專題01集合、復(fù)數(shù)、不等式與常用邏輯用語

5米考點大集合

里告中兀察由函〕

:元素與集合的關(guān)系j

集合與元素卜

8的甄方法j儂01元素與集合的訪及J?用

HS02”（W物）m?iRB

常見數(shù)第的記法力關(guān)系圖1

303根管集合之間99關(guān)套衣咨整

O考點一集合)「主合同的基金關(guān)系）■｛于卷.夷于ar相答.仝*;1）

K305即集合唯雕黑求益?

“獲JKS06集圖

L：集合的基本運算：一：'Q）

T/g

復(fù)效的定義

復(fù)故的基本概念?數(shù)的分類

復(fù)數(shù)怕等.共配e酸、復(fù)數(shù)的橫

要平面及買軸、點軸

J5數(shù)的幾何鹿義2蚊的幾何表示,gffiOlSHS的橫念與譏算

國臊

—To考點二復(fù)數(shù)的概念與運管道平面的點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系02

，敗!03IMS的幾何意義

復(fù)數(shù)的四運?法則?K04

集合、復(fù)數(shù)、不等式費教的四則運算復(fù)數(shù)的柒力性底

與常用邏輯用語要航范圖內(nèi)解方程

震數(shù)的三角形式及輔角

總數(shù)的三角彬式

三郵式下復(fù)數(shù)的輜去

不等式的性質(zhì)I

襁碘第8）?5?01

考點三不等式SIS02l#-7tZ^T^St

電03/二;欠不等式恒成立與有幅可題

^04利用基本榜式求最值

斗:8HS0S基本不等式恒成立及有軸可跪

利用目本不等式求最值

充分條件與必要條俏

充惻牛與否4

先要條件^01

儂楣充分性處要性求多政

O考點四常用遺輯用語全稱■詞與全稱量詞命目028

SBT03含有fO的命酬否定

全程量詞與存在■詞存在量詞與存在■詞命題酶04儂全稱（存在）量詞領(lǐng)的奧做求碰

命題的否定

制考點大過頭

考點一：集合

核心提煉?查漏補缺

知識點1集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號￡或它表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數(shù)集的記法與關(guān)系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*(或N-)ZQR

知識點2集合間的基本關(guān)系

表示

關(guān)*文字語言符號語言圖形語言

集合A的所有元素都是集合B的O

子集Aq8或83A

元素（X￡A則為￡8）

或C?(4)2>

基本

集合A是集合8的子集，且集合8?

關(guān)系真子集AUB或8丫A

中至少有一個元素不屬于A

相等集合八，B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知識點3集合的基本運算

1、集合交并補運算的表示

集合的并集集合的交集集合的補集

圖形語言00

符號語言ALB=|X|XGA小c4AB=GA,_ELrG屯/4=卜卜￡0,且￥&A}

2、集合運算中的常用二級結(jié)論

(1)并集的性質(zhì)：4U0=A；41M=A；AUR=BUA；AUB=A<=>BQA.

(2)交集的性質(zhì)：40。=。；AC\A=AiAC]B=BC\A；AClB=AuAG8.

(3)補集的性質(zhì)：AU([uA)=U；/4A([L'V4)=0.u(XluA)=A：

CMAUB)=(CuA)n(|：uB)；C￡XAAB)=(CM)U(Cf/B).

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

【題型1兀素與集合的關(guān)系及應(yīng)用】

礪

利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關(guān)鍵，求解過程中務(wù)必注意：用描述法表示的集合,

要先認(rèn)清代表元素的含義和集合的類型，是數(shù)集、點集，還是其他類型的集合。如果是根據(jù)已知列

方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性.

（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值;

（2）互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗.

1.（2022?全國?高考真題）設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足={1,3},則（）

A.2eMB.3^MC.4史A/D.5把M

2.（23-24高三下?山東青島?開學(xué)考試）己知工?1,2,/},貝ijx的取值為（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

3.（2024高一上?全國?專題練習(xí)）已知集合A=W-2,/+4a,10},且則。=.

4.（23-24高三上?陜西期中）已知集合4={片1,0},若2￡4則。=（）

A.1B.-2C.1或-2D.0

5.（23-24高三下?山東薄澤?開學(xué)考試）已知關(guān)于工的不等式or-l>0的解集為2金何且則實數(shù)

a的取值范圍是.

