基于改進(jìn)人工魚群算法的基數(shù)約束投資組合優(yōu)化研究一、引言1.1研究背景與意義1.1.1研究背景在當(dāng)今復(fù)雜多變的金融市場(chǎng)中，投資組合決策對(duì)于投資者實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的保值增值至關(guān)重要。自Markowitz于1952年提出均值-方差投資組合理論以來，該領(lǐng)域的研究不斷深入和拓展。投資者在構(gòu)建投資組合時(shí)，需要在眾多的資產(chǎn)中進(jìn)行選擇，以平衡風(fēng)險(xiǎn)與收益。然而，在實(shí)際投資過程中，投資者往往受到各種現(xiàn)實(shí)條件的約束，基數(shù)約束便是其中一個(gè)重要的限制因素?；鶖?shù)約束投資組合問題，旨在控制投資組合中資產(chǎn)的數(shù)量。例如，許多投資者由于精力、資金或?qū)I(yè)知識(shí)的限制，無法對(duì)大量資產(chǎn)進(jìn)行有效管理和分析，更傾向于選擇少量的資產(chǎn)進(jìn)行投資。這種對(duì)資產(chǎn)數(shù)量的限制，使得投資組合的構(gòu)建變得更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的投資組合優(yōu)化方法難以直接應(yīng)用。因?yàn)樵诳紤]基數(shù)約束時(shí)，投資組合的可行解空間不再是連續(xù)的，而是離散的，這增加了尋找最優(yōu)解的難度。為了解決這類復(fù)雜的優(yōu)化問題，智能優(yōu)化算法應(yīng)運(yùn)而生。人工魚群算法（ArtificialFishSwarmAlgorithm，AFSA）作為一種新興的智能優(yōu)化算法，近年來受到了廣泛的關(guān)注。它模擬魚群在水域中的覓食、聚群、追尾和隨機(jī)游動(dòng)等行為，通過群體中個(gè)體的協(xié)作與競(jìng)爭(zhēng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)解空間的搜索和優(yōu)化。人工魚群算法具有對(duì)初值要求不高、全局搜索能力強(qiáng)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，能夠在一定程度上克服傳統(tǒng)優(yōu)化算法在處理復(fù)雜問題時(shí)的局限性。然而，標(biāo)準(zhǔn)的人工魚群算法也存在一些不足，如收斂精度不高、易陷入局部極值等問題。在解決基數(shù)約束投資組合問題時(shí)，這些缺陷可能導(dǎo)致算法無法找到全局最優(yōu)解，或者得到的投資組合方案在實(shí)際應(yīng)用中效果不佳。因此，對(duì)人工魚群算法進(jìn)行改進(jìn)，并將其應(yīng)用于基數(shù)約束投資組合問題的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。通過改進(jìn)算法，使其能夠更好地適應(yīng)基數(shù)約束投資組合問題的特點(diǎn)，為投資者提供更有效的決策支持，幫助他們?cè)谟邢薜馁Y產(chǎn)選擇范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小化和收益最大化。1.1.2研究意義本研究將改進(jìn)人工魚群算法應(yīng)用于基數(shù)約束投資組合問題，具有重要的理論和實(shí)踐意義。從理論層面來看，進(jìn)一步完善了人工魚群算法的理論體系。通過對(duì)算法進(jìn)行針對(duì)性的改進(jìn)，深入研究其在解決特定約束條件下優(yōu)化問題的性能和特點(diǎn)，豐富了智能優(yōu)化算法在金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究。這有助于揭示人工魚群算法在處理復(fù)雜約束問題時(shí)的內(nèi)在機(jī)制，為其他類似算法的改進(jìn)和優(yōu)化提供參考和借鑒，推動(dòng)智能優(yōu)化算法的發(fā)展。在實(shí)踐意義方面，為投資者提供了更有效的投資決策工具。在實(shí)際投資中，投資者面臨著眾多的投資選擇和復(fù)雜的市場(chǎng)環(huán)境，基數(shù)約束是常見的現(xiàn)實(shí)限制。利用改進(jìn)的人工魚群算法，可以幫助投資者在滿足資產(chǎn)數(shù)量限制的前提下，更準(zhǔn)確地找到風(fēng)險(xiǎn)與收益平衡的最優(yōu)投資組合方案。這有助于投資者提高投資效率，降低投資風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的合理配置和增值，增強(qiáng)投資者在金融市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)力。同時(shí)，對(duì)于金融機(jī)構(gòu)而言，該研究成果也具有重要的參考價(jià)值，可以幫助他們?cè)O(shè)計(jì)更合理的投資產(chǎn)品和服務(wù)，滿足不同投資者的需求，促進(jìn)金融市場(chǎng)的健康發(fā)展。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.2.1人工魚群算法研究現(xiàn)狀人工魚群算法（ArtificialFishSwarmAlgorithm，AFSA）由李曉磊等人于2002年提出，是一種基于動(dòng)物群體智能行為的新興智能優(yōu)化算法。該算法模擬了魚群在自然環(huán)境中的覓食、聚群、追尾和隨機(jī)游動(dòng)等行為，通過個(gè)體之間的協(xié)作與競(jìng)爭(zhēng)來尋找最優(yōu)解。人工魚群算法的基本原理是，將待優(yōu)化問題的解空間映射為魚群的活動(dòng)空間，每個(gè)解對(duì)應(yīng)一條人工魚。魚群中的每條人工魚根據(jù)自身所處環(huán)境和其他魚的狀態(tài)，按照一定的行為規(guī)則進(jìn)行移動(dòng)和決策。覓食行為是指魚在視野范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)狀態(tài)，如果新狀態(tài)的食物濃度（目標(biāo)函數(shù)值）比當(dāng)前狀態(tài)好，則向該方向游動(dòng)；否則，繼續(xù)在視野范圍內(nèi)隨機(jī)選擇，重復(fù)若干次后若仍未找到更好的狀態(tài)，則隨機(jī)移動(dòng)一步。