2025年重慶線性代數(shù)試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設向量組α1,α2,α3線性無關，則下列向量組中線性相關的是A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1,α2+α3,α3+α2C.α1+α2,α1-α2,α3D.α1,α2,α3+α1答案：C2.矩陣A的秩為r，則下列說法正確的是A.A中存在r個線性無關的行向量B.A中存在r個線性無關的列向量C.A中所有r階子式都不為零D.A的行向量組和列向量組都線性無關答案：A3.設A為n階可逆矩陣，則下列說法正確的是A.A的行列式為零B.A的轉置矩陣A^T不可逆C.A的伴隨矩陣A不可逆D.A的轉置矩陣A^T可逆答案：D4.設向量組α1,α2,α3線性無關，向量β可以由α1,α2,α3線性表示，且表示式唯一，則A.β與α1線性相關B.β與α2線性相關C.β與α3線性相關D.β與α1,α2,α3都線性相關答案：C5.設A為n階矩陣，B為n階可逆矩陣，若AB=O，則A.A必為零矩陣B.B必為零矩陣C.A或B中至少有一個為零矩陣D.A或B中至少有一個為可逆矩陣答案：A6.設A為n階矩陣，B為n階矩陣，若r(A)=r(AB)，則A.B必為可逆矩陣B.A必為可逆矩陣C.AB必為可逆矩陣D.A和B中至少有一個為可逆矩陣答案：B7.設A為n階矩陣，若A^2=A，則稱A為冪等矩陣，下列說法正確的是A.冪等矩陣必為可逆矩陣B.冪等矩陣必為不可逆矩陣C.冪等矩陣的行列式為零D.冪等矩陣的秩等于其特征值個數(shù)答案：D8.設A為n階矩陣，若存在非零向量x使得Ax=λx，則稱λ為A的特征值，x為A的屬于λ的特征向量，下列說法正確的是A.特征值必為實數(shù)B.特征向量必為單位向量C.特征值對應的特征向量唯一D.特征值對應的特征向量可以線性無關答案：D9.設A為n階矩陣，B為n階矩陣，若AB=BA，則稱A和B可交換，下列說法正確的是A.可交換矩陣必為對角矩陣B.可交換矩陣必為對稱矩陣C.可交換矩陣必為冪等矩陣D.可交換矩陣必為可逆矩陣答案：C10.設A為n階矩陣，若A的秩為n-1，則下列說法正確的是A.A的行列式為零B.A的伴隨矩陣為零矩陣C.A的轉置矩陣A^T的秩為n-1D.A的任意n-1階子式都不為零答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.設向量組α1,α2,α3，則下列說法正確的是A.若α1,α2線性無關，α3可以由α1,α2線性表示，則α1,α2,α3線性相關B.若α1,α2,α3線性相關，則α1可以由α2,α3線性表示C.若α1,α2線性相關，α3可以由α1,α2線性表示，則α1,α2,α3線性相關D.若α1,α2,α3線性無關，則α1,α2線性無關答案：A,C,D2.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A可逆，則A的秩為nB.若A的秩為n，則A可逆C.若A的秩小于n，則A不可逆D.若A不可逆，則A的秩小于n答案：A,C3.設A為n階矩陣，B為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若AB=O，則A或B中至少有一個為零矩陣B.若AB=BA，則A和B可交換C.若A可逆，B可逆，則AB可逆D.若A可逆，B不可逆，則AB不可逆答案：A,B,C,D4.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A的行列式為零，則A不可逆B.若A可逆，則A的行列式不為零C.若A的秩為n，則A的行列式不為零D.若A的行列式不為零，則A可逆答案：A,B,C,D5.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A是對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)B.若A是可逆矩陣，則A的特征值不為零C.若A是冪等矩陣，則A的特征值只能為0或1D.若A是正交矩陣，則A的特征值的絕對值為1答案：A,B,C,D6.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A的秩為n，則A的行向量組線性無關B.若A的秩為n，則A的列向量組線性無關C.