【題型2子集（真子集）的個數(shù)問題】

注意：空集是集合的子集，也是非空集合的真子集；集合是它自身的子集。

如果集合A中含有n個元素，則有

（1）A的子集的個數(shù)有2〃個.（2）A的非空子集的個數(shù)有2〃一1個.

（3）A的真子集的個數(shù)有2"—1個（4）A的非空真子集的個數(shù)有2〃一2個.

1.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）已知集合人=卜￡1>!,<4},8=卜k=〃2_1,〃￡A},則集合P的

子集共有（）

A.2個B.3個C.4個D.8個

2.（2024?湖南邵陽?二模）若集合4={坨1>8?61<},集合八卜|f一71一8v0},則4cB的真子集個

數(shù)為（）

A.14B.15C.16D.31

3.（23-24高三上.云南昆明?階段練習(xí)）若集合A={xeZ|〃?vxv4}有15個真子集，則實數(shù)/八的取值范圍

為（）

A.[-1,0）B.（-L0]C.（-1,0）D.[-1,0]

4.（23-24高三下.江西開學(xué)考試）設(shè)集合M={2,-2,—1},M={x||x-?|<1},若McN的真子集的個數(shù)是

1,則正實數(shù)”的取值范圍為.

5.（2024?新疆烏魯木齊?一模）己知集合人={（占），）,一丁=|},fi={Uy）|Cv-2）2+（.y+3）2=9},則AcB的

子集個數(shù)為.

【題型3根據(jù)集合之間的關(guān)系求參數(shù)】

空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易

因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解。

匕

第一步：弄清兩個集合之間的關(guān)系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若

且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為.空集的情形；

第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)億為方程（組）或不等式（組），求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.

常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)集合A={0,-a},8={1M-22L2},若A=則。=（）

A.2B.1C.1D.-1

2.12024?遼寧葫蘆島.一模）已知集合4={-1,2,4},B={2jn2}.若5白A,則實數(shù)〃，的取值集合為.

3.（2024?遼寧撫順?一模）已知集合人={1,〃},?={x||x-l|<2（,若A=則實數(shù)〃的值是（）

A.1B.0C.-2D.3

4.（2024.山東濟(jì)寧?一模）設(shè)集合A={x|f7_6<0},B={X-a<x<a}f若則實數(shù)。的取值范

圍是?

5.（2024.江西鷹潭.一模）已知集合4={x|/-5x<6},集合8={x|x*},若則。的取值范

圍為（）

A.（6,+oo）B.[6,-HX>）C.（-oo,-l）D.（-a）,l]

【題型4集合的交并補運算】

g艮

求解集合的基本運算問題需掌握“3種技巧”（1）先“簡”后“算“：進(jìn)行集合的基本運算之前要先對其進(jìn)行

化簡，化簡時要準(zhǔn)確把握元素的性質(zhì)特征，如區(qū)分?jǐn)?shù)集與點集等.

（2）遵“規(guī)”守”矩”：定義是進(jìn)行集合基本運算的依據(jù)，交集的運算要抓住“公共元素”；并集的運算中

“并”是合并的意思;補集的運算要關(guān)注“你有我無”的元素.（3）借“形”助“數(shù)”:在進(jìn)行集合的運算時

要盡可能地借助Venn圖或數(shù)軸使抽象問題直觀化，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍.

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)全集U={1,234,5},集合M={1,4},N={2,5},則NUgM=()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{124,5}D.{2,3,4,5}

2.(2023?全國?高考真題)設(shè)全集U=Z，集合M={.dx=32+mZ),N={dx=3/+2#￡Z},加(MuN)=

()

A.{x\x=3k,keZ}B.x=3k-\,keZ]

C.{^1x=3k-2,keZ}D.0

3.(23-24高三下.北京西城.開學(xué)考試)已知集合4={123},?={xeZ|x(2-x)>0},則AU48=()

A.{1,2}B.{0,1,23}C.ZD.{x€Z|xw。}

4.(2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)設(shè)全集U={-2,—l,0,l,2,3},集合A={-2,0,2},B={^|x12-2X-3<0,XGZ),

則電,(AB)=()

A.{-2,—1,1,3}B.{-2,1,3}C.{-1,1,3}D.{-2,-1)

5.(2024.湖北.二模)設(shè)集合A={NY_3x<o},8={x[則-c低8)=()

A.(0,2)B.(0,2]C.(1,2]D.(2,3)

【題型5根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)】

法一：根據(jù)集合運算結(jié)果確定集合對應(yīng)區(qū)間的端點值之間的大小關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；

（3）根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.