聚群行為體現(xiàn)為魚會(huì)嘗試向其視野范圍內(nèi)的伙伴中心移動(dòng)。如果該中心位置的食物濃度更高且不太擁擠（魚的密度不超過一定閾值），則朝該中心游動(dòng)，這有助于魚群的聚集和信息共享。追尾行為是魚會(huì)追隨視野范圍內(nèi)食物濃度最高的個(gè)體。如果該個(gè)體周圍不太擁擠，則向其游動(dòng)，這種行為有利于快速找到食物豐富的區(qū)域。隨機(jī)行為是為了增加種群的多樣性，魚在一定概率下會(huì)進(jìn)行隨機(jī)游動(dòng)，這有助于跳出局部最優(yōu)解。該算法具有諸多特點(diǎn)，如全局搜索能力強(qiáng)，由于模擬了魚類的隨機(jī)游動(dòng)和聚群行為，能夠在較大的搜索空間中進(jìn)行全局搜索；收斂速度快，通過模擬魚類的覓食和追尾行為，能快速收斂到較優(yōu)的解；對(duì)目標(biāo)函數(shù)和初值要求不高，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性沒有嚴(yán)格要求，初值的設(shè)定對(duì)算法的影響也較?。粚?duì)參數(shù)設(shè)定容許范圍大，算法中的參數(shù)如感知距離、步長(zhǎng)、擁擠度因子等可以在較大的范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，算法仍能保持較好的性能；具備并行處理能力，人工魚群算法中的個(gè)體可以同時(shí)進(jìn)行移動(dòng)和交互，適用于并行計(jì)算環(huán)境。其算法流程一般為：首先進(jìn)行初始化設(shè)置，包括種群規(guī)模N、每條人工魚的初始位置、人工魚的視野Visual、步長(zhǎng)step、擁擠度因子δ、重復(fù)次數(shù)Trynumber等參數(shù)；接著計(jì)算初始魚群各個(gè)體的適應(yīng)值，并取最優(yōu)人工魚狀態(tài)及其值賦予給公告牌；然后對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià)，并根據(jù)評(píng)價(jià)選擇其要執(zhí)行的行為，包括覓食Pray、聚群Swarm、追尾Follow等；之后更新個(gè)體位置，根據(jù)選擇的行為更新人工魚的位置；再評(píng)價(jià)所有個(gè)體，并更新公告牌上的最優(yōu)解；最后判斷停止條件，如果最優(yōu)解達(dá)到滿意誤差界內(nèi)或者達(dá)到迭代次數(shù)上限，則算法結(jié)束，否則返回步驟3繼續(xù)迭代。在國(guó)內(nèi)外研究中，許多學(xué)者針對(duì)人工魚群算法的不足進(jìn)行了改進(jìn)。在參數(shù)調(diào)整方面，一些研究提出自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)的方法，使算法在不同階段能夠自動(dòng)選擇合適的參數(shù)值，提高算法的性能。例如，文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]提出了一種自適應(yīng)視野和步長(zhǎng)的人工魚群算法，根據(jù)魚群的搜索情況動(dòng)態(tài)調(diào)整視野和步長(zhǎng)，增強(qiáng)了算法的全局搜索和局部搜索能力。在行為改進(jìn)方面，有學(xué)者對(duì)魚群的基本行為進(jìn)行優(yōu)化，或者引入新的行為模式。如通過改進(jìn)覓食行為的搜索策略，使人工魚能夠更有效地探索解空間，避免陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]提出了一種基于混沌搜索的人工魚群算法，利用混沌序列的隨機(jī)性和遍歷性，改進(jìn)人工魚的覓食行為，提高了算法的收斂精度和速度。在混合算法方面，將人工魚群算法與其他智能優(yōu)化算法相結(jié)合，充分發(fā)揮不同算法的優(yōu)勢(shì)。例如，將人工魚群算法與遺傳算法相結(jié)合，利用遺傳算法的交叉和變異操作來增加種群的多樣性，同時(shí)利用人工魚群算法的全局搜索能力來提高算法的收斂速度，文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種混合算法在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)的有效性。1.2.2基于基數(shù)約束的投資組合研究現(xiàn)狀基數(shù)約束投資組合，是指在投資組合選擇中，對(duì)投資組合中資產(chǎn)的數(shù)量進(jìn)行限制的問題。投資者在實(shí)際投資中，由于精力、資金或?qū)I(yè)知識(shí)等限制，往往無法對(duì)大量資產(chǎn)進(jìn)行有效管理和分析，因此更傾向于選擇少量的資產(chǎn)進(jìn)行投資，這就引入了基數(shù)約束。例如，投資者可能希望投資組合中只包含5-10種資產(chǎn)，以降低管理成本和風(fēng)險(xiǎn)。在數(shù)學(xué)模型上，基數(shù)約束投資組合問題通?？梢员硎緸樵跐M足資產(chǎn)數(shù)量限制、預(yù)算約束等條件下，最大化投資組合的收益或最小化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。其中，資產(chǎn)數(shù)量限制通過基數(shù)約束條件來體現(xiàn)，如設(shè)定投資組合中資產(chǎn)的數(shù)量上限或下限。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)基數(shù)約束投資組合問題進(jìn)行了大量研究。在傳統(tǒng)算法方面，主要包括線性規(guī)劃、二次規(guī)劃等方法。這些方法在處理簡(jiǎn)單的投資組合問題時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于復(fù)雜的基數(shù)約束投資組合問題，由于其解空間的離散性和高維度性，傳統(tǒng)算法往往面臨計(jì)算效率低、難以找到全局最優(yōu)解等問題。例如，當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量較多且基數(shù)約束條件復(fù)雜時(shí)，線性規(guī)劃和二次規(guī)劃的計(jì)算量會(huì)急劇增加，導(dǎo)致算法運(yùn)行時(shí)間過長(zhǎng)，甚至無法求解。隨著智能優(yōu)化算法的發(fā)展，越來越多的學(xué)者將其應(yīng)用于基數(shù)約束投資組合問題的求解。