2025~2026學(xué)年秋季學(xué)期高二期中質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

考生注意:

1.滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。

2.考生作答時(shí),請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題

目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作

答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效,在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

3.本卷命題范圍:人教版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章3.1。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.在空間直角坐標(biāo)系0父y義中,點(diǎn)P(5,—4,3)關(guān)于平面0父y對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

A.(—5,4,3)B.(—5,—4,—3)

C.(5,4,3)D.(5,—4,—3)

2.橢圓的離心率為

ABCD

3.過(guò)三點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,—2)的圓的方程為

A.父2十y2—2父—y=0B.父2十y2十4父—2y=0

C.父2十y2—2父十y=0D.父2十y2—4父十2y=0

—→—→—→

4.如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,點(diǎn)D在棱AC上,AD=2DC,E為A1B1的中點(diǎn),記AB=a,

—→—→—→

AC=b,AA1=c,則DE=

Ca十b十c

5.過(guò)定點(diǎn)D的直線l與圓C:(父—1)2十(y十1)2=1相交于A,B兩點(diǎn),且|CD,則|AB|的最小

值為

3

A.1B.C.D.2

\2

【高二期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第1頁(yè)(共4頁(yè))】6092B

6.已知直線l:m父十y十1=0(m∈R),若直線l與連接A(1,—2),B(\,2)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn),

則直線l的傾斜角θ的取值范圍是

A.(0,)U(,π)B.(,π)

C.[0,]U[,π)D.(0,)U(,π)

22

7.已知圓C1:父十y—4父—4y=0與父,y正半軸分別交于點(diǎn)A,B,半徑為\的圓C2與圓C1外切,

22

則圓心C2變動(dòng)時(shí),C2A十C2B的值

A.不是定值B.恒為36C.恒為\/52D.恒為52

—→父—→—→—→

8.已知邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,向量AP=AB十yAD十義1,若父十y十義=1,

2A

—→

則CP的最小值為

2\

A.B.C.2\i3D.2\i6

3

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合要求。

全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分。

9.已知圓C的方程為父2十y2—2a父—4ay十5a2—1=0(a∈R),。為原點(diǎn),則

A.圓C的半徑為定值

B.當(dāng)。在圓C外部時(shí),a

C.當(dāng)圓C上的點(diǎn)都在第一象限時(shí),a>1

D.當(dāng)點(diǎn)C在直線y=2上時(shí),圓C上的點(diǎn)到。的距離最大值為\十1

10.關(guān)于空間向量,以下說(shuō)法正確的是

A.若空間向量a=(2,0,3),b=(0,3,—4),則a在b上的投影向量為(0,—,

B.若空間向量a,b滿足a●b>0,則a與b的夾角為銳角

C.若直線l的方向向量為m=(4,—6,—2),平面α的一個(gè)法向量為n=(—2,3,1),則l丄α

D.已知向量p以{a,b,c}為基底時(shí)的坐標(biāo)為(2,—3,2),則p以{a—2b,a十b,a十c}為基底時(shí)的

坐標(biāo)為(1,1,2)

11.已知A(—2,0),B(2,0),F1(—1,0),F2(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(父,y)滿足直線PA與PB的斜率乘積恒

3

為—,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線C,過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,則

4

A.△PF1F2面積的最大值為\

B.存在點(diǎn)P,使得上F1PF2=60。

—→—→

C.若l垂直于父軸,則F1P●F1Q的最小值為—2

11

D.若l過(guò)原點(diǎn),則十的最小值為1

PF1QF1

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。

22

若曲線父y=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則的取值范圍是

12.十a(chǎn).

2a6

13.已知A(2,0,4),B(3,1,5),C(4,—1,4),則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為.

【高二期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第2頁(yè)(共4頁(yè))】6092B

14.已知直線l1:2父十y—4=0,過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線l2與l1及兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,且該四邊形

有外接圓,若l2的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(2,m),則m=.

四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

(1)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線l在父軸上的截距為4,求直線l關(guān)于父軸對(duì)稱的直線方程;

(2)已知直線l1:(m十4)父十y—16=0與直線l2:6父十(m—1)y—16=0平行,求l1與l2的距離.

16.(本小題滿分15分)

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的比為5:3,且點(diǎn)D在橢圓C上.

(1)求C的方程;

(2)若直線l與C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線l的方程.

17.(本小題滿分15分)

——→——→——→

如圖,在三棱錐P—ABC中,AB=BC=CA=2,PA=PB=\,PA●,PC●AB=0.求:

(1)PC的長(zhǎng);

(2)異面直線PB與AC所成角的余弦值.