【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關(guān)系時，需檢驗?zāi)芊袢　?"：（2）千萬不要忘記考慮空集。

1.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知集合讓忖i},人{(lán)—1,9},若AD8={TJ9},則"=（）

A.3B.1C.-1D.-3

2.（23-24高三下?重慶大足.階段練習(xí)）已知集合4=卜上2一3..4<0},B={x|x2-av=o},若Ac8中有

且僅有兩個元素，則實數(shù)。的范圍為（）

A.（-1,4）B.（-1,0）C.（0,4）D.（-L0）U（0,4）

3.（2023?江蘇無錫?模擬預(yù)測）已知集合A="￡Z|-1VXV3},8={x|3x—a<0},且為={1,2},

則。的取值范圍為（）

A.（0,4）B.（0,4]C.（0,3]D.（0,3）

4.（22-23高三上?山西?階段練習(xí)）設(shè)集合A={Xx<2或x"}.8={RaW〃+l},若曲4）8=0,則

。的取值范圍是（）

A.a<\?￡a>4B.a<1或aN4C.a<1D.a>4

5.（22-23高三上?重慶沙坪壩?開學(xué)考試）設(shè)集合M={H-14x<2},集合N={Hx-kW0},若Mc?N=0,

則上的取值范圍為.

【題型6集合的新定義問題】

常見的新定義問題有定義新概念、新公式、新運算和新法貝!等類型。解決以集合為背景的新定義問

題，要抓住兩點：

①緊扣新定義。首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體

的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在。

②用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集

合的性質(zhì)。

1.（2023?廣東?二模）若集合4=卜|3--8.丫一3?0},B={x\x>\}t定義集合A—8={x|xe4且x紀(jì)明，

則A-A=（）

「11「1、「11

A.--,3B.--JC.--JD.（1,3]

2.（23-24高三下?河北?開學(xué)考試）德國數(shù)學(xué)家康托爾在其著作《集合論》中給出正交集合的定義：若集合

A和B是全集U的子集，且無公共元素，則稱集合A8互為正交集合，規(guī)定空集是任何集合的王交集合.若

123

全集U-{沖<log2（A-4-l）43,avN},A—{dA-7X+1O<O,KeN）,則集合A關(guān)于集合U的正交集合B的個

數(shù)為（）

A.8B.16C.32D.64

3.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）設(shè)N；={1,2,，加}表示不超過小（""N）的正整數(shù)集合，A?表示&個元素

的有限集，S（A）表示集合A中所有元素的和，集合A={S（4）|A三叫，則小=;若

5（*）《2024,則6的最大值為.

4.（2024.北京延慶?一模）已知數(shù)列｛q｝,記集合7=｛S（仃）|S（iJ）+a.+l+.,.+apl.

（1）若數(shù)列｛q｝為123,寫出集合7；

（2）若見=2〃，是否存在iJeZ,使得S（i,/）=512?若存在，求出一組符合條件的仃；若不存在，說

明理由：

（3）若q=〃，把集合了中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為乙也，…也，….，若心工2024,求〃?的最

大值.

5.（23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）設(shè)集合S、7為正整數(shù)集N*的兩個子集，S、7至少各有兩個元

素.對于給定的集合S,若存在滿足如下條件的集合人

①對于任意a，beS,若a'b,都有②對于任意。力￡/，若a<b,則2wS.則稱集合了為集合S的

a

“K集”.

（1）若集合$=｛1,3,9｝,求號的“K集”小

（2）若三元集另存在“K集”一，且看中恰含有4個元素，求證：1史邑：

⑶若&=｛內(nèi),七，…,X”｝存在“K集”，且％<%2<〈X”，求〃的最大值.

