線(xiàn)性代數(shù)矩陣專(zhuān)項(xiàng)考試及答案

線(xiàn)性代數(shù)矩陣專(zhuān)項(xiàng)考試試卷一、填空題（10題，每題1分）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣\(A^T\)為_(kāi)_____。2.若矩陣\(A\)是\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=\)______。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(AB=\)______。4.設(shè)矩陣\(A\)滿(mǎn)足\(A^2-2A-3E=0\)，則\((A-E)^{-1}=\)______。5.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，且\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，則\(B\)的特征值為_(kāi)_____。6.設(shè)\(A\)是\(4\times3\)矩陣，\(B\)是\(3\times4\)矩陣，則\(AB\)是______階矩陣。7.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)，則\(A^n=\)______（\(n\)為正整數(shù)）。8.若矩陣\(A\)可逆，且\(AB=AC\)，則\(B\)與\(C\)的關(guān)系是______。9.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}\)不可逆，則\(a=\)______。10.已知矩陣\(A\)的秩\(r(A)=2\)，\(A\)是\(3\times4\)矩陣，則齊次線(xiàn)性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為_(kāi)_____。二、單項(xiàng)選擇題（10題，每題2分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.\((AB)^k=A^kB^k\)B.\(\vert-A\vert=-\vertA\vert\)C.若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)D.若\(A\)可逆，則\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)2.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=E\)，則（）A.\(A\)的行列式為\(1\)B.\(A\)的特征值只能是\(1\)C.\(A\)可逆，且\(A^{-1}=A\)D.\(A\)一定是對(duì)稱(chēng)矩陣3.若矩陣\(A\)與\(B\)等價(jià)，則（）A.\(A\)與\(B\)相似B.\(A\)與\(B\)合同C.\(r(A)=r(B)\)D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)4.設(shè)\(A\)是\(3\)階方陣，\(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣，若\(\vertA\vert=2\)，則\(\vertA^\vert=\)（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)5.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}=\)（）A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-2&\frac{3}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=E\)，則（）A.\(A\)，\(B\)都可逆B.\(A\)可逆，\(B\)不可逆C.\(A\)不可逆，\(B\)可逆D.\(A\)，\(B\)都不可逆7.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則（）A.\(A\)中所有\(zhòng)(r\)階子式都不為零B.\(A\)中至少有一個(gè)\(r\)階子式不為零C.\(A\)中所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為零D.\(B\)和\(C\)都對(duì)8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(A^2+2A+E\)的一個(gè)特征值是（）A.\(\lambda^2+2\lambda+1\)B.\(\lambda^2-2\lambda+1\)C.\(\lambda^2+2\lambda-1\)D.\(\lambda^2-2\lambda-1\)9.已知矩陣\(A\)與對(duì)角矩陣\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)相似，則\(\vertA\vert=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(6\)10.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則（）A.當(dāng)\(m>n\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert=0\)B.當(dāng)\(m>n\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert\neq0\)C.當(dāng)\(n>m\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert=0\)D.當(dāng)\(n>m\)時(shí)，必有\(zhòng)(\vertAB\vert\neq0\)三、多項(xiàng)選擇題（10題，每題2分）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算的說(shuō)法正確的有（）A.矩陣加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律B.矩陣乘法滿(mǎn)足交換律C.矩陣乘法滿(mǎn)足結(jié)合律D.矩陣與數(shù)的乘法滿(mǎn)足分配律2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式成立的有（）A.\((A+B)^T=A^T+B^T\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）D.\((A-B)^T=A^T-B^T\)3.若矩陣\(A\)可逆，則下列說(shuō)法正確的有（）A.\(A\)的行列式不為零B.\(A\)的秩等于其階數(shù)C.