高考數(shù)學總復習資料

高三數(shù)學第三輪總復習分類討論押題針對訓練

復習目標：

1.掌握分類討論必須遵循的原則

2.能夠合理，正確地求解有關(guān)問題

命題分析：

分類討論是一種重要的邏輯方法，也是一種常用的數(shù)學方法，這可以培養(yǎng)學生思

維的條理性和概括性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學生分析問題，解決問題的

能力.因此分類討論是歷年數(shù)學高考的重點與熱點.而且也是高考的一個難點.這次的一模考

試中，尤其是西城與海淀都設(shè)置J'解答題來考察學生對分類討論問題的掌握情況.

重點題型分析：

例L解關(guān)于x的不等式：

解:原不等式可分解因式為：(x-a)(x-a2)<0

(下面按兩個根的大小關(guān)系分類)

(1)當a>a2a2-a(0即0<a<l時，不等式的解為x(a2,a).

(2)當a<a2a2-a〉0即a<0或a>l時，不等式的解為:x(a,a2)

(3)當a=a2a2-a=0即a=0或a=l時，不等式為x2<0或(xT)2<0

不等式的解為x.

綜上，當0<a<l時，(a2,a)

當水0或a>l時，x(a,a2)

當a=0或a=l時，x.

評述:抓住分類的轉(zhuǎn)折點，此題分解因式后，之所以不能馬上寫出解集，主要是不知兩

根誰大誰小，那么就按兩個根之間的大小關(guān)系來分類.

例2.解關(guān)于x的不等式ax2+2ax+l>0(aR)

解:此題應(yīng)按a是否為0來分類.

(1)當a=0時，不等式為1>0,解集為R.

(2)a0時分為a>0與a<0兩類

①時，方程ax2+2ax+l=0有兩根

一2?！馈癮2-4。-a±yia2-a.,

M,=--------:---------=--------------=-1±——------.

則原不等式的解為(70,-1一U(-l-,+8).

aa

②時，

方程ax2+2ax+l=0沒有實根，此時為開口向上的拋物線，則不等式的解為(-，+

③時，

方程ax2+2ax+l=0只有一根為x=T,則原不等式的解為(-,-l)U(-l,+).

④時，

方程ax2+2ax+l=0有兩根，

此時，拋物線的開口向下的拋物線，故原不等式的解為：

”()a<0a<0

⑤?=>(7G(b

J<04。2-<00<<1

綜上：

當OWaG時,解集為(-，+).

當a>l時，解集為.

當a=l時,解集為(-,-l)U(-l,+).

當a<0時，解集為.

例3.解關(guān)于x的不等式ax2-222x-ax(a￡R)(西城2003'一模理科)

解:原不等式可化為。ax2+(a-2)x-2^0,

(l)a=0時，xW-l,即X￡(-8,T].

(2)a0時，不等式即為(ax-2)(x+1)20.

①a>0時，不等式化為，

當，即a>0時，不等式解為.

當，此時a不存在.

②a<0時，不等式化為,

當，即-2<a<0時，不等式解為

當，即a<-2時，不等式解為.

當，即a=-2時，不等式解為x=T.

綜上：

a=0時，x￡(-oo,-1).

a>0時，xW.

-2<a<0時，xe.

水-2時，x￡.

a=-2時，｛x|x=-l｝.

評述:通過上面三個例題的分析與解答，可以概括出分類討論問題的基本原則為:

止能不分則不分；

2°:若不分則無法確定任何一個結(jié)果；

30:若分的話，則按誰礙事就分誰.

例4.已知函數(shù)f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2,求實數(shù)a的取值.

a3

：f(x)=1-sinJx+asinx-a"+2a+5=—(sinA：---)2---a2+2。+6.

24

令sinx=t,[-1,1].

則/⑺二一(一卞2一_|。2+2。+6(1￡[-1,1]).

(1)當即a>2時，t=l,

解方程得：〃=-------或。=--------(舍).

22

⑵當時，即-2WaW2時，,,

4

解方程為：〃二一一或a=4(舍).

3

(3)當即a<-2時，t=-l時，ymax=-a2+a+5=2

21±y/13-1±yf\3七,

即a-a-3=0a=-------,<a<-2,:.a=---------全都舍去.

22

綜上，當時，能使函數(shù)f(x)的最大值為2.

例5.設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，證明：.