【高二期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第3頁(yè)(共4頁(yè))】6092B

18.(本小題滿分17分)

如圖,在幾何體ABCDEFG中,四邊形ADGE是邊長(zhǎng)為2的正方形,CD丄平面ADGE,四邊形

ABCD與CFGD都是直角梯形,BC=FGCD,P為EG的中點(diǎn).

(1)棱CF上是否存在點(diǎn)Q,使得PQⅡ平面CDE,并證明;

(2)若CD=2,求:

(i)點(diǎn)D到平面BEF的距離;

(ii)平面BEF與平面CDE夾角的余弦值.

19.(本小題滿分17分)

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾●蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)

的軌跡是以橢圓的中心為圓心,\/a2十b2為半徑的圓(a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),b為橢圓的短半軸長(zhǎng)),

這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓C的蒙日?qǐng)A的面積為5π,短軸長(zhǎng)為2,B、A

分別為C的左、右頂點(diǎn),M,N為C上不同于A、B的兩點(diǎn).

(1)求C的方程;

(2)若M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,射線AM,AN分別與以橢圓C長(zhǎng)軸為直徑的圓交于P,Q兩點(diǎn),記直

線MN和直線PQ的斜率存在且分別為K1,K2.證明為定值;

(3)記直線BM和直線AN的斜率分別為K3,K4,若K3=2K4,試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn),若是,

求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【高二期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第4頁(yè)(共4頁(yè))】6092B

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參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

題號(hào)12345678

答案DBDABCDA

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得6

分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分。

題號(hào)91011

答案ACDACABD

1.D點(diǎn)P(5,—4,3)關(guān)于平面O父Y對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,—4,—3),故選D.

2.B橢圓中a=\,b=\,c=\=2,所以離心率e,故選B.

3.D設(shè)圓方程為父2十Y2十D父十EY十F=0,則,解得D=—4,E=2,F=0,所以圓

D—2E十F=0

的方程為父2十Y2—4父十2Y=0.故選D.

4.Ab十c—b十b十c,故選A.

5.B圓心C(1,—1),設(shè)圓心到直線l的距離為d,則|AB當(dāng)直線l與CD垂直時(shí),

|AB|取最小值\.故選B.

6.C由題可知直線l過(guò)定點(diǎn)P(0,—1).kPAkPBl與線段AB相交,由題

意設(shè)直線l的斜率為k,:kPA≤k≤kPB,:—1≤k≤\.:0≤tanθ≤\或—1≤tanθ<0.由于Y=tan父在

[0,)及(,π)上均單調(diào)遞增,:直線l的傾斜角θ的范圍為[0,]U[,π).故選C.

22

7.DC1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(父—2)十(Y—2)=8,C1(2,2),半徑r1=2\,A(4,0),B(0,4),因?yàn)镃1,C2外切,所以

2222222

C1C2=r1十r2=3\,設(shè)C2(父,Y),則(父—2)十(Y—2)=18,C2A十C2B=(父—4)十Y十父十

(Y—4)2=2[(父—2)2十(Y—2)2]十16=52,故選D.

—→—→—→—→

8.A取AB中點(diǎn)E,則AP=父AE十YAD十zAA1,因?yàn)楦甘甕十z=1,所以點(diǎn)P在平面

—

A1DE上,C的最小值就是三棱錐C—A1DE的高,因?yàn)閂A1—CDE

E=DE,△A1DE的面積為

設(shè)三棱錐C—A1DE的高為h,則×h×\6=,所以h,故選A.

9.ACD圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(父—a)2十(Y—2a)2=1,圓心為C(a,2a),半徑為1,A正確;當(dāng)O在圓C外部時(shí)

OC或aB錯(cuò)誤;當(dāng)圓C上的點(diǎn)都在第一象限時(shí)a>1,C正

確;當(dāng)點(diǎn)C在直線Y=2上時(shí)C的坐標(biāo)為(1,2),圓C上的點(diǎn)到O的距離最大值為OC十1=\十1,D正確,故

選ACD.

