第34講平面向量的概念與線性運(yùn)算

-------------------------------------------------------------------------------

1、向量的有關(guān)概念

(1)零向量：長度為0的向量叫，其方向是不確定的.

(2)平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做.我T」規(guī)定零向量與任一向量.

(3)單位向量：長度等于個單位長度的向量.

(4)相等向量：長度相等且方向的向量.

(5)相反向量：與向量a長度相等?方向的向量叫做a的相反向量.

2、向量的線性運(yùn)算

(1)向量加法滿足交換律a+b=，結(jié)合律(a+b)+c=.

向量加法可以使用三角形法則，平行四邊形法則.

(2)向量的數(shù)乘：實數(shù)2與向量a的枳是一個向量，記作加，它的長度和方向規(guī)定如F：

?l^a|=U||a|；

②當(dāng)2>0時，4a與a方向；

當(dāng)A<0時，4a與a方向：

當(dāng)a=0時，入a=；

當(dāng)X=0時，入a=.

(3)實數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)入，n￡R，a，b是向量，則有：

①X(〃a)=;

②“+〃)a=；

③4(a+b)=.

3、向量共線定理：

如果有一個實數(shù)入，使b=2a(aW0)?那么b與a是；反之，如果b與a(aXO)是共線向量，那么有

且只右,一個實數(shù)2使b=.

1.(2022年新高考1卷】在A/8C中，點￡＞在邊八B上，BD=2DA.記C4=記，CD=n,則詁=()

A.3m-2nB.-2fn+3nC.3m+2nD.2m+3n

2、【2020年新高考2卷(海南卷)】在AABC中，/)是A8邊上的中點，則而=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

I、在下列命題中，真命題的是.(填序號)

①長度為0的向量都是零向量：

②零向量的方向都是相同的；

③單位向量的長度都相等：

④單位向量都是同方向；

⑤任意向量與零向量都共線.

2、如圖，已知贏=〃，AC=b,DC=3BD,AE=2EC,則庇等于（）

3

-

A.4

c53,

B.6一外

BI)

「31

C-4a~3b

D.凈/

3、已知而0=4ei+2e2，所=2ei+fe2,若M、/\。三點共線，則，=（）

A.IB.2C.4D.-1

4、已知矗=a+5"BC=~3a+6b,CD=4a-b,則（）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

典［例］剖］析

考向一平面向量的有關(guān)概念

例1、給出下列命題，正確的有（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點，旦彳力=加，則四邊形A8C。為平行四邊形

C.。=力的充要條件是同=|同且

D.已知九〃為實數(shù)，若〉、a=曲,則。與》共線

變式1、給出下列命題：

①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同：

②若|。|=仍|,則。=）；

③若筋=比，則A,B,C,。四點構(gòu)成平行四邊形：

④在平行四邊形A3C。中，一定有魂=比：

⑤若〃?=〃，n=",則m=p：

⑥若a〃b,b//ct貝lja〃c.

其中錯誤的命題是.（填序號）

變式2、如圖所示，已知正六邊形A8CQEF,0是它的中心.

（1）與存相等的向量有：

(2)與圍相等的向量有:

(3)與共線的向量有

方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點

(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.

(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.

(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.

(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度.

(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.

考向二向量的線性運(yùn)算

J、A匚1

例2、如圖，在△ABC中，示=號=5，若無=2己+〃無，貝底+〃=.

變式1、(1)在AABC中，A。為8c邊上的中線，E為4。的中點，則說等于()

A翔一”

B.拗6At

c.^^十;疣

(2)如圖，在等腰梯形A3C。中，DC=^AB,BC=CD=DA,DELAC于點E,則仍等于()

A.；?一^

DC

D駟+（祀\

C.拗一；祀

變式2、設(shè)M為平行四邊形A8CO對角線的交點，O為平行四邊形A88所在平面內(nèi)的任意一點，則為+

OB^6C+6D=.（用而表示）

方法總結(jié)：向量的線性運(yùn)算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：?般共起點的向量求和用平

行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法貝J.

考向三共線定理的應(yīng)用

例3、設(shè)兩個非零向量a與b不共線.

(1)若油=。+4應(yīng)'=2a+8b,CD=3(a-b),求證：A,B,。三點共線:

(2)試確定實數(shù)4,使妨+力和。+劭同向.