證明：(1)當q=l時，Sn=nal從而

(2)當qWl時，,從而

2a](1-夕〃)。-/什2)一〃：(1-<7，/+1)2

=—a^qn<0.

由⑴⑵得：s〃S+2<s"

???函數(shù)），=log荔為單調(diào)遞減函數(shù)?工”舐、S”[log。、S〃+2>loggS“+i?

例6.設(shè)一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此雙曲線的離心率.

分析：由雙曲線的漸近線方程，不能確定其焦點位置，所以應(yīng)分兩種情況求解.

解：（1）當雙曲線的焦點在直線y=3時，雙曲線的方程可改為，一條漸近線的斜率為

（2）當雙曲線的焦點在宜線x=l時，仿（1）知雙曲線的一條漸近線的斜率為，此

綜上（1）（2）可知，雙曲線的離心率等于.

評述:例5,例6,的分類討論是由公式的限制條件與圖形的不確定性所引起的，而例

1-4是對于含有參數(shù)的問題而對參數(shù)的允許值進行的全面討論.

例7.解關(guān)于x的不等式.

解:原不等式05'-2<5°

a(]-x),八(}-a)x+a-2八/…、[八

=---------+1<0<=>---------------------<0<=>(x-2)((1-a)x一(2—<0

1-tz>01-tz<0

=⑴或⑵!或⑶

(x-2)(l-2)<0(x-2)(%---------)<0(x-2)(x---------)>0

\-a\-a

由⑴a=l時,x-2>0,即xG(2,+oo).

由(2)aG時，,下面分為三種情況.

①即水1時，解為.

②時，解為.

即（KaG時，原不等式解為:

由（3）a>l時，的符號不確定，也分為3種情況.

②當a>l時，原不等式的解為：.

綜上：

a=l時，x￡（2,+8）.

a<l時，x￡

a=0時，x.

0<a<l時，xe

a>l時，x￡.

評述:對于分類討論的解題程序可大致分為以下幾個步驟:

10:明確討論的對象，確定對象的全體：

20:確定分類標準，正確分類，不重不漏；

30:逐步進行討論，獲得結(jié)段性結(jié)記；

40:歸納總結(jié)，綜合結(jié)記.

課后練習：

1.解不等式

2.解不等式

3.已知關(guān)于x的不等式的解集為M.

（1）當a=4時，求集合M:

（2）若3M,求實數(shù)a的取值范圍.

4.在xOy平面上給定曲線y2=2x,設(shè)點A坐標為（a,0）,aR,求曲線上點到點A距離

的最小值d,并寫成d=f（a）的函數(shù)表達式.

參考答案：

1.

39

2.

44

3.⑴M為

(2)a€(-co,-)U(9,+oo)

3

4.

2006年高三數(shù)學第三輪總復習函數(shù)押題針對訓練

復習重點：函數(shù)問題專題，主要幫助學生整理函數(shù)基本知識，解決函數(shù)問題的基本方

法體系，函數(shù)問題中的易錯點，并提高學生靈活解決綜合函數(shù)問題的能力。

復習難點：樹立數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)方程的思想解決有關(guān)問題。

主要內(nèi)容：

（-）基本問題

1.定義域2.對應(yīng)法則3.值域

4.圖象問題5.單調(diào)性6.奇偶性（對稱性）

7.周期性8.反函數(shù)9.函數(shù)值比大小

10.分段函數(shù)11.函數(shù)方程及不等式

（二）基本問題中的易錯點及基本方法

1.集合與映射

<1》認清集合中的代表元素

<2》有關(guān)集合運算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的區(qū)別。還應(yīng)注意空集的情形,