如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等。遺傳算法通過模擬生物進(jìn)化過程中的選擇、交叉和變異操作，在解空間中搜索最優(yōu)解。在處理基數(shù)約束投資組合問題時(shí)，遺傳算法可以通過設(shè)計(jì)合適的編碼方式和遺傳操作，有效地處理資產(chǎn)數(shù)量的約束條件。粒子群優(yōu)化算法則是模擬鳥群覓食行為，通過粒子之間的信息共享和協(xié)同搜索，尋找最優(yōu)解。它在解決基數(shù)約束投資組合問題時(shí)，能夠快速收斂到較好的解，但也容易陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]利用遺傳算法求解基數(shù)約束投資組合問題，通過合理設(shè)計(jì)編碼和遺傳算子，取得了較好的投資組合方案，但在處理大規(guī)模問題時(shí)，算法的計(jì)算復(fù)雜度較高?，F(xiàn)有研究在解決基數(shù)約束投資組合問題時(shí)仍存在一些不足。一方面，部分算法在處理復(fù)雜約束條件時(shí)的靈活性和適應(yīng)性較差，難以滿足實(shí)際投資中多樣化的需求。例如，一些算法在面對(duì)同時(shí)包含基數(shù)約束、交易成本約束、風(fēng)險(xiǎn)約束等多種復(fù)雜約束條件時(shí)，無法有效地進(jìn)行求解，或者得到的解質(zhì)量較差。另一方面，對(duì)于算法的性能評(píng)估和比較缺乏統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和方法，不同研究之間的結(jié)果難以直接對(duì)比，這不利于對(duì)算法的進(jìn)一步改進(jìn)和優(yōu)化。此外，當(dāng)前研究大多集中在理論模型和算法的設(shè)計(jì)上，對(duì)實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)的分析和應(yīng)用研究相對(duì)較少，導(dǎo)致一些算法在實(shí)際投資中的可行性和有效性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。1.3研究?jī)?nèi)容與方法1.3.1研究?jī)?nèi)容本研究圍繞改進(jìn)人工魚群算法在基于基數(shù)約束的投資組合中的應(yīng)用展開，主要內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面：改進(jìn)人工魚群算法：深入分析標(biāo)準(zhǔn)人工魚群算法的原理和特點(diǎn)，針對(duì)其在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)容易陷入局部最優(yōu)、收斂精度不高的問題，從參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整、行為策略改進(jìn)等方面進(jìn)行算法改進(jìn)。通過引入自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整機(jī)制，使算法能夠根據(jù)搜索進(jìn)程動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)，如視野范圍、步長(zhǎng)等，提高算法在不同階段的搜索效率。同時(shí)，改進(jìn)魚群的行為策略，如優(yōu)化覓食行為的搜索方式，使其更具針對(duì)性，避免盲目搜索；增強(qiáng)聚群和追尾行為的協(xié)同性，提高魚群在搜索過程中的信息共享和協(xié)作能力，從而提升算法的全局搜索能力和收斂精度。構(gòu)建基于基數(shù)約束的投資組合模型：在Markowitz均值-方差理論的基礎(chǔ)上，充分考慮基數(shù)約束條件，即對(duì)投資組合中資產(chǎn)數(shù)量的限制，構(gòu)建適合本研究的投資組合優(yōu)化模型。明確模型的目標(biāo)函數(shù)，如以投資組合的預(yù)期收益最大化為目標(biāo)，或者以風(fēng)險(xiǎn)最小化為目標(biāo)，同時(shí)考慮資產(chǎn)的權(quán)重約束、預(yù)算約束等其他實(shí)際約束條件。利用數(shù)學(xué)方法對(duì)模型進(jìn)行精確描述和構(gòu)建，為后續(xù)應(yīng)用改進(jìn)的人工魚群算法求解奠定基礎(chǔ)。應(yīng)用改進(jìn)的人工魚群算法求解投資組合模型：將改進(jìn)后的人工魚群算法應(yīng)用于所構(gòu)建的基于基數(shù)約束的投資組合模型中。根據(jù)模型的特點(diǎn)和算法的要求，對(duì)算法進(jìn)行適當(dāng)?shù)膮?shù)設(shè)置和初始化操作。通過算法的迭代搜索，尋找滿足基數(shù)約束條件下的最優(yōu)投資組合方案，即確定投資組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的最優(yōu)權(quán)重分配，使得投資組合在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間達(dá)到最佳平衡。案例分析與對(duì)比實(shí)驗(yàn)：選取實(shí)際的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行案例分析，驗(yàn)證改進(jìn)人工魚群算法在解決基數(shù)約束投資組合問題的有效性和優(yōu)越性。同時(shí)，與其他常見的智能優(yōu)化算法，如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。從算法的收斂速度、解的質(zhì)量、穩(wěn)定性等多個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估和分析，進(jìn)一步說明改進(jìn)后的人工魚群算法在處理此類問題時(shí)的優(yōu)勢(shì)，為投資者提供更可靠的決策依據(jù)。1.3.2研究方法本研究采用了多種研究方法，以確保研究的科學(xué)性和有效性：文獻(xiàn)研究法：通過廣泛查閱國(guó)內(nèi)外關(guān)于人工魚群算法、投資組合理論以及基數(shù)約束投資組合問題的相關(guān)文獻(xiàn)，梳理和總結(jié)前人的研究成果和不足。了解人工魚群算法的發(fā)展歷程、基本原理、改進(jìn)方向，以及投資組合理論的研究現(xiàn)狀和應(yīng)用情況，為本文的研究提供理論基礎(chǔ)和研究思路。