變式1、如圖，在AABC中，。是8c上靠近點3的四等分點，E,尸分別為4GAO的三等分點，且分別

靠近A,。兩點，設(shè)AC=b.

(1)試用。，力表示正，AI),而

(2)證明：B,E,尸三點共線.

變式2、如圖，在△ABO中，6C=^0A，OD=16B，AD與BC相交于點M，設(shè)6X=a，5h=b.試用a和

b表示說f.

方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法

(l)a〃bQa=》b(bHO)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

（2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量

共線且有公共點時，才能得出三點共線.即4B,C三點共線。7才，下才共線.

⑶若a與b不共線且入a=〃b,則4=〃=0.

⑷萬才=%七4+〃萬2（A,〃為實數(shù)），若4B,C三點共線，貝i：+〃=l.

優(yōu)［化［提］升

1、已知a,5是不共線的向量，AB=/.a-\-2b,危=。+僅一1）5,且A,B,C三點共線，則％的值為（）

A.-I

B.-2

C.一2或1

D.-1或2

2、（多選題）.在△A8c中，下列命題正確的是（）

\.Xb-At=Bt

B.輻+宿?=0

C.若:公+科?（恭一/）=0,則△ABC為等腰三角形

D.若/?油＞0,則^ABC為銳角三角形

3、（2020屆山東省泰安市高三上期末〕（多選題）如圖,在四邊形A8CD中，A8〃CD,ABLAD,AB=2AD=2DC,

E為8c邊上一點，且前=3萬e，F(xiàn)為AE的中點，則（）

2

B.AF=-AB-AD

3+3

C.BF=--AB+-AD

33

___1___?___

D.CF=-AB——AD

63

4、(2022年河北省承德市高三模擬試卷)如圖在梯形A8CO中，BC=2AD,DE=EC,設(shè)麗=￡，

~BC=b>則詼=()

1-5-

B.-a+-b

36

1-3r

D.—a+-b

24

第34講平面向量的概念與線性運(yùn)算

1、向量的有關(guān)概念

(1)零向量：長度為0的向量叫雯向量，其方向是不確定的.

(2)平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做省旭量.我們規(guī)定零向量與任一向量為.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

(4)相等向量：長度相等且方向相司的向量.

(5)相反向量：與向量a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.

2、向量的線性運(yùn)算

(I)向量加法滿足交換律a+b=$>結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).

向量加法可以使用三角形法則，平行四邊形法則.

(2)向量的數(shù)乘：實數(shù)2與向量a的枳是一個向量，記作加，它的長度和方向規(guī)定如F：

?l^a|=U||a|；

②當(dāng)Z>0時，4a與a方向相同:

當(dāng)2<0時，4a與a方向相反;

當(dāng)a=0時，入a=0：

當(dāng)X=0時，A.a=O.

(3)實數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)入，n￡R，a，b是向量，則有：

①X(〃a)=G.〃)a：

②(4+〃)a="a+〃a；

③4(a+b)=2a+，.b.

3、向量共線定理：

如果有一個實數(shù)入，使b=Na(aWO)，那么b與a是共線向量;反之，如果b與a(a#O)是共線向量，那么有

且只有,一個實數(shù)入，使b=Aa.

1.(2022年新高考1卷】在A/8C中，點￡>在邊八B上，BD=2DA.記C4=記，CD=n,則詁=()

A.3m-2nB.-2fn+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】

因為點。在邊AB上，BD=2DA,所以詼=2而，即而一麗=2(誣一麗)，

所以而=3而一2石5=3元一2沅=-2in+3n.

故選：B.

2、【2020年新高考2卷(海南卷)】在△A3C中，。是A8邊上的中點，則而=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【解析】

m=CA+AB=CA+2AD=CA+2(CD-CA^=2Cl)-CA

故選：C

1、在下列命題中，真命題的是.(填序號)

①長度為0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的：

③單位向量的長度都相等：

④單位向量都是同方向；

⑤任意向量與零向量都共線.

【答案】①③⑤

【解析】由定義知①正確；零向量的方向是任意的，故②不正確；③，⑤顯然正確，④不正確.

2、如圖，已知嬴=〃，AC=b,DC=3BD,AE=2EC,則無等于()

1

A.