驗算端點。

2,關(guān)于定義域

<1》復合函數(shù)的定義域，限制條件要找全。

<2〉應(yīng)用問題實際意義。

<3>求值域，研究函數(shù)性質(zhì)（周期性，單調(diào)性，奇偶性）時要首先考察定義域。

<4>方程，不等式問題先確定定義域。

3.關(guān)于對應(yīng)法則

注：<1>分段函數(shù)，不同區(qū)間上對應(yīng)法則不同

<2>聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)求解析式

4.值域問題

基本方法：<1>化為基本函數(shù)一一換元（新元范圍）?；癁槎魏瘮?shù)，三角函數(shù)，……并

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，求值域。

<2>均值不等式：一一形如和，積，及形式。注意識別及應(yīng)用條件。

＜3〉幾何背景：一一解析幾何如斜率，曲線間位置關(guān)系等等。

易錯點：＜1＞考察定義域

＜2＞均值不等式使用條件

5.函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性。

關(guān)注問題：＜1＞判定時，先考察定義域。

＜2＞用定義證明單調(diào)性時，最好是證哪個區(qū)間上的單調(diào)性，在哪個區(qū)間上任取xl及x2。

＜3＞求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)區(qū)間及定義域，有時需分類討論。

＜4＞由周期性及奇偶性(對稱性)求函數(shù)解析式。

＜5＞“奇偶性”+“關(guān)于直線x=k”對稱，求出函數(shù)周期。

6.比大小問題

基本方法：＜1＞粗分。如以“0”，“1”，“-1”等為分界點。

＜2＞搭橋＜3＞結(jié)合單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合

＜4＞比差、比商＜5＞利用函數(shù)圖象的凸凹性。

7.函數(shù)的圖象

＜1》基本函數(shù)圖象

＜2＞圖象變換①平移②對稱(取絕對值)③放縮

易錯點：復合變換時，有兩種變換順序不能交換。如下：

＜1＞取絕對值(對稱)與平移

例：由圖象，翹?何變換可得下列函數(shù)圖象？

＜1＞y=Jlx|-1＜2＞y=J|x-11

分析：＜1＞

評述：要由得到只能按上述順序變換，兩順序不能交換。

＜11＞平移與關(guān)于y=x對稱變換

例：y=f(x+3)的反函數(shù)與尸f-l(x+3)是否相同？

分析：①的反函數(shù)。

(—()")尸⑴X—>x+3

②y=75)

對稱平移

???兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)(也可以用具體函數(shù)去驗證。)

(三)本周例題：

例1.判斷函數(shù)的奇偶性及周期性。

分析：＜1＞定義域：

???f(x)定義域關(guān)于原點對稱，如圖：

D,/、Z11-COSX、.

又f(x)=(1+tgx---：----)sinx=tgx

sinx

?，f(-x)=-f(x),

???f(x)周期的奇函數(shù)。

評述：研究性質(zhì)時關(guān)注定義域。

例2.＜1＞設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當XE[-3,-2]時，f(x)=2x,求f(113.5)

的值。

＜2＞已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當xW(0,1)時，f(x)=x+l.求f(x)在(1,2)

上的解析式。

解：＜1＞:

:.,f(x)周期T=6,

:.f(113.5)=f(6x19-0.5)=f(-0.5).

當x￡(-l,O)時，x+3G(2,3).

???x￡(2,3)時，f(x)=f(-x)=2x.

Jf(x+3)=-2(x+3).

1I

???fM=

/U+3)2(x+3)

???/(-；)=11

___________—_?

2x(-；+3)5

<2>(法1)(從解析式入手)

VxG(l,2),則-x￡(-2,T),

???2-xG(0,1),???T=2.

Vf(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+l=3-x.

???f(x)=3-x,XG(1,2).

小結(jié)：由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。

(法2)(圖象)

f(x)=f(x+2)

如圖:xE(0,1),f(x)=x+l.

xE(-1,0)-*f(x)=-x+l.

xe(l,2)->f(x)=-(x-2)+1=3-x.

注：從圖象入手也可解決，且較直觀。

例3.<1)若x￡(l,2)時，不等式&-1)2。。8@*恒成立，求a的取值范圍。

<2>已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+5對任意t都有f(t)=f(-4-t),且在閉區(qū)間Z[m,0]上

有最大值5,最小值1,求m的取值范圍。

分析：<1>設(shè)yl=(x-l)2,y2=logax

xe(1,2),即x￡(l,2)時,曲線yl在y2的下方，如圖：

???a=2時,x￡(1,2)也成立,Aae(1,2].

小結(jié)：①數(shù)形結(jié)合②變化的觀點

③注意邊界點，a=2,x取不到2,工仍成立。

<2>Vf(t)=f(-4-t),:.f(-2+t)=f(-2-t)

???f(x)圖象關(guān)于x:-2對稱,a=4,:.f(x)=x2+4x+5.

f(x)=(x+2)2+l,動區(qū)間:[m,0],

VxG[m,0],[f(x)]0ax=5,[f(x)]nin=l,

0].