對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行深入分析，明確現(xiàn)有研究中存在的問題和空白，從而確定本研究的重點(diǎn)和創(chuàng)新點(diǎn)。模型構(gòu)建法：根據(jù)投資組合理論和基數(shù)約束的實(shí)際需求，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法構(gòu)建基于基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化模型。在構(gòu)建過程中，綜合考慮投資組合的風(fēng)險(xiǎn)、收益、資產(chǎn)數(shù)量限制等因素，確定模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。運(yùn)用線性代數(shù)、概率論等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行精確描述和推導(dǎo)，使其能夠準(zhǔn)確反映實(shí)際投資組合問題的本質(zhì)特征，為后續(xù)的算法求解提供清晰的數(shù)學(xué)框架。實(shí)驗(yàn)分析法：利用實(shí)際的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，將改進(jìn)的人工魚群算法應(yīng)用于所構(gòu)建的投資組合模型中，并與其他算法進(jìn)行對(duì)比。通過設(shè)置不同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)和場(chǎng)景，多次運(yùn)行算法，收集和分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從收斂速度、解的質(zhì)量、穩(wěn)定性等多個(gè)方面對(duì)算法性能進(jìn)行評(píng)估，驗(yàn)證改進(jìn)后的人工魚群算法在解決基數(shù)約束投資組合問題上的優(yōu)勢(shì)和有效性。通過實(shí)驗(yàn)分析，進(jìn)一步優(yōu)化算法參數(shù)和模型設(shè)置，提高算法的實(shí)用性和可靠性。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1人工魚群算法原理2.1.1基本概念人工魚群算法（ArtificialFishSwarmAlgorithm，AFSA）是一種基于動(dòng)物群體智能行為的優(yōu)化算法，其靈感來源于魚群在自然環(huán)境中的覓食、聚群、追尾等行為。在該算法中，將待優(yōu)化問題的解空間視為魚群活動(dòng)的水域，每一個(gè)解都對(duì)應(yīng)一條人工魚。人工魚是真實(shí)魚的抽象化和虛擬化實(shí)體，它封裝了自身數(shù)據(jù)和一系列行為。人工魚的狀態(tài)可以用向量X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)來表示，其中x_i(i=1,2,\cdots,n)為尋優(yōu)的變量，這些變量共同決定了人工魚在解空間中的位置，也就代表了待優(yōu)化問題的一個(gè)潛在解。例如在投資組合問題中，x_i可以表示第i種資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重。視野（Visual）是人工魚能夠感知周圍環(huán)境的范圍。在這個(gè)范圍內(nèi)，人工魚可以獲取其他人工魚的狀態(tài)信息以及目標(biāo)函數(shù)值（即食物濃度）的信息。視野的大小對(duì)算法的性能有著重要影響，當(dāng)視野范圍較小時(shí)，人工魚的覓食行為和隨機(jī)行為比較突出，這有助于算法在局部區(qū)域進(jìn)行細(xì)致的搜索，挖掘潛在的更優(yōu)解；而視野范圍較大時(shí)，人工魚的追尾行為和聚群行為將變得比較突出，使得人工魚能夠快速地獲取全局信息，朝著更優(yōu)的區(qū)域移動(dòng)，但同時(shí)也可能導(dǎo)致算法的復(fù)雜度上升。步長(zhǎng)（Step）指的是人工魚每次移動(dòng)的最大距離。步長(zhǎng)的設(shè)置影響著人工魚在解空間中的搜索速度和精度。固定步長(zhǎng)情況下，隨著步長(zhǎng)的增加，收斂速度在一定范圍內(nèi)會(huì)得到加速，但超過一定范圍后，收斂速度會(huì)減緩，步長(zhǎng)過大時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)震蕩現(xiàn)象，嚴(yán)重影響收斂速度。采用隨機(jī)步長(zhǎng)的方式可以在一定程度上防止震蕩現(xiàn)象的發(fā)生，降低參數(shù)的敏感度，但最快的收斂速度往往還是在采用合適的固定步長(zhǎng)或者變尺度方法時(shí)出現(xiàn)。擁擠度因子（\delta）用于控制魚群的擁擠程度。在求極大值問題中，\delta=1/(\alphan_{max})，\alpha\in(0,1]；在求極小值問題中，\delta=\alphan_{max}，\alpha\in(0,1]，其中\(zhòng)alpha為極值接近水平，n_{max}為期望在該鄰域內(nèi)聚集的最大人工魚數(shù)目。擁擠度因子與鄰域內(nèi)人工魚數(shù)量相結(jié)合，通過影響人工魚是否執(zhí)行追尾和聚群行為，進(jìn)而對(duì)優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生作用。以極大值問題為例，\delta越大，表明允許的擁擠程度越小，人工魚擺脫局部最優(yōu)解的能力越強(qiáng)，但收斂速度會(huì)有所減緩，因?yàn)槿斯~在逼近最優(yōu)解的過程中，會(huì)因避免過分擁擠而隨機(jī)走開或者受其他人工魚的排斥作用，難以精確逼近極值點(diǎn)。2.1.2行為模式覓食行為（Prey）：這是魚趨向食物的一種基本活動(dòng)。在人工魚群算法中，設(shè)人工魚當(dāng)前狀態(tài)為X_i，在其視野范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)狀態(tài)X_j，分別計(jì)算X_i與X_j對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值Y_i與Y_j。