考點二：復(fù)數(shù)的概念與運算

?核心提煉?查漏補缺…

知識點1復(fù)數(shù)的基本概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如。+萬（小〃￡R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是小虛部是A

2、復(fù)數(shù)的分類：

實數(shù)。=0,

復(fù)數(shù)z=〃+歷

純虛數(shù)4=0,

a,/?ER虛數(shù)厚0

非純虛數(shù)存0.

3、亞數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di<=>a=c且〃=d(a,b,c,d￡R)

共擾復(fù)數(shù)〃+/?i與c+di共輾Qa=c且b=-d(a,b,c,”￡R)

向量oz~>的模叫做復(fù)數(shù)z=a+萬的模，

復(fù)數(shù)的模

記作|z|或|a+〃i|,即|z|=|a+歷|=r=勺/+護(hù)。20,a,/?ER）

知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面;

2、實軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原

點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；

3、復(fù):數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)2=。+口?一一對應(yīng)a復(fù)平面內(nèi)的點2（%b）<.對應(yīng)a平面向量02

知識點3復(fù)數(shù)的四則運算

1、復(fù)數(shù)的運算法則

設(shè)Z1=a+歷，z2=c+di(a,b,c,d￡R),則:

(1)zi+z2=3+bi)+(c+4i)=(a+c)+S+c/)i；

(2)zi-Z2=(〃+0i)—(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)zi2=(a+歷)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

z.ti+bi(〃+〃i)(d-4i)ac+b(lbc-cu!.._八、

(4)—=-----=-----------=———r+———Ti(c+di*0)

z2c+di(c+ch)(c-di)c~+d~c~+d~

2、復(fù)數(shù)運算的幾個重要結(jié)論

2222

(1)|ZI4-Z2|+|Z|—Z2|=2(|ZI|+|Z2|).

(2)z-z=|z|2=|z|2.

(3)若z為虛數(shù)，則閔2先2.

(4)(1±i)2=±2i.

l+i1-i

(4)~=I;T+i=-L

(5)i4rt=l；i4rt+1=i；i4w+2=-l；i4,,+3=-i.

知識點4復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的輔角：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的對應(yīng)向量為應(yīng)，以“軸的非負(fù)半軸為始邊，向量應(yīng)所在的射線(射線OZ)

為終邊的角。，叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

2、輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個值，且這些

值相差27r的整數(shù)倍.規(guī)定：其中在0W6<2〃范圍內(nèi)的輔角。的值為輔角的主值，通常記作argz

3、復(fù)數(shù)的三角形式：任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成2==(恒5。+E九。)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，。是好數(shù)

的輔角.

4、復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示及其幾何意義

已知Z]=G(cos%+isinOi),z2=r2(cos32+isinO2)^

(1)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示:z/i=r1r2[cos(01+%)+is出(%+4)]

(2)復(fù)數(shù)乘法運算三角表示推廣：

rcos

Z]Z2...zn=r?os8i+isinbi)?r2(cos02+isin02)?????n(^n+isindjJ

=r1r2...%|cos(6]+。2T---.%)+is出(％+%+…+—

nn

特別的，當(dāng)Z]=z2=…=zn=r(cos0+isin。)時，[r(cosO+isin3')]=r(cosn0+isinnO')

(3)復(fù)數(shù)除法運算的三角表示：包=第等筆=&[cos(%-4)+is)(%-%)]

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

【題型1復(fù)數(shù)的概念與運算】

（a=0

1、對復(fù)數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對于復(fù)數(shù)z=〃+勿為純虛數(shù)=<八，往往容易忽略虛部不等于0：

[〃工0

a<c

2、兩個復(fù)數(shù)不能直接比大小，但如果。+初VC+山成立，等價于八。

b=dJ=2

1、復(fù)數(shù)概念的幾個關(guān)注點

（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若Z=〃+歷，只有當(dāng)a,0ER時，4才是Z的實部，/?才是Z的虛部；

（2）不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復(fù)數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分；

（3）舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答判斷命題真假類題目時，可按照“先

特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答。

2、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法

（1）直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則之算化簡為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；

（2）待定系數(shù)法：將更數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入已知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于組數(shù)實部和虛部

的方程（組），通過解方程（組）求出復(fù)數(shù)的實部與虛部。

3、乘方：i'=i,i2=-1,i3=ii2=-i,i4=i3-i=—ii=L

i4n+,=i,i4z,+2=-l,i4rt+3=-i,i4,f+4=l.