小結(jié)：函數(shù)問題，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，并應(yīng)用運動變化的

觀點研究問題。如二次函數(shù)問題中常見問題，定函數(shù)動區(qū)間及動函數(shù)和定區(qū)

間，但兩類問題若涉及函數(shù)最值，必然要考慮函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而二次函

數(shù)的單調(diào)性研究關(guān)健在了其圖象對稱軸的位置。以發(fā)展的眼光看，還可解決

一類動直線定曲線相關(guān)問題。

例4.已知函數(shù)

(I)判定f(X)在XG(-00,-5)上的單調(diào)性，并證明。

(II)設(shè)g(x)=l+lcga(x-3),若方程f(x)=g(x)有實根，求a的取值范圍。

分析：(I)任取xl〈x2<-5,

則：，

,:(x)-5)(X2+5)-(X)+5)(X2-5)=10(XI-X2)<0

又(xi-5)(x2+5)>0K(xi+5)(X2-5)>0

0<(M-5)(5+5)<],

、(為+5)(犬2-5)

???當a>l時，f(xl)-f(x2)<0,:.f(x)單調(diào)遞增,

當0<a<l時,f(xl)-f(x2)>0,???f(x)單調(diào)遞減,

(II)若f(x)=g(x)有實根，即：。

x+5nx>5.

x-3>0

???即方程：有大于5的實根。

x-5U-5)

(法1)a=(Vx>5)

(x-3)(x4-5)(工一5+2)*—5+10)

3—V5

x-5_____L_<

(x-5)2+12U-5)+20(x-5)+^_+1212+2V20-16

(x-5)

???

16

(法2)(實根分布)(】)有大于5的實根,

方程⑴化為:ax2+(2a-l)x-15a+5=0.

Va>0,AA=64a2-24a+l>0.

①有一根大于5v=0.

J⑸<0

d>()

/(5)>0n〃￡(0,4^].

②兩根均大于《

10

l-2a<

----->5

,2a

小結(jié)：實根分布即利用二次函數(shù)圖象及不等式組解決問題。用此數(shù)形結(jié)合方法解決

問題時，具體步驟為：①二次函數(shù)圖象開口方向。②圖象對稱軸的位置。③圖象與x軸交點。

④端點函數(shù)值的符號。此題(2)中，也可以用韋達定理解決。

小結(jié)：

函數(shù)部分是高考考察重點內(nèi)容，應(yīng)當對其予以充分的重視，并配備必要例題，理

順基本方法體系。

練習：

已知f(x)是定義在［T,1］上的奇函數(shù),且f(1)=1,若叫n￡［T,1］,m+n#0時，有

<1>用定義證明f(x)在［-1,1］上是增函數(shù)。

<2>若f(x)Wt2-2at+l對所有a￡若1,1］恒成立,求實數(shù)t的取值范圍。

參考答案：

(2)|甘22或1=0.

2006年高三數(shù)學第三輪總復習排列與組合押題針對訓練

授課內(nèi)容：嵬習排列與組合

考試內(nèi)容：兩個原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式。

考試要求：1)掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析和解決一些簡單的問

題。

2)理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式，并能用它們

解決一些簡單的問題。

試題安排：一般情況下，排列組合為一道以選擇或填空題的形式出現(xiàn)的應(yīng)用題。有時還

另有一道排列、組合與其他內(nèi)容的綜合題(大都與集合、立體幾何、不等式證明等相綜合)。

重點：兩個原理尤其是乘法原理的應(yīng)用。

難點：不重不漏。

知識要點及典型例題分析：

1加法原理和乘法原理

兩手原理是理編排列與組合的概念，推導排列數(shù)及組合數(shù)公式；分析和解決排列與

組合的應(yīng)用問題的基本原則和依據(jù)：完成一件事共有多少種不同方法，這是兩個原理所要回

答的共同問題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類辦法和需要分幾個步驟。

例1.書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。

解：(1)由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，由于有3種書，則

分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。

(2)由于從書架上任取數(shù)學書、語文書、英語書各1本，需要分成3個步驟完成,

據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3X5X6=90(種L

(3)由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況(數(shù)語各1本，數(shù)英

各1本，語英各1本)而在每一類情況中又需分2個步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩

個原理計算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3X5+3X6+5X6=63(種)。

例2.已知兩個集合A={1,2,3},B={a,b,c,d},從A到B建立映射，問可建立多少個

不同的映射？

分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對A中的每一個元素,

在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)?！?/p>

因A中有3個元素，則必須將這3個元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)

分3個步驟，當這三個步驟全進行完，一個映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同

的映射數(shù)目為：5X5X5=53(種)。

2.排列數(shù)與組合數(shù)的兩個公式

排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計算；

二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡與證明。

連乘積的形式階乘形式

n!