若A的行向量組線性無關，則A的秩為nD.若A的列向量組線性無關，則A的秩為n答案：A,B,C,D7.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A是可逆矩陣，則A的轉置矩陣A^T可逆B.若A是可逆矩陣，則A的伴隨矩陣A可逆C.若A的轉置矩陣A^T可逆，則A可逆D.若A的伴隨矩陣A可逆，則A可逆答案：A,B,C,D8.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A是冪等矩陣，則A的行列式為0或1B.若A是正交矩陣，則A的行列式為1或-1C.若A是可逆矩陣，則A的行列式不為0D.若A的行列式為0，則A不可逆答案：A,B,C,D9.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A是可逆矩陣，則A的特征值不為0B.若A的特征值為0，則A不可逆C.若A的特征值為實數(shù)，則A是對稱矩陣D.若A的特征值對應的特征向量線性無關，則A可逆答案：A,B,D10.設A為n階矩陣，則下列說法正確的是A.若A是可逆矩陣，則A的轉置矩陣A^T可逆B.若A是可逆矩陣，則A的伴隨矩陣A可逆C.若A的轉置矩陣A^T可逆，則A可逆D.若A的伴隨矩陣A可逆，則A可逆答案：A,B,C,D三、判斷題（每題2分，共10題）1.設向量組α1,α2,α3線性無關，則α1+α2,α2+α3,α3+α1線性無關。答案：錯2.設A為n階矩陣，若r(A)=n，則A可逆。答案：對3.設A為n階矩陣，若A^2=A，則A為冪等矩陣。答案：對4.設A為n階矩陣，若存在非零向量x使得Ax=λx，則λ為A的特征值，x為A的屬于λ的特征向量。答案：對5.設A為n階矩陣，若AB=BA，則A和B可交換。答案：對6.設A為n階矩陣，若A的秩為n-1，則A的行列式為零。答案：對7.設A為n階矩陣，若A是對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)。答案：對8.設A為n階矩陣，若A是可逆矩陣，則A的行列式不為零。答案：對9.設A為n階矩陣，若A是冪等矩陣，則A的行列式為0或1。答案：對10.設A為n階矩陣，若A是正交矩陣，則A的行列式為1或-1。答案：對四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述向量組線性相關和線性無關的定義。答案：向量組α1,α2,...,αn線性相關是指存在不全為零的數(shù)k1,k2,...,kn，使得k1α1+k2α2+...+knαn=0。向量組α1,α2,...,αn線性無關是指只有全為零的數(shù)k1,k2,...,kn，使得k1α1+k2α2+...+knαn=0。2.簡述矩陣的秩的定義。答案：矩陣A的秩是指A中非零子式的最高階數(shù)。換句話說，矩陣A的秩是A的行向量組或列向量組的最大線性無關組所含向量的個數(shù)。3.簡述特征值和特征向量的定義。答案：設A為n階矩陣，若存在非零向量x使得Ax=λx，則稱λ為A的特征值，x為A的屬于λ的特征向量。4.簡述可逆矩陣的定義。答案：設A為n階矩陣，若存在n階矩陣B使得AB=BA=E，其中E為n階單位矩陣，則稱A為可逆矩陣，B為A的逆矩陣，記為A^-1。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論向量組的線性相關性與其秩之間的關系。答案：向量組的線性相關性與其秩之間有密切關系。若向量組α1,α2,...,αn線性無關，則其秩為n。若向量組α1,α2,...,αn線性相關，則其秩小于n。反之，若向量組α1,α2,...,αn的秩為n，則其線性無關；若向量組α1,α2,...,αn的秩小于n，則其線性相關。2.討論矩陣的秩與其可逆性之間的關系。答案：矩陣的秩與其可逆性之間有密切關系。若矩陣A的秩為n，則A可逆；若矩陣A的秩小于n，則A不可逆。反之，若矩陣A可逆，則其秩為n；若矩陣A不可逆，則其秩小于n。3.討論特征值和特征向量的性質。答案：特征值和特征向量具有以下性質：特征值必為實數(shù)或復數(shù)；特征向量必為非零向量；若λ為A的特征值，x為A的屬于λ的特征向量，則對于任意常數(shù)k，kx也是A的屬于λ的特征向量；若λ1,λ2,...,λn為A的特征值，x1,x2,...,xn為A的屬