若Y_j>Y_i，則人工魚X_i向X_j的方向移動(dòng)一步，移動(dòng)后的位置X_{next}可按下式計(jì)算：X_{next}=X_i+\frac{X_j-X_i}{||X_j-X_i||}\timesStep\timesRand()其中，Rand()為產(chǎn)生0到1之間隨機(jī)數(shù)的函數(shù)。如果重新選擇狀態(tài)X_j，嘗試Trynumber次后，仍不滿足Y_j>Y_i，則執(zhí)行隨機(jī)行為，即隨機(jī)移動(dòng)一步。覓食行為體現(xiàn)了人工魚對(duì)局部區(qū)域的搜索能力，通過不斷嘗試尋找更好的解。聚群行為（Swarm）：魚在游動(dòng)過程中為了保證自身的生存和躲避危害會(huì)自然地聚集成群。人工魚在執(zhí)行聚群行為時(shí)，首先探索當(dāng)前視野內(nèi)（d_{ij}<Visual，d_{ij}表示人工魚i與j之間的距離）的伙伴數(shù)目n_f和中心位置X_c。若\frac{Y_c}{n_f}>\deltaY_i（Y_c為伙伴中心位置X_c的目標(biāo)函數(shù)值，Y_i為當(dāng)前人工魚i的目標(biāo)函數(shù)值），則表明伙伴中心位置狀態(tài)較優(yōu)且不太擁擠，此時(shí)人工魚X_i朝伙伴的中心位置移動(dòng)一步，移動(dòng)公式為：X_{next}=X_i+\frac{X_c-X_i}{||X_c-X_i||}\timesStep\timesRand()否則，執(zhí)行覓食行為。聚群行為有助于魚群的聚集和信息共享，使得人工魚能夠利用群體的信息來尋找更優(yōu)解。追尾行為（Follow）：當(dāng)魚群中的一條或幾條魚發(fā)現(xiàn)食物時(shí)，其臨近的伙伴會(huì)尾隨其快速到達(dá)食物點(diǎn)。在算法中，人工魚X_i搜索當(dāng)前視野內(nèi)（d_{ij}<Visual）的伙伴中目標(biāo)函數(shù)值Y_j最優(yōu)的伙伴X_j。若\frac{Y_j}{n_f}>\deltaY_i，表明最優(yōu)伙伴的周圍不太擁擠，則人工魚X_i朝此伙伴移動(dòng)一步，移動(dòng)公式為：X_{next}=X_i+\frac{X_j-X_i}{||X_j-X_i||}\timesStep\timesRand()否則執(zhí)行覓食行為。追尾行為使得人工魚能夠快速追隨當(dāng)前最優(yōu)解，加快算法的收斂速度。隨機(jī)行為（Move）：?jiǎn)为?dú)的魚在水中通常都是隨機(jī)游動(dòng)的，這是為了更大范圍地尋找食物點(diǎn)或身邊的伙伴。在算法中，人工魚隨機(jī)移動(dòng)一步，到達(dá)一個(gè)新的狀態(tài)，移動(dòng)公式為：X_{next}=X_i+Visual\timesRand()隨機(jī)行為是覓食行為的一個(gè)缺省行為，它增加了種群的多樣性，有助于人工魚跳出局部最優(yōu)解，探索新的解空間。2.1.3算法流程初始化參數(shù)：設(shè)置種群規(guī)模N，即人工魚的數(shù)量；確定每條人工魚的初始位置，這些初始位置在解空間中隨機(jī)生成，以保證算法能夠在整個(gè)解空間進(jìn)行搜索；設(shè)定人工魚的視野Visual、步長(zhǎng)Step、擁擠度因子\delta、重復(fù)次數(shù)Trynumber等參數(shù)。這些參數(shù)的設(shè)置對(duì)算法的性能有著重要影響，需要根據(jù)具體問題進(jìn)行合理調(diào)整。計(jì)算適應(yīng)值：計(jì)算初始魚群中各個(gè)體的適應(yīng)值，適應(yīng)值即目標(biāo)函數(shù)值，它反映了人工魚當(dāng)前位置的優(yōu)劣程度。取最優(yōu)人工魚狀態(tài)及其值賦予給公告牌，公告牌用于記錄每次迭代過程中魚群中的最優(yōu)解。選擇行為：對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià)，并根據(jù)評(píng)價(jià)選擇其要執(zhí)行的行為，包括覓食、聚群、追尾等行為。通常采用試探法，即模擬執(zhí)行各種行為，然后比較執(zhí)行行為后的適應(yīng)值，選擇使適應(yīng)值最優(yōu)的行為來執(zhí)行。如果沒有能使下一個(gè)狀態(tài)優(yōu)于當(dāng)前狀態(tài)的行為，則采用隨機(jī)行為。更新位置：根據(jù)選擇的行為更新人工魚的位置。按照相應(yīng)行為的移動(dòng)公式，計(jì)算人工魚移動(dòng)后的新位置，從而在解空間中進(jìn)行搜索。判斷停止條件：評(píng)價(jià)所有個(gè)體，并更新公告牌上的最優(yōu)解。判斷是否滿足停止條件，如果最優(yōu)解達(dá)到滿意誤差界內(nèi)或者達(dá)到迭代次數(shù)上限，則算法結(jié)束，輸出公告牌上記錄的最優(yōu)解；否則返回步驟3繼續(xù)迭代，直到滿足停止條件為止。2.2基于基數(shù)約束的投資組合理論2.2.1投資組合理論概述現(xiàn)代投資組合理論起源于1952年馬科維茨（Markowitz）發(fā)表的《資產(chǎn)組合選擇》一文，該理論的提出標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的誕生，馬科維茨也因此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。該理論認(rèn)為投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)，不僅僅關(guān)注單個(gè)資產(chǎn)的收益，更注重投資組合的整體收益和風(fēng)險(xiǎn)。投資組合的收益是組合中各資產(chǎn)收益的加權(quán)平均值，而風(fēng)險(xiǎn)則通過投資組合收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來衡量。通過合理配置不同資產(chǎn)的權(quán)重，投資者可以在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下實(shí)現(xiàn)收益最大化，或者在一定收益水平下實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化，這就是均值-方差模型的核心思想。投資組合選擇需要綜合考慮收益和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)關(guān)鍵因素。收益方面，通常用預(yù)期收益率來衡量，它反映了投資者對(duì)投資組合未來收益的期望。