10.AC對(duì)于A,a在b上的投影向量為故A正確;

對(duì)于B,當(dāng)a,b同向共線時(shí)a●b>0也成立,但a與b的夾角不為銳角,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由m=—2n,即mⅡn,故l丄α,故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)橄蛄縫以{a,b,c}為基底時(shí)的坐標(biāo)為(2,—3,2),所以p=2a—3b十2c.設(shè)向量p在新基底

【高二期中質(zhì)量檢測(cè)●數(shù)學(xué)卷參考答案第1頁(yè)(共5頁(yè))】6092B

{a—2b,a十b,a十c}下的坐標(biāo)為(兒,y,義),則兒(a—2b)十y(a十b)十義(a十c)=2a—3b十2c,即(兒十y十義)a十

(兒十y十義=2(兒=1

(y—2兒)b十義c=2a—3b十2c,則〈y—2兒=—3,解得〈y=—1,所以p以{a—2b,a十b,a十c}為基底時(shí)的坐標(biāo)為

(義=2(義=2

(1,—1,2).故D錯(cuò)誤,故選AC.

兒2

11.ABD因?yàn)锳(—2,0),B(2,0),PA與PB的斜率乘積恒為—,所以y●y=—,即十=1(y≠0).

兒十2兒—24

△PF1F2的面積S=F1F2●y=y,所以當(dāng)點(diǎn)P為C與y軸的交點(diǎn)時(shí)△PF1F2的面積最大,為\,故A正

2222

PF1十PF2—F1F2(PF1十PF2)—2PF1●PF2—4

確;由余弦定理cOS上F1PF2===

2PF1●PF22PF1●PF2

2

16—2PF1●PF2—4(PF1十PF2)

=—1,因?yàn)镻F1●PF2≤=4,當(dāng)且僅當(dāng)

2PF1●PF24

PF1=PF2=2時(shí)等號(hào)成立,所以cOS上F1PF因?yàn)閥=cOS兒在[0,π]上單調(diào)

遞減,且cOS=,所以上F1PF2≤,則存在點(diǎn)P,使得上F1PF2=60。,故B正確;依題意點(diǎn)Q(兒,—y),所以

2

——→——→222—→———→

F1P●F1Q=(兒十1)—y=兒十2兒—2=(兒十)—,因?yàn)椤?<兒<2,所以當(dāng)兒=—時(shí),F1P●F1Q取

得最小值—,故C錯(cuò)誤;因點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則四邊形PF1QF2為平行四邊形,則QF1=PF2,

因PF1十PF2=4,則十=十=十(PF1十PF2)=

PF2PF1

十十2)≥×(2十2)=1,當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2=2時(shí)等號(hào)成立,故D正確,故選ABD.

PF1PF2

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。

12.(0,3)由題意得0<2a<6,0<a<3,即a的取值范圍是(0,3).

—→—→—→—→

13.\AB=(1,1,1),AC=(2,—1,0),以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為ABACSin上BAC=

————

\A2●ASin2上BAC=\A2●A(1—cOS2上BAC)=\=

\3×5—[1×2十1×(—1)十1×0]2=\.

14.±1設(shè)O為原點(diǎn),直線l1與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)B(2,0),C(0,4),當(dāng)l1丄l2時(shí),記l1,l2的交點(diǎn)為P,直線l1、直

線l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形OAPC,因?yàn)樯螦OC=上APC=,該四邊形對(duì)角互補(bǔ),有外接圓,因?yàn)閘1斜

率為—2,所以l2斜率為,所以=,m=1;當(dāng)l2與y軸的交點(diǎn)為Q(0,b)(0<b<4)時(shí)直線l1、直線l2與兩

坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形ABCQ,若該四邊形有外接圓,則上OAQ=上AQC—=(π—上ABC)—=—

—

Sin(上ABC)

1—

上ABC,所以tan上OAQ=tan—上ABC===,此時(shí)l2的斜率為,方程

)—tan上ABC

cOS(上ABC)

為y=—(兒—1),即兒十2y—1=0,此時(shí)b=,符合題意,=—,m=—1.綜上得,m=±1.

四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。

15.解:(1)點(diǎn)(2,1)關(guān)于兒軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,—1),

兒

設(shè)直線l關(guān)于兒軸對(duì)稱的方程為十=1,

4

把(2,—1)代入方程得b=—2,所以直線l關(guān)于兒軸對(duì)稱的直線方程為兒—2y—4=0.……6分

(m—1)(m十4)=6

(2)由直線l12平行,則,解得m=—5,

與l{6×(—16)≠(—16)×(m十4)

所以此時(shí)直線l1:兒—y十16=0,l2:兒—y—=0,

所以l1與l2的距離d……………13分

【高二期中質(zhì)量檢測(cè)●數(shù)學(xué)卷參考答案第2頁(yè)(共5頁(yè))】6092B

9256

(十=1,

a225b2

a225

16.解:(1)設(shè)半焦距為c,由題得〈解得.