P：=n(n-1)(n-2)(n-m+1)--------

(n-m)!

1)QL2).....(72-/Z?+1)_加

Ln------------------------------------------

—1)...3-2-1??!(〃一w)!

例3.求證：Pnm+mPnm-l=Pn+lm

證明：左邊二

(n—m+l)n!+m?n!

(n-m+1)!

(n+1)!

[(n+1)-m]!

=P-=右邊

???等式成立。

評述：這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)。

n!(n+l)=(n+D!.可使變形過程得以簡化。

例4.解方程.

解：原方程可化為：

2x4-1>4

x>3

SXGN

(2x+l)2x(2x-l)(2x-2)=140x(x-l)(x-2)

A>3

，xwN

(2x+1)(2x-l)=35(x-2)

x>3

<xeN解得x=3.

4.t2-35x4-69=0

評述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號時，要

注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這

重要限定寫在脫掉符號之前。

3.排列與組合的應(yīng)用題

歷屆高考數(shù)學試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問題。一般都附有某些限

制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問題的內(nèi)容和情景是多種多

樣的而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。

一般方法有：直接法和間接法

(1)在直接法中又分為兩類，若問題可分為互示各類，據(jù)加法原理，可用分類法;

若問題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。

(2)間接法一般用于當問題的反面簡單明了，據(jù)AU=1且AA=的原理，采

用排除的方法來獲得問題的解決。

特殊方法：

(1)特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或為置后，再去考慮其它元素或位置。

(2)捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組

內(nèi)外分別排列。

(3)插空法：某些元素必須不在一起的分窩排列用“插空法”，不需分離的站好

實位，在空位上進行排列。

(4)其它方法。

例5.7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。

(1)甲排中間；(2)甲不排兩端；(3)甲，乙相鄰；

(4)甲在乙的左邊(不要求相鄰)；(5)甲，乙，丙連排；

(6)甲，乙，丙兩兩不相鄰。

解：(1)甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故

共有：IX=720種不同排法。

(2)甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個位置上任何

一個位置則有種，其余6人可任意排列有種，故共有-=3600種不同排法。

(3)甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個“元素”，連同其余5人

共6個元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有-=1400種不同的排法。

(4)甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左邊”

與“甲在乙右邊”的排法是一一對應(yīng)的，在不要求相鄰時，各占所有排列的一半，故甲在乙

的左邊的不同排法共有=2520種。

(5)甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“棚綁法”，先

將甲、乙、丙合為一個“元素”，連同其余4人共5個“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙

交換位置，故共有-=720種不同排法。

（6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空

法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個“空”。再將甲、

乙、丙插入其中的三個“空”，故共有-=1440種不同的排法。

例6.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類

數(shù)的個數(shù)：

（1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù);

（4）不含數(shù)字0,且1,2不相鄰的數(shù)。

解：（1）奇數(shù)：要得到一個5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個位必須是奇數(shù)，從

1,3,5中選出一個數(shù)排列個位的位置上有種；第二步考慮首位不能是0,從余下的不是

。的4個數(shù)字中任選一個排在首位上有種；第三步：從余下的4個數(shù)字中任選3個排在中

間的3個

數(shù)的位置上，由乘法原理共有=388（個）。

（2）5的倍數(shù)：按0作不作個位來分類

第一類：0作個位，則有=120.

第二類：0不作個位即5作個位，則=96o

則共有這樣的數(shù)為：+=216（個）。

（3）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類：

第一類：3xxxx,4xxxx,5xxxx有3個；

第二類：21xxx,23xxx,24xxx,25xxx,的4個；

第三類：203xx,204xx,205xx,有3個，因比，比20300大的五位數(shù)共有：

3"+4?+34=474（個）。

（4）不含數(shù)字0且1,2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將3,4,5三個數(shù)字排

