi)ogax<

kx

.常見函數(shù)模型的比較補(bǔ)充討論三者的增長(zhǎng)速度。函數(shù)y=2x，y=x2，y=log2x的函數(shù)值表:x0.20.611.422.634y=2x1.1491.51622.63946.063816y=x20.040.3611.9646.76916y=log2x-2.32-0.73700.48511.3791.5852xyo1124y=2xy=x2y=log2x函數(shù)y=2x,y=x2,y=log2x的圖象:(1)在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)。(2)隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度。(3)隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度?？偞嬖谝粋€(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有:

ax>xn>logaxxyo1124y=x2y=log2xy=2x一次函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：冪函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)：增長(zhǎng)速度不變,

直線上升；增長(zhǎng)先慢后快，指數(shù)爆炸；增長(zhǎng)先快后慢，趨于平緩.小結(jié)介于指數(shù)增長(zhǎng)和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之間.例1下列函數(shù)中隨x的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)最快的是（）A．y＝ex

B．y＝lnx

C．y＝100xD．y＝2xA三、舉例應(yīng)用1．下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度越來越慢的是（）A．y＝6x

B．y＝log6x

C．y＝x6

D．y＝6x解析：D增長(zhǎng)速度不變，A，C增長(zhǎng)速度越來越快，只有B符合題意．四、課堂練習(xí)B2．以下四種說法中，正確的是（）A．冪函數(shù)增長(zhǎng)的速度比一次函數(shù)增長(zhǎng)的速度快B．對(duì)任意的x＞0，xa＞logaxC．對(duì)任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xa＞logax解析：對(duì)于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度分別受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長(zhǎng)速度不能比較；對(duì)于B，C，顯然不成立；對(duì)于D，當(dāng)a＞1時(shí)，一定存在x0，使得當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xa＞logax，但若去掉限制條件“a＞1”，則結(jié)論不成立．D思考：假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？

我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：設(shè)第x天所得回報(bào)為y元，則方案一：每天回報(bào)40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回 報(bào)10元； y=10x(x∈N*)方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4圖112-1從每天的回報(bào)量來看： 第1~4天，方案一最多： 第5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；

1.由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上的不同增長(zhǎng)方式.課堂小結(jié)2.根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．3.常見的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型：線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1