={b216

(a2—b2=c2

父2

所以C的方程為十=1.……………………5分

25

(2)設(shè)A(父1,y1),B(父2,y2),

22

(父1十y1=1

2516

代入橢圓方程得〈,……………………6分

22

父2y2

十=1

(2516

(父1十父2)(父1—父2)(y1十y2)(y1—y2)

兩式相減可得=—,…………………10分

2516

(y1十y2)(y1—y2)16

即=—.…………………12分

(父1十父2)(父1—父2)25

由點(diǎn),為線段AB的中點(diǎn),

得父1十父2=,y1十y2=,……………………13分

y1—y2父1十父2

則l的斜率k==—×=—×=—4,…………………14分

父1—父2y1十y2

所以l的方程為y

即4父十y—=0.………………15分

—→—→—→

17.解:(1)設(shè)PA=a,PB=b,PC=c,a=b=\,AB=b—a=2,CA=a—c=2,

所以a.b=0,……………………3分

—→—→—→—→—→5

PA.AC=PA.(PC—PA)=a.c—a2=a.c—2=—,

2

1

所以a.c=—,…………………6分

2

所以PC=c=a十(c—a)=\a2十(c—a)2十2(a.c—a2)

10分

(2)PC.AB=0,

即c.(b—a)=0,c.b=c.a,

——→—

所以異面直線PB與AC所成角的余弦值為cOS〈PB,A〉

1

——0

b.(c—a)22

=cOS〈b,c—a〉===\…………15分

.

blc—al\2×28

18.解:(1)Q為CF的中點(diǎn)時(shí),PQⅡ平面CDE,……………………1分

證明如下:

取DG的中點(diǎn)H,連接PH,QH.因?yàn)镻為EG中點(diǎn),

所以PHⅡDE,

因?yàn)镈EG平面CDE,所以PHⅡ平面CDE,…………………3分

因?yàn)镠為DG中點(diǎn),Q為CF中點(diǎn),

所以QHⅡCD,

因?yàn)镃DG平面CDE,所以QHⅡ平面CDE,

因?yàn)镻H∩QH=H,所以平面PQHⅡ平面CDE,……………5分

因?yàn)镻QG平面PQH,所以PQⅡ平面CDE.…………………6分

11

(2)(i)CD丄平面ADGE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD與CFGD都是直角梯形,BC=FG=CD=AD,

22

【高二期中質(zhì)量檢測(cè).數(shù)學(xué)卷參考答案第3頁(yè)(共5頁(yè))】6092B

所以DA,DC,DG兩兩垂直,且GFⅡCD,BCⅡAD,

以D為原點(diǎn),直線DA,DC,DG分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

D(0,0,0),B(1,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),

—→—→—→

DE=(2,0,2),EF=(—2,1,0),BF=(—1,—1,2),………………8分

設(shè)平面BEF的法向量m=(a,b,c),

—→

(—

m●02a十b=0

則〈—→,即{——,

(m●0ab十2c=0

取a=1,得m=(1,2,,……………10分

——→

DE●510

所以點(diǎn)D到平面BEF的距離為m==\.………………12分

m\2929

2

—→

(ii)C(0,2,0),得DC=(0,2,0),

設(shè)平面CDE的法向量n=(x,y,z),

(n●02y=0

則〈—,即{,

(n●02x十2z=0

取x=1,得n=(1,0,—1),……………………15分

設(shè)平面BEF與平面CDE夾角為θ,

則cos………………………17分

19.(1)解:由橢圓C:十=1(a>b>0)的蒙日?qǐng)A的面積為5π,短軸長(zhǎng)為2,

(π(a2十b2)=5π

a2

由題意可得〈2b=2,解得,所以橢圓C的方程為十y2=1.…………………4分

{b1

(a>b>0

(2)證明:設(shè)M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),則N(—x0,—y0).

x2

、,2,22,

“MN在橢圓上:40十y0=1即x0=4—4y0………………5分

直線AM與直線AN的斜率存在且不為0,A(2,0),

:kAM●kAN……………………6分

設(shè)k=k=,則直線AM的方程為y=k(x—2),

AM—

y=k(—2)

聯(lián)立→(k2十1)x2—4k2x十4k2—4=0,

{x2十y4

4k2—42k2—2—4k2k2—2—4k

2x1=2,則x1=2,y1=,則P2,,…