\(A\)的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)D.\(A\)的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)是\(A\)的兩個(gè)不同特征值，\(\xi_1\)，\(\xi_2\)分別是對(duì)應(yīng)于\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)的特征向量，則（）A.\(\xi_1\)，\(\xi_2\)線(xiàn)性無(wú)關(guān)B.\(\xi_1+\xi_2\)是\(A\)的特征向量C.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1\)，\(k_2\)不全為零）是\(A\)的特征向量D.\(A\xi_1=\lambda_1\xi_1\)，\(A\xi_2=\lambda_2\xi_2\)5.下列矩陣中，是對(duì)稱(chēng)矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)滿(mǎn)足（），則\(A\)是正交矩陣。A.\(A^TA=E\)B.\(AA^T=E\)C.\(A^{-1}=A^T\)D.\(\vertA\vert=1\)7.已知矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的行列式C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)有相同的跡8.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)=r\)，則（）A.齊次線(xiàn)性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為\(n-r\)B.非齊次線(xiàn)性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是\(r(A)=r(A,b)\)C.當(dāng)\(r=n\)時(shí)，\(Ax=0\)只有零解D.當(dāng)\(r<n\)時(shí)，\(Ax=0\)有非零解9.若矩陣\(A\)的特征值為\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，\(\cdots\)，\(\lambda_n\)，則（）A.\(\vertA\vert=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)B.\(A\)的跡\(tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\)C.\(A^2\)的特征值為\(\lambda_1^2\)，\(\lambda_2^2\)，\(\cdots\)，\(\lambda_n^2\)D.\(A+kE\)的特征值為\(\lambda_1+k\)，\(\lambda_2+k\)，\(\cdots\)，\(\lambda_n+k\)（\(k\)為常數(shù)）10.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)可逆，則（）A.\(AB\)與\(BA\)相似B.\(AB\)與\(BA\)等價(jià)C.\(AB\)與\(BA\)合同D.\(\vertAB\vert=\vertBA\vert\)四、判斷題（10題，每題1分）1.若矩陣\(A\)和\(B\)的乘積\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）2.可逆矩陣的行列式一定不為零。（）3.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)一定合同。（）4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對(duì)應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量，則\(k\xi\)（\(k\neq0\)）也是對(duì)應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量。（）5.矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。（）6.若\(A\)是對(duì)稱(chēng)矩陣，則\(A^2\)也是對(duì)稱(chēng)矩陣。（）7.齊次線(xiàn)性方程組\(Ax=0\)只有零解的充要條件是\(A\)的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（）8.若矩陣\(A\)的行列式為零，則\(A\)一定不可逆。（）9.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）10.若矩陣\(A\)的特征值全為零，則\(A=0\)。（）五、簡(jiǎn)答題（4題，每題5分）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。2.說(shuō)明矩陣的相似、合同、等價(jià)之間的關(guān)系。3.什么是矩陣的特征值和特征向量？如何求矩陣的特征值和特征向量？4.簡(jiǎn)述齊次線(xiàn)性方程組\(Ax=0\)解的情況與矩陣\(A\)的秩的關(guān)系。六、討論題（4題，每題5分）1.討論矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律的原因，并舉例說(shuō)明。2.探討可逆矩陣在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。3.分析矩陣的秩在判斷線(xiàn)性方程組解的情況中的作用。4.討論特征值和特征向量在工程技術(shù)中的應(yīng)用。答案一、填空題1.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)2.\(16\)3.\(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)4.\(\frac{1}{2}(A-3E)\)5.\(1,2,3\)6.\(4\)7.\(2^{n-1}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)8.\(B=C\)9.\(\pm1\)10.\(2\)二、單項(xiàng)選擇題1.D2.C3.C4.B5.A6.A7.D8.A9.D10.A三、多項(xiàng)選擇題1.ACD2.ACD3.ABCD4.AD5.ACD6.ABC7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABD四、判斷題1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.×五、簡(jiǎn)答題1.矩陣可逆的充要條件：行列式不為零；滿(mǎn)秩；行（列）