3°

53

-

B^

14

2a

C.甲一9

n5L3

D.J2b~4a

【答案】D

【解析】由題意，得。月=/)C+CE=w8C+

3、已知MP=4ei+2e?，而=2ei+，e2，若M、。、。三點共線，則1=()

A.1B.2C.4D.-1

t答案】A

【解析】???加、P、。三點共線，則而與的共線，，曲的，即4eI4-2e2=；.(2e1+/e2)，

4=2z,

得L,解得，=1.故選A.

[2=小

4、已知嬴=。+5力，證=-3。+6"CD=4a~b,貝4()

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】A

【解析】由題意得赤=進(jìn)+而=。+58=嘉，又礪，鼐有公共點B,所以A,B,。三點共線.

典［例］剖］析

考向一平面向量的有關(guān)概念

例1、給出下列命題，正確的有（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點，且油=皮，則四邊形人8CO為平行四邊形

C.的充要條件是⑷=|臼且

D.已知九〃為實數(shù)，若〃=曲,則。與力共線

【答案】B

【解析】A錯誤，兩個向量配點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的

起點和終點；

B正確，因為贏=反，所以|矗|=|及1且贏〃氏，又4,B,C,。是不共線的四點，所以四邊形4BC7）為

平行四邊形；

C錯誤，當(dāng)〃〃力且方向相反時，即使同=|可，也不能得到。=瓦所以同=步|且?！āú皇堑某湟獥l件，

而是必要不充分條件；

D錯誤，當(dāng)；.=4=0時，4與?？梢詾槿我庀蛄?，滿足〃=〃b,但。與。不一定共線.

變式1、給出下列命題；

①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；

②若同=步|,則a—bx

③若乙則A,B,C,。四點構(gòu)成平行四邊形：

④在平行四邊形A8CD中，一?定有贏=成：

⑤若/"=〃，n=p,貝lj/〃=p：

⑥若a〃b,b//c,則“〃。.

其中錯誤的命題是.（填序號）

【答案】①②③⑥

【解析】若兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等，但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點，故

①錯誤；若⑷=步|,則〃與。大小相等，但。與。的方向不確定，所以明。不一定相等，故②錯誤；若A8

=5c,則A,B,C,D四點有可能在一條直線上，故③錯誤；④，⑤顯然正確；零向量與任一向量平行,

故當(dāng)6=0時，。與c不一定平行，故⑥錯誤.

變式2、如圖所示，已知正六邊形43CDEF,。是它的中心.

(1)與麗相等的向量有；

(2)與互相等的向量有.

(3)與5W共線的向量有.

答案：(1)以5,b°,：(2)。4七尸,?！?；

13)而，方，而，歷，而，而，麗麗麗.

方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點

(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.

(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.

(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.

(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度.

(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.

考向二向量的線性運(yùn)算

J、A匚1

例2、如圖，在△ABC中，示=號=受，若位=23+比%,貝廉+〃=,

2

【答案】5

-?-?-A2-*I-?2-I-------?-?I—*I-A—>-?-?

【解析】由題意，得。E=￡M+AE=]C/l+1/W=lCA+彳(CB-CA)=彳。+大。氏又。E=%CA+4c8,所

JJJJJJ

12

以4="=§,/+〃=§?

變式1、(1)在AABC中，A。為邊上的中線，石為AO的中點，則或等于()

?__3_

A、初《送

C翔+；祀

4q

（2）如圖，在等腰梯形A8CO中，DC=\AB,BC=CD=DA,OE_LAC于點￡則晟等于（）

c.^Ab—jAt

【答案】（1）A（2）A

【解析】I.作出示意圖如圖所示.

動=反＞+彷=加＞十公&

=（屈+祀）+今初一企）

=,亦一；祀.故選A.

2.因為。。=；4&BC=CD=DA,DE±AC,

所以E是AC的中點，

可得總+口沃^cA）+^z）t"

=成一多正?=；防一；泥，故選A.

變式2、設(shè)M為平行四邊形A8CO對角線的交點，O為平行四邊形/18CO所在平面內(nèi)的任意一點，則①+

dh+次+麗=.（用原表示）

【答案】40M

【解析】因為M是平行四邊形ABCZ）對角線AC,8。的交點，所以扇+33=2而，0B+db=20M,所

以①+/+沆+而=4血

方法總結(jié)：向量的線性運(yùn)算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：一般共起點的向量求和用平

行四邊形法則：求差用三角形法則：求首尾相連向量的和用三角形法則.