成一行；第二步將1和2插入四個“空”中的兩個位置，故共有=72個不含數(shù)字0,且1

和2不相鄰的五位數(shù)。

例7.直線與圓相離，直線上六點Al,A2,A3,A4,A5,A6,圓上四點Bl,B2,B3,B4,

任兩點連成直線，問所得直線最多幾條？最少幾條？

解：所得直線最多時，即為任意三點都不共線可分為三類：第一類為已知直線上與圓上

各取一點連線的直線條數(shù)為二24：第二類為圓上任取兩點所得的直線條數(shù)為二6：第三類

為已知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為Nl=++1=31（條）。

所得直線最少時，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字數(shù)較為方便，而重

合的直線即是由圓上取兩點連成的直線，排除重復，便是直線最少條數(shù)：

N尸N「2c：=31-12=19（條）。

2006年高三數(shù)學第三輪總復習三角函數(shù)的定義與三角變換押題針對訓練

內(nèi)容：三角函數(shù)的定義與三角變換

重點：任意角的三角函數(shù)定義

難點：三角變換公式的應(yīng)用

內(nèi)容安排說明及分析：

本部分內(nèi)容分為兩大塊，塊是三角的基礎(chǔ)與預(yù)備知識，另塊是三角變換公式及其應(yīng)

用。把三角變換公式提到三角函數(shù)圖象與性質(zhì)之前來復習，其目的是突出“工具提前”的原

則。即眾多的三角變換公式是解決三角學中一系列典型問題的工具，也是進一步研究三角函

數(shù)的圖象和性質(zhì)的重要工具。

由于本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性與工具性，這是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，因此，最近幾年

的高考試題中占有一定的比例，約占13%左右。有試題多為選擇題，有時也有解答題，難度

多為容易題與中等題。

知識要點及典型例題分析：

一、三角函數(shù)的定義

1.角的概念

（1）角的定義及正角，負角與零角

（2）象限角與軸上角的表達

（3）終邊相同的角

（4）角度制

（5）弧度制

2,任意角的三角函數(shù)定義

任意而I勺6/角函數(shù)定義的本質(zhì)是給角這個幾何量以代數(shù)表達。借助直角坐標系這個

工具，把角放進直角坐標系中完成的。由任意角的三角函數(shù)定義直接可以得到：

（1）三角函數(shù)的定義域

（2）三角函數(shù)值在四個象限中的符號

（3）同角三角函數(shù)的關(guān)系

（4）單位圓中的三角函數(shù)線：要充分利用三角函數(shù)線在記憶三角函數(shù)性質(zhì)與公式以及

解決三角函數(shù)問題中的作用。

3.誘導公式

總共9組共36個公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號看象限”，并弄清口決中的字

詞含義，并根據(jù)結(jié)構(gòu)總結(jié)使用功能。

“奇變”是指所涉及的軸上角為的奇數(shù)倍時（包括4組：，）函數(shù)名稱

變?yōu)樵瓉砗瘮?shù)的余函數(shù)；其主要功能在于：當需要改變函數(shù)名稱時，比如：由于“和差化積”

公式都是同名函數(shù)的和差，使用時，對于不同名的函數(shù)先化為同名函數(shù)，又如：復數(shù)化三角

形式，有時也需要改變函數(shù)名稱，如：sin-icos=cos（+）+isin（+）。

“偶不變”是指所涉及的軸上角為的偶數(shù)倍時（包括5組：2k+,,2

,-）,函數(shù)名稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡及某些證明問

題。

二、典型例題分析：

例1.（1）已知-<<<，求+與-的范圍。

（2）已知的終邊在第二象限，確定一所在象限。

解：（1）V-<<<,/.-<+<,-<-<0.

（2）有兩種思路：其一是先把的終邊關(guān)于x軸對稱放到-的終邊（在第三象限），再

將-的終邊按逆時方向旋轉(zhuǎn)放到-的終邊即-的終邊的反向延長線，此時-的

終邊也在第二象限。

;因路2：是先把的終邊（第二象限）按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到+（一）（第四象限），

再將它關(guān)于x軸對稱得到-（-）=-的終邊，此時也在第一象限。

例2.若人=收卜=,kZ}>B={xIx=+,kZ}?則ABo

解：由B中的x=+=可視為的奇數(shù)倍所構(gòu)成的集合。

而A中的x=是的所有奇數(shù)倍，因此AB。

例3.設(shè)0<<2,問5與角終邊相同，求.

解：由已知5=2k+,kZ,有二,

'/0<<2,.,?k=l時，=；k=2時，=；k=3時，=.

例4.若=ctg-esc,求取值范圍。

解：先看一看右邊=ctg-esc=-=,這樣就決定了左邊的變形方向。

——，

,:-,無解，

???不存在這樣的使所給等式成立。

例5.已知sin（-）-cos（+）=,<<.