預(yù)期收益率是投資組合中各資產(chǎn)預(yù)期收益率的加權(quán)平均值，權(quán)重即為各資產(chǎn)在投資組合中的比例。例如，一個(gè)投資組合包含股票A和股票B，股票A的預(yù)期收益率為10%，權(quán)重為0.6；股票B的預(yù)期收益率為15%，權(quán)重為0.4，則該投資組合的預(yù)期收益率為0.6×10\%+0.4×15\%=12\%。風(fēng)險(xiǎn)方面，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)來源較為復(fù)雜，包括市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)等。在現(xiàn)代投資組合理論中，主要通過方差或標(biāo)準(zhǔn)差來度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明投資組合的收益率波動(dòng)越大，風(fēng)險(xiǎn)也就越高。資產(chǎn)之間的相關(guān)性對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)有著重要影響。當(dāng)資產(chǎn)之間呈現(xiàn)正相關(guān)時(shí)，它們的價(jià)格往往同漲同跌，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效果相對(duì)較弱；而當(dāng)資產(chǎn)之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)時(shí)，它們的價(jià)格變動(dòng)方向相反，能夠在一定程度上相互抵消風(fēng)險(xiǎn)，從而降低投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)股票A和股票B的收益率波動(dòng)情況類似，當(dāng)市場(chǎng)上漲時(shí)，它們的價(jià)格都上升，市場(chǎng)下跌時(shí)，價(jià)格都下降，這種正相關(guān)關(guān)系使得投資組合在市場(chǎng)波動(dòng)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)較大。相反，如果股票A在市場(chǎng)上漲時(shí)表現(xiàn)較好，而股票B在市場(chǎng)下跌時(shí)表現(xiàn)較好，兩者呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，那么將它們組合在一起，就可以在一定程度上平滑投資組合的收益率波動(dòng)，降低風(fēng)險(xiǎn)?，F(xiàn)代投資組合理論的發(fā)展歷程中，眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入研究和拓展。1963年，威廉?夏普（WilliamSharpe）提出了單因素模型，對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化估計(jì)，大大推動(dòng)了投資組合理論在實(shí)踐中的應(yīng)用。該模型認(rèn)為資產(chǎn)的收益率主要受一個(gè)共同因素（如市場(chǎng)指數(shù)）的影響，從而簡(jiǎn)化了投資組合模型的計(jì)算。20世紀(jì)60年代，夏普、林特（JohnLintner）和莫森（JanMossin）分別于1964年、1965年和1966年提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）。CAPM在投資組合理論和資本市場(chǎng)理論的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，主要研究證券市場(chǎng)中資產(chǎn)的預(yù)期收益率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的關(guān)系，以及均衡價(jià)格的形成機(jī)制。它假設(shè)所有投資者都按照馬科維茨的資產(chǎn)選擇理論進(jìn)行投資，對(duì)期望收益、方差和協(xié)方差等的估計(jì)完全相同，投資人可以自由借貸。該模型為投資組合分析、基金績(jī)效評(píng)價(jià)提供了重要的理論基礎(chǔ)，使得投資者能夠更準(zhǔn)確地評(píng)估資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)和收益。1976年，羅斯（StephenRoss）針對(duì)CAPM模型不可檢驗(yàn)性的缺陷，提出了套利定價(jià)理論（APT）模型。APT模型認(rèn)為資產(chǎn)的預(yù)期收益率不僅僅取決于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，還受到多個(gè)因素的影響，如通貨膨脹率、利率、行業(yè)因素等。該模型直接導(dǎo)致了多指數(shù)投資組合分析方法在投資實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用，為投資者提供了更靈活的投資組合構(gòu)建方式。2.2.2基數(shù)約束的含義與作用基數(shù)約束是指在投資組合選擇中，對(duì)投資組合中資產(chǎn)數(shù)量的限制。在實(shí)際投資中，投資者往往由于多種原因，無法對(duì)大量資產(chǎn)進(jìn)行有效管理和分析，因此會(huì)對(duì)投資組合中資產(chǎn)的數(shù)量設(shè)定一定的上限或下限。例如，某投資者由于自身精力有限，無法同時(shí)跟蹤和分析超過10種資產(chǎn)，那么他在構(gòu)建投資組合時(shí)就會(huì)設(shè)置基數(shù)約束，限定投資組合中資產(chǎn)的數(shù)量不超過10種。基數(shù)約束在投資組合中具有多方面的重要作用。從降低風(fēng)險(xiǎn)角度來看，合理的基數(shù)約束有助于分散風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)投資組合中資產(chǎn)數(shù)量過多時(shí)，投資者可能無法充分了解每一種資產(chǎn)的特性和風(fēng)險(xiǎn)，導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)分散效果不佳。