考向三共線定理的應(yīng)用

例3、設(shè)兩個北零向量。與力不共線.

（1）若贏=a+。，5C=2a+8ft,CD=3（a-b）,求證：A,B,。三點共線；

（2）試確定實數(shù)公使履+〃和a+姑同向.

【解析】（1）由題意，得詬=的+而=%+8》+3。-3》=5（。+力=5彳瓦所以4瓦應(yīng)）共線.

又因為有公共點6,所以4,B,。三點共線.

(2)因為履+力與。+M同向，所以存在實數(shù)4%＞。)，使得依+》=：.伍+幼)，即履+》=貓+〃瓦

所以(k—i)a=(M—1地.

因為明6是不共線的兩個非零向量，

k—A=O>

所以1解得1

Xk—1=0,2=1

又因為入＞0,所以&=1.

變式1、如圖，在△ABC中，。是3C上靠近點3的四等分點，E,產(chǎn)分別為AC,A。的三等分點，目分別

靠近4,。兩點，設(shè)矗=a,AC=b.

(1)試用mb表示哀,AD,BE,

(2)證明：B,E,廣三點共線.

【解析】(1)由題意，得脛=旗'一油=6-a

-1I31

3-+-?

4BCZW4

4°

泳4

-3

23%11切1

林

-z+X+十-

呼

(I一--

3\/一--2

4a6^

所以林與8E共線.

又際與就有公共點B,

所以B,E,r三點共線.

變式2、如圖，在△ABO中，OC=1dA，OD=1OB，AD與BC相交于點M，設(shè)6\=a，5h=b.試用a和

b表示OM.

H

II

【解析】設(shè)。M=/〃a+〃b，則AM=OM—OA=〃ia+〃b—a=。??一l)a+〃b.AO=。/)—0A=-a

+}b.又YA、M、。三點共線，

.?.病與Q)共線..??存在實數(shù)t，使得病=瓜分，即(小一l)a+〃b=?—a+Jb).

(m—I)a+//b=—/a4-T/b.'t消去/得，/〃一I=-2〃，即，〃+2〃=1①.乂?.,CM=OM—OC

乙”=一,

I2

=ma+〃b—Ja=Q〃一；)a+〃b，C8=08—OC=b—Ja=—}a+b.又丁C、M、B三點共線，?'?CM與CB共線.

,4444

11

一—1137=一不|'

，存在實數(shù)h，使得CW=hC8，???(〃L?a+〃b=h(-wa+b)，，j44消去力得，46+〃=1

②.由①②得/〃=/，〃='5/.(?;W=^a+1b.

方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法

(1后〃1)02=/^(60)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量

共線且有公共點時，才能得出三點共成.即4B,C三點共線=潟，72共線.

⑶若a與b不共線且Q=〃b,則4=〃=0.

(4)O?=A0^+p0?(A,〃為實數(shù))，若4B,。三點共線，則入+〃=1.

優(yōu)[化【提【升

1、己知m力是不共線的向量，贏=2°+2力，AC=a+a-\)b,且A,R,C三點共線，則力的值為()

A.-1

B.2

C.-2或1

D.-1或2

【答案】D

【解析】因為月，B,C三點共線，所以存在唯一一個實數(shù)"，使得即北+%=川。+(7—1冽,

0=4,

所以C,?I、解得2=-1或2=2.

[2=/z(x-1),

2、.住△A4C.中，下列命題正確的是()

A.Ab-At=Bt

B.葡+訛+R=O

C.若:AS+痔?(初一宿=0,則AABC為等腰三角形

D.若泥則△ABC為銳角三角形

【答案】BC

【解析】由向量的運(yùn)和法則知助一汽=仍；?+比+N=0,故A錯，B對：

?.,（崩+祀）?凝一祀）=粉一祀2=（）,

:.戲=走,即/W=4C,

「.△ABC為等腰三角形，故C對：

,.,巾話,0,

???角A為銳角，但三角形不一定是銳第三角形.

故選BC.

3、（2020屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在四邊形48CD中，AB//CD,