5（l+i3）

1.（2023?全國?高考真題）/.1/」、=（）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

2.（2023?全國?高考真題）設(shè)〃wR,（a+i）（l-5）=2,,則〃=（）

A.-1B.0C.ID.2

3.（2024.河南?一模）計算但一旦13為虛數(shù)單位）的值為______.

（22J

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）若兔數(shù)z滿足i-（z+i）=2,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.-3B.-3iC.3D.0

5.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知aeR,若2二二三為純虛數(shù)，則。=（）

21-1

A.72B.2C.1D.y

【題型2共施復(fù)數(shù)的相關(guān)應(yīng)用】

0O的杳

共短復(fù)數(shù)問題的求解技巧

1、求復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式已知，則根據(jù)共挽復(fù)數(shù)的定義可以寫出Z,再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運算：

2、已知關(guān)于z與Z的方程，而復(fù)數(shù)z的的代數(shù)式形式未知，求解.z。解此類題的常規(guī)思路為：設(shè)

z=ag,b￡R）,則三=々一0i,代入所給等式，利用好數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解。

L(2。24?河南新鄉(xiāng)?二模)設(shè)”=智‘則［=()

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

2.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測）已知（z+與i==l,貝ljz=（）

A.2+iB.2-iC.l-2iD.-l-2i

3.（23-24高三下.江西.開學(xué)考試）（多選）若4、4為復(fù)數(shù)，則（)

A.|口習(xí)=|不同

B.21+22=Z1+Z2

C.z；=|z『(〃wN”)D.z/Z|=㈤.同

4.（23-24高三上?湖北宜昌?期中）（多選）設(shè)與與是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z,=Z2,貝！J4%B.若Izi-ZjKh+ZzI，則馬七=0

C.若匕|=%|,則馬.馬=馬/2D.若㈤=同，則Z：=z；

5.（2024?廣東佛山?二模）（多選）已知復(fù)數(shù)z,卬均小為0,則（）

C.z+w=z-wD.|ZH|=|Z|M

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】

復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點、平面向量存在一一對應(yīng)關(guān)系，兩個復(fù)數(shù)差的?？梢岳斫鉃閮牲c之間的距離.

（1）任一個復(fù)數(shù)z=a+bi（a,6￡R）與復(fù)平面內(nèi)的點Z（m協(xié)是---對應(yīng)的.

（2）一個復(fù)數(shù)z=a+/?i（a,與復(fù)平面內(nèi)的向量花=（a,b）是----對應(yīng)的.

1.（2023?北京?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（-1,6）,則z的共挽及數(shù)5=（）

A.1+冊B.1-與C.-l+x/3iD.-1-V3i

2.（2023?全國?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2024.廣西來賓?一模）復(fù)數(shù)（l+i）‘在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2024.內(nèi)蒙古包頭.一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-W=-2i，忖=血，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于第四象限，則z=

（）

A.l-2iB.1-iC.-1-iD.2-i

5.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）設(shè)awR,若復(fù)數(shù)當(dāng)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線>=一不

a-21

上，則〃=（）

A.-2B.-10C.1234D.2

5

【題型4復(fù)數(shù)的模長及應(yīng)用】

對復(fù)數(shù)模長的理解錯誤，復(fù)數(shù)的模長計算與實數(shù)不同，尤其要注意模長性質(zhì)的應(yīng)用。

（1）定義：向量應(yīng)的模/■叫做當(dāng)數(shù)z=a+〃i（m〃￡咫的模或絕乂寸值

（2）記法：復(fù)數(shù)z=a+/的模記為團(tuán)或|a+bi|.

（3）公式：|z|=|?+bi\=r=^p+P（r>0,r￡R）.

