5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)

人教A版（2019）選擇性必修二學習目標1.能求簡單復合函數(shù)的導數(shù)，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點）2.會應(yīng)用復合函數(shù)的導數(shù)解決實際問題，體現(xiàn)數(shù)學計算能力（難點）1新課導入上一節(jié)課我們學習了簡單函數(shù)的導數(shù)和運算法則，根據(jù)上面兩節(jié)課的學習，我們會計算lnx和2x-1的導數(shù)，那么如何計算y=ln(2x-1)的導數(shù)呢？這節(jié)課我們來學習一下.新課學習34如何求函數(shù)y=ln(2x-1)的導數(shù)呢？我們先來分析一下這個函數(shù)：y=ln(2x-1)不是由基本初等函數(shù)通過加、減、乘、除運算得到的，所以無法用現(xiàn)有的方法求它的導數(shù).分析一個這個函數(shù)的結(jié)果特點：若設(shè)u=2x-1(x>)，則y=ln

u.所以

y=ln(2x-1)y=ln

uu=2x-1+復合y=ln(2x-1)新課學習如何求函數(shù)y=ln(2x-1)的導數(shù)呢？如果把y與u的關(guān)系記作y=ln

u，u與x的關(guān)系記作u=g(x)，那么這個“復合”過程可表示為y=f(u)=y=f(g(x))=ln(2x-1)新課學習復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù)，記作y=f(g(x)).新課學習注意：不是任意兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù).新課學習很多函數(shù)都可以看成時由兩個函數(shù)經(jīng)過“復合”得到的.1.y=ln

(2x-1)由y=lnu和u=2x-1復合而成2.y=sin2x由y=sinu和u=2x復合而成新課學習如何求復合函數(shù)的導數(shù)呢？我們先來研究y=sin2x的導數(shù).我們來猜想一下：函數(shù)y=sin2x的導數(shù)一定與函數(shù)y=sinu，u=2x的導數(shù)有關(guān).我們來研究一下：以yx′表示y對x的導數(shù)，yu′表示y對u的導數(shù)，ux′表示u對x的導數(shù).yx′=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[(sinx)′·cosx+sinx·(cosx)′]=2[cosx·cosx+sinx·(-sinx)′]=2[cos2x-sin2x]=2cos2x另一方面，yu′=(sinu)′=cosu，ux′=(2x)′=2可以發(fā)現(xiàn)，yx′=2cos2x·

2=yu′·ux′新課學習復合函數(shù)的計算公式一般地，對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′=yu′·ux′即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.復合函數(shù)這種求導法則稱為“鏈式法則”.新課學習例6：求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=(3x+5)2;函數(shù)y=(3x+5)2可以看作函數(shù)y=u3和u=3x+5的復合函數(shù).根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有yx′=yu′·ux′=(u3)′·(3x+5)′=3u2×3=9(3x+5)2新課學習例6：求下列函數(shù)的導數(shù)：(2)y=e-0.05x+1;函數(shù)y=e-0.05x+1可以看作函數(shù)y=eu和u=-0.05x+1的復合函數(shù).根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有yx′=yu′·ux′=(eu)′·(-0.05x+1)′=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1新課學習例6：求下列函數(shù)的導數(shù)：(3)y=ln(2x-1);函數(shù)y=ln(2x-1)可以看作函數(shù)y=lnu和u=2x-1的復合函數(shù).根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，有yx′=yu′·ux′=(lnu)′·(2x-1)′=2×新課學習例7：某個彈簧振子在振動過程中的位移y（單位：mm）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為

.求函數(shù)y在t=3s時的導數(shù)，并解釋它的實際意義.它表示當t=3s時，彈簧振子振動的瞬時速度為0mm/s.課堂鞏固D課堂鞏固課堂鞏固