而通過設(shè)定基數(shù)約束，投資者可以選擇相關(guān)性較低的資產(chǎn)進(jìn)行組合，從而更有效地分散非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)有100種資產(chǎn)，若投資者不加篩選地全部納入投資組合，由于對(duì)部分資產(chǎn)了解不足，可能會(huì)面臨較大的風(fēng)險(xiǎn)。但如果設(shè)置基數(shù)約束，選擇其中10種相關(guān)性較低的資產(chǎn)，如不同行業(yè)、不同市場(chǎng)的資產(chǎn)，當(dāng)某一行業(yè)或市場(chǎng)出現(xiàn)不利情況時(shí)，其他資產(chǎn)可能不受影響或受到較小影響，從而降低了投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。從降低交易成本角度出發(fā)，交易成本包括手續(xù)費(fèi)、印花稅等，每進(jìn)行一次資產(chǎn)交易都需要支付一定的費(fèi)用。當(dāng)投資組合中資產(chǎn)數(shù)量過多時(shí)，頻繁的買賣操作會(huì)導(dǎo)致交易成本大幅增加。而基數(shù)約束可以減少資產(chǎn)交易的次數(shù)和規(guī)模，從而降低交易成本。例如，若投資者頻繁買賣大量資產(chǎn)，每次交易都需支付一定比例的手續(xù)費(fèi)，長(zhǎng)期下來交易成本將是一筆不小的開支。但如果限定投資組合中資產(chǎn)數(shù)量，投資者可以更集中地管理資產(chǎn)，減少不必要的交易，降低交易成本。基數(shù)約束還可以提高投資決策的效率。投資者的時(shí)間和精力有限，面對(duì)眾多資產(chǎn)，篩選和分析的過程會(huì)耗費(fèi)大量資源。通過設(shè)定基數(shù)約束，投資者可以將注意力集中在少數(shù)資產(chǎn)上，更深入地研究和分析這些資產(chǎn)的基本面、市場(chǎng)趨勢(shì)等信息，從而做出更準(zhǔn)確、更高效的投資決策。例如，在選擇股票進(jìn)行投資時(shí)，若沒有基數(shù)約束，投資者可能需要從數(shù)千只股票中進(jìn)行篩選，這需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力。而設(shè)定基數(shù)約束后，投資者可以將范圍縮小到幾十只股票，更有針對(duì)性地進(jìn)行研究，提高投資決策的效率和質(zhì)量。2.2.3投資組合模型構(gòu)建在構(gòu)建基于基數(shù)約束的投資組合模型時(shí)，首先需要明確目標(biāo)函數(shù)。常見的目標(biāo)函數(shù)包括風(fēng)險(xiǎn)最小化和收益最大化。以風(fēng)險(xiǎn)最小化為例，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)通常用方差來衡量，目標(biāo)函數(shù)可表示為：\min\sigma_p^2=w^T\Sigmaw其中，\sigma_p^2表示投資組合的方差，w是投資組合中各資產(chǎn)的權(quán)重向量，\Sigma是資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣。通過最小化這個(gè)目標(biāo)函數(shù)，可以使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小。若以收益最大化為目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)可表示為：\maxE(R_p)=w^T\mu其中，E(R_p)表示投資組合的預(yù)期收益，\mu是各資產(chǎn)的預(yù)期收益率向量。通過最大化這個(gè)目標(biāo)函數(shù)，可以使投資組合的預(yù)期收益達(dá)到最大。除了目標(biāo)函數(shù)，還需要考慮一系列約束條件?；鶖?shù)約束條件是該模型的關(guān)鍵約束之一，用于限制投資組合中資產(chǎn)的數(shù)量。假設(shè)投資組合中有n種資產(chǎn)，用x_i表示是否投資第i種資產(chǎn)（x_i=1表示投資，x_i=0表示不投資），則基數(shù)約束可以表示為：\sum_{i=1}^{n}x_i\leqK其中，K為設(shè)定的資產(chǎn)數(shù)量上限。例如，若K=10，則表示投資組合中最多只能包含10種資產(chǎn)。權(quán)重約束也是重要的約束條件。投資組合中各資產(chǎn)的權(quán)重w_i需要滿足非負(fù)性和權(quán)重之和為1的條件，即：w_i\geq0,\sum_{i=1}^{n}w_i=1非負(fù)性約束確保投資者不會(huì)賣空資產(chǎn)，權(quán)重之和為1的約束保證了投資組合涵蓋了所有投資資金。此外，還可能存在預(yù)算約束等其他約束條件。預(yù)算約束是指投資者的總投資金額是有限的，假設(shè)投資者的總預(yù)算為B，第i種資產(chǎn)的投資金額為I_i，則預(yù)算約束可表示為：\sum_{i=1}^{n}I_i\leqB這些目標(biāo)函數(shù)和約束條件共同構(gòu)成了基于基數(shù)約束的投資組合模型，通過求解該模型，可以得到滿足基數(shù)約束條件下的最優(yōu)投資組合方案，確定投資組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的最優(yōu)權(quán)重分配，以實(shí)現(xiàn)投資者的投資目標(biāo)。三、人工魚群算法的改進(jìn)策略3.1現(xiàn)有算法的不足分析3.1.1易陷入局部最優(yōu)人工魚群算法在搜索過程中，人工魚的行為主要包括覓食、聚群、追尾和隨機(jī)行為。在實(shí)際應(yīng)用中，該算法容易陷入局部最優(yōu)，這主要與算法的行為模式和參數(shù)設(shè)置有關(guān)。在覓食行為中，人工魚在視野范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估，若該狀態(tài)優(yōu)于當(dāng)前狀態(tài)，則向該方向移動(dòng)。然而，這種隨機(jī)選擇的方式可能導(dǎo)致人工魚在局部區(qū)域內(nèi)徘徊，無法跳出局部最優(yōu)解。當(dāng)人工魚處于一個(gè)局部最優(yōu)的區(qū)域時(shí)，由于其視野范圍內(nèi)的其他狀態(tài)可能都不如當(dāng)前狀態(tài)，人工魚會(huì)不斷地在該局部區(qū)域內(nèi)進(jìn)行搜索，難以發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)解。