求：（1）sin-cos的值（2）sin3（+）+cos3（+）的值

解：（1）由已知，得sin+cos=，平方得：l+2sincos=,

:.2sinacosa=--,

9

'：—<a<7i,

2

/.sina-cosa=-J(sina-cosa)2=V1-2sinacosa=g

(2)sin3(—+a)+cos3(—+a)=cos1a-sina

22

=(cosa-sina)(cosJa+sinacosa+sin'a)

=_22

例6.己知sin(-)=2cos(-2)，求下列三角函數(shù)的值：

sin(^-+a)+5cos(2^-a)小〔工5-o

(1)--------------------------(2)1+coso2a--sin2a.

3sin(-^--a)-cos^+a)

22

解：由已知：-sin=2cos,有tg=-2,則

-sinct+5cos?_-tga+57

(19型式二--------------二---------二—1o

-3cosa-sina-3+tga5

(2)l+cos2a~—sin2a

2

sin?a+2cos2a-gsin"tg~a+2-----2tga

-2—2

si?n~2a+cos2atg2a+i\

(一2f+2-5(-2)_16

(-2-+1T

評述：對于形如為關(guān)于sin與cos的一次分式齊次式，處理的方法，就是將分子

與分母同除以cos,即可化為只含tg的式子。而對于l+cos2-sin2屬于關(guān)于

sin與cos的二次齊次式。即sin2+2cos2-5sincos.此時若能將分母的"1”

用sin2+cos2表示的話，這樣就構(gòu)成了關(guān)于sin與cos的二次分式齊次式，分子

分母同除以cos2即可化為只含有tg的分式形式。

例7.求函數(shù)y=+logsinx(2sinxT)的定義域。

解：使函數(shù)有意義的不等式為：

將上面的每個不等式的范圍在數(shù)軸上表示出來，然后，取公共部分，由于x[-5,5],

故下面的不等式的范圍只取落入[-5,5]之內(nèi)的值，即

2266226

例8.求證：=.

證法一(左邊化弦后再證等價命題)

1sina,

-Fbl-.

左邊二8sacosa----_1+sina+cosa

1sina1-sinrz+cosa

------------------F1

cosacosa

1+sina+cosa1+sina

要證

1-sina+cosacosa

只需證：(l+sin+cos)cos=(l-sin+cos)(1+sin)

左邊二cosa+sinacosa+cos2a

右邊二1-sina+cosa+cosasina=cos'a+cosa+sinacosa

???左邊:右邊，，原等式成立。

或證等價命題：-=0

證法二（利用化“1”的技巧）

sec。+iga+(sec2a-tg2a)

左邊

seca-tga+1

(sec?++seca-tga)l+sina+、土

=--------￡2—--------------=seca+tga=--------二右邊。

seca-tga+1cosa

證法三(利用同角關(guān)系及比例的性質(zhì))

由公式seca-tga=l

=>(seca-tga)(seca+tga)=l

=seca+tga_1

1seca-tga

由等比定理有：=sec+tg=

證法四（利用三角函數(shù)定義）

iiEseca=-,tga=—,sina=—,cosa=—.

xxrr

然后代入所證等式的兩邊，再證是等價命題。

其證明過程同學自己嘗試一下。

評述：證明三角恒等式的實質(zhì)，就是逐步消除等號兩邊結(jié)構(gòu)差異的過程，而“消除差

異”的理論依據(jù)除了必要三角公式以外，還需要有下列等式的性質(zhì)：

⑴若A=B,B=C則A=C（傳遞性）

（2）A=BA-B=O

A

(3)A=B—=1(B0)

B

Ar

（4）—=—AD-BC（BD0）

BD

（5）比例：一些性質(zhì)，如等比定理：

若......，則.............O

1.如果是第二象限角，則所在的象限是（）

A.第一象限B.第一或第三象限C.第二象限I）.第二或第四象限

2.在下列表示中正確的是（）

A.終邊在y軸上的角的集合是｛|=2k+,kZ}

B.終邊在y=x的直線上的角的集合是｛|=k+,kZ}

C.與（-）的終邊相同的角的集合是｛=k_,kZ}

I）.終邊在y=-x的直線上的角的集合是｛=2k-,kZ}

3.若<<，則等于（）

A.sin(-)B.-sinC.cos(-)D.-esc

4.函數(shù)y=2sin()在[,2]上的最小值是()