1.（2（）23?全國?高考真題）|2+i?+2i3卜（）

A.1B.2C.75D.5

2.（2024?浙江?二模）若復(fù)數(shù)z滿足:z+2z=3-2i,則目為（）

A.2B.V2C.逐D.5

3.（23.24高三上?浙江紹興?期末）若上匚=i（aeR,i為虛數(shù)單位），貝汴-創(chuàng)=（）

a-\

A.2B.V2C.3D.2加

4.（2024.山東臨沂?一模）若虛數(shù)單位i是關(guān)于式的方程加+加+桁+l=0（a.〃eR）的一個根，貝電+例=

)

A.0B.1c.V2D.2

5.（2024.湖南邵陽?二模）（多選）已知復(fù)數(shù)4,z?滿足：㈤ffkE-Z-Zl（其中i為虛數(shù)單位）,則下列

說法正確的有（）

A.|0-0^|=2B.島卜孝

C.B-Zzl的最小值為亞-1D.B-Zzl的最大值為正十1

考點三：不等式

?核心提煉?查漏補缺

知識點1不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>b=b<a可逆

2傳遞性a>b,b>c=^a>c同向

3可加性a>/?=a+c、>〃+c可逆

a>b,c>O=>ac>bc

4可乘性。的符號

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>+c>b+d同向

6正數(shù)同向可乘性a>b>Ofc>(l>O=^ac>bd同向

7正數(shù)乘方性〃>/?()=/>〃(〃eN./:>2)同正

知識點2一元二次不等式的解集

判別式/=爐一4知J>0/=()J<0

y

AbJV

二次函數(shù)

y=以2+bx-ic（a>0）的圖象

MX

0

方程

有兩相等實根為=超=一5

有兩相異實根Xl，X2（X]<X2）沒有實數(shù)根

ax2+b.v+c=O(a'O)的根

卜上2a

加+法+。>0（。>0）的解集{X|X<X1WtX>X2}{x|xGR}

ax2+/?.v+c<0(a>0)的解集國c)00

知識點3基本不等式

1、重要不等式：a2+kr>lah^R）,（當(dāng)且僅當(dāng)。時取"="號）.

變形公式：2(^2+/?2)>(^+Z?)2(tz,bwR)

2、基本不等式：K

（1）基本不等式成立的條件：。>0力>0

（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。二人時取等號.

（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)〃>0,歷>0,貝U。，人的算術(shù)平均數(shù)為幾何平均數(shù)為而,

2

基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3、利用基本不等式求最值

已知心>0,）>0,則

（1）如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)，時，x+y有最小值2如.（簡記：積定和最小）

那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，孫有最大值?.（簡記:

（2）如果和x+y是定值p,和定積最大）

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

【題型1不等式的性質(zhì)應(yīng)用】

-T

不等式基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，有些性質(zhì)是條件不等式，在使用這些性質(zhì)解題時，務(wù)必要檢驗成

立條件，不能想當(dāng)然套用，忽視了就會出錯。

eo?點

比較大小的常用方法

（I）作差法：一般步驟為①作差；②變形；③定號；④下結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因

式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式。當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平

方再作差。

（2）作商法：一般步驟為①作商；②變形；③判斷商與1的大?。虎芟陆Y(jié)論.

（3）中間值法：對于兩個數(shù)值，如果無法直接比較大小，那么可以考慮利用中間值來匕較大小等.

一股常用的中間值有0,1,2。

（4）函數(shù)法：根據(jù)兩數(shù)或兩式的結(jié)構(gòu)特征找出共性與差異，利用差異設(shè)置變量，根據(jù)共性構(gòu)造函數(shù),

將兩數(shù)（式）的大小比較問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題進(jìn)行求解。

1.（2024?河北滄州?一模）下列命題為真命題的是（）

A.Vx>0,cv>cosxB.^a>h,a2>b2

C.Bx>0,cosx>evD.3a>b,^<by

2.（23-24高三下.云南昆明.階段練習(xí)）（多選）已知a>b>0,下列說法正確的是（）

1,1_/??.

A.ciH—~>b-\—B.-I—>2

baah

C.若c>0,則?v"+'D.若c>d,則

aa+c

3.（2024.福建龍巖.一模）（多選）下列命題正確的是（）

A.若則B.若〃</?<（）,貝Ijac2Vbe2

C.若0<"Z?<c,則±D.若0<。<人，ffl2ti+->2y/ab