A.2B.1C.-lD.-2

5.已知函數(shù)y=cos（sinx）,下列結(jié)論中正確的是（）

A、它的定義域是[-1,1]B、它是奇函數(shù)；

C.它的值域是[0,1]D.它是周期為的函數(shù)

6.設(shè)0〈x<,下列關(guān)系中正確的是（）

A.sin(sinx)<sinx<sin(tgx)sin(sinx)<sin(tgx)<sinx

C.sin(tgx)<sinx<sin(sinx)I).sinx<sin(tgx)<sin(sinx)

7.若sin=，cos=-,貝ij[0,2],終邊在()

A.第一?象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.如果一弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對的弧長是（）

A.sinB.C.D.2sin

9.化簡三角函數(shù)式tg（)(kZ）,結(jié)果是（）

A.tgB.ctgC.ctgD.-tg

10.設(shè)(0,),,的大小是1()

A.A>BB、A2BC、A<BI)、AWB

答案：BBDCDADBC

正、余弦函數(shù)的有界性在解題中的作用

正、余弦函存在著有界性，即，，在一些數(shù)學問題中靈活地加以運用，溝通三角函

數(shù)與數(shù)值間的關(guān)系，能大大簡化解題過程。

例L若實數(shù)滿足，求的值。

解：原方程可化為，

因為，所以，

所以，所以

所以,一2|十,一32|二1一2+32-工=30,

例2.在中，，試判定三角形的形狀。

解：因為，，又，

所以，

而，，

于是，

所以，。故為等腰直角三角形。

例3.已知四邊形中的角、滿足

求證：

證明：由己知條件有

-/A+C}A+CA-C1八

月「以cos---------cos-------cos-------+—=0

V3J334

...A—C....+CA+C1?

由于cos-------<1o從而cos----------cos-------4--<0

3334

所以，但，

所以，。

所以，故。

例4.已知函數(shù)，，求證：對于任意，有°

證明：因為，所以。

令，，則，

所以，。=

/(x)=J|sina+^cossin(a+8

從而=]三卜in(a+eb<三

又，故

例5.證明：。

證明：設(shè)，則只須證明。

因為爐=|sina\+|cos?|+2^|sin<2||cos?|=^(|sin?|+|coscr|)2+^2|sin2a\

=^1+|sin2a|+^2|sin2a\

因為，所以，

3_______________3

從而1WkW2,。故1<J|sina|+^|cosa|<2、

例6.復數(shù)，，的幅角分別為、、，，，，且，問為何值時,

分別取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。

解；因為，，，

因為，

所以[cosa+kcos/+(2-Z)cosy]+i[sina+攵sin/+(2-左)siny]=0。

因而，。

兩式平方相加得1=-+下-2)2+2k(k-2)cos(式-/)

由題設(shè)知，，

所以cosGg_y);4一21一=[+―J—……(火)

?u2k(k-2)2(1)2.2

因為，所以，

13

解之得一Wk

22

由(*)知，當時，。

又由(*)及知，當、時，。

例7.設(shè)為無理數(shù)，求證：函數(shù)不可能是周期函數(shù)。

證明：假設(shè)是周期函數(shù)，則存在常數(shù)，使對于任意的，

cos(x+7)+cosa(x+T)=-cosx+cosor都成立。

令得，

因為，，所以

從而，

“aTL

所以。=---=-O

TK

此時，為整數(shù)，則為有理數(shù)，但為無理數(shù)，這是不可能的，故命題成立。

1.(2002年全國)在(0,2)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x取值范圍為()。

A.B、

C.I).

解：在內(nèi)，sinx>cosx,在內(nèi)sinx>cosx；在札sinx>cosx；綜上，應(yīng)選C。

2.(2001年全國)的值為()。

A.B.C、D、

解：

=^(360°-60°)+cfg(360°+45°)

=-/^60°+^450

=-V3+1

:.應(yīng)選R。

3.(1998年全國)已知點P(sin-cos,tg)在第一象限，則在［0,2］內(nèi)的

取值范圍是()

A.B、

C.D.

解：由題設(shè)，有

在［0,2)的范圍內(nèi)，在同一坐標系中作出y=sinx和y=cosx的圖像，可在

時，sin>coso

Jae(g,芻5)考)

424

應(yīng)選Bo

4.(1998年全國)sin600的值是()。

A.B.C.D.

解：sin600=sin(360