這就如同在一個(gè)山谷中尋找最低點(diǎn)，魚只在山谷附近尋找，而忽略了其他可能更低的山谷。聚群行為和追尾行為在一定程度上也會(huì)加劇算法陷入局部最優(yōu)的問題。聚群行為使人工魚趨向于聚集在伙伴中心位置，若伙伴中心位置處于局部最優(yōu)區(qū)域，人工魚就會(huì)集中在該區(qū)域，進(jìn)一步強(qiáng)化了局部最優(yōu)解的吸引力。追尾行為中，人工魚追隨視野范圍內(nèi)食物濃度最高的個(gè)體，若該個(gè)體處于局部最優(yōu)解，其他人工魚也會(huì)隨之聚集，導(dǎo)致整個(gè)魚群被困在局部最優(yōu)。在一個(gè)投資組合優(yōu)化問題中，假設(shè)當(dāng)前魚群找到的局部最優(yōu)投資組合方案在某一特定市場(chǎng)環(huán)境下表現(xiàn)較好，魚群通過聚群和追尾行為不斷強(qiáng)化對(duì)該方案的選擇，而忽視了在其他市場(chǎng)環(huán)境下可能更優(yōu)的投資組合方案，從而陷入局部最優(yōu)。此外，人工魚群算法中的參數(shù)設(shè)置，如視野和步長(zhǎng)，對(duì)算法是否陷入局部最優(yōu)也有重要影響。視野范圍決定了人工魚能夠感知的區(qū)域大小，步長(zhǎng)則決定了人工魚每次移動(dòng)的距離。當(dāng)視野范圍較小且步長(zhǎng)較小時(shí)，人工魚的搜索范圍有限，很難跳出局部最優(yōu)解；而當(dāng)視野范圍過大且步長(zhǎng)過大時(shí)，人工魚可能會(huì)跳過全局最優(yōu)解，直接陷入局部最優(yōu)。在一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)優(yōu)化問題中，若視野設(shè)置過小，人工魚只能在很小的鄰域內(nèi)搜索，容易被困在局部極值點(diǎn)；若步長(zhǎng)設(shè)置過大，人工魚在搜索過程中可能會(huì)錯(cuò)過全局最優(yōu)解所在的區(qū)域，導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。3.1.2收斂速度慢人工魚群算法在后期搜索過程中，收斂速度較慢，這主要是由于算法的搜索策略和參數(shù)特性導(dǎo)致的。在算法運(yùn)行初期，人工魚通過隨機(jī)行為和覓食行為在解空間中進(jìn)行廣泛搜索，能夠快速找到一些較好的解，此時(shí)算法的收斂速度相對(duì)較快。隨著搜索的進(jìn)行，魚群逐漸聚集在一些較優(yōu)解附近，此時(shí)算法進(jìn)入后期搜索階段。在后期搜索階段，算法的搜索盲目性較大。人工魚在執(zhí)行覓食行為時(shí)，仍然是在視野范圍內(nèi)隨機(jī)選擇狀態(tài)，這種隨機(jī)選擇方式在解空間中沒有明確的搜索方向，導(dǎo)致搜索效率低下。而且，隨著魚群逐漸聚集，局部區(qū)域內(nèi)的解質(zhì)量差異逐漸減小，人工魚難以通過簡(jiǎn)單的比較找到更優(yōu)的解，進(jìn)一步降低了搜索效率，使得算法的收斂速度變慢。在一個(gè)多峰函數(shù)優(yōu)化問題中，當(dāng)魚群接近某個(gè)局部最優(yōu)解時(shí)，由于局部區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值差異較小，人工魚在覓食行為中隨機(jī)選擇的新狀態(tài)可能與當(dāng)前狀態(tài)的函數(shù)值相近，導(dǎo)致人工魚在該局部區(qū)域內(nèi)反復(fù)搜索，收斂速度大大降低。此外，算法中的步長(zhǎng)和視野等參數(shù)在整個(gè)搜索過程中通常是固定不變的，這也不利于算法后期的收斂。在搜索初期，較大的步長(zhǎng)和視野可以幫助人工魚快速探索解空間，但在后期，當(dāng)魚群接近最優(yōu)解時(shí)，固定的較大步長(zhǎng)可能導(dǎo)致人工魚在最優(yōu)解附近來回振蕩，無法精確逼近最優(yōu)解，從而降低了收斂速度；而固定的較小步長(zhǎng)則會(huì)使人工魚的搜索范圍過小，同樣影響收斂速度。在投資組合優(yōu)化問題中，若步長(zhǎng)固定較大，當(dāng)算法接近最優(yōu)投資組合方案時(shí)，人工魚可能會(huì)在最優(yōu)方案附近頻繁調(diào)整資產(chǎn)權(quán)重，導(dǎo)致投資組合的風(fēng)險(xiǎn)和收益波動(dòng)較大，無法快速收斂到最優(yōu)解；若步長(zhǎng)固定較小，人工魚在后期搜索中可能無法及時(shí)調(diào)整到最優(yōu)的資產(chǎn)權(quán)重組合，延長(zhǎng)了收斂時(shí)間。3.1.3解精度不高人工魚群算法得到的解精度不高，這與算法本身的搜索能力和參數(shù)設(shè)置密切相關(guān)。在搜索能力方面，人工魚群算法雖然具有一定的全局搜索能力，但在局部搜索能力上相對(duì)較弱。在搜索過程中，人工魚主要通過隨機(jī)行為和一些簡(jiǎn)單的行為規(guī)則來探索解空間，缺乏對(duì)局部區(qū)域進(jìn)行深入細(xì)致搜索的機(jī)制。當(dāng)算法接近最優(yōu)解時(shí)，無法對(duì)最優(yōu)解所在的局部區(qū)域進(jìn)行精細(xì)化搜索，導(dǎo)致得到的解與全局最優(yōu)解之間存在一定的誤差。在參數(shù)設(shè)置方面，如擁擠度因子、步長(zhǎng)和視野等參數(shù)對(duì)解精度有重要影響。擁擠度因子用于控制魚群的擁擠程度，當(dāng)擁擠度因子設(shè)置不合理時(shí)，可能導(dǎo)致魚群過于擁擠或過于分散，影響算法的搜索效果。若擁擠度因子過大，魚群過于分散，人工魚之間的信息交流和協(xié)作減少，難以充分利用群體的智慧找到更優(yōu)解；若擁擠度因子過小，魚群過于擁擠，容易陷入局部最優(yōu)，同樣無法提高解的精度。步長(zhǎng)和視野參數(shù)也會(huì)影響解精度。步長(zhǎng)決定了人工魚每次移動(dòng)的距離，視野決定了人工魚的感知范圍。當(dāng)步長(zhǎng)過大時(shí)，人工魚在搜索過程中可能會(huì)跳過最優(yōu)解所在的區(qū)域，導(dǎo)致解精度降低；當(dāng)視野過大時(shí)，人工魚獲取的信息過于寬泛，難以聚焦到局部最優(yōu)解，同樣不利于提高解精度。在一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)優(yōu)化問題中，若步長(zhǎng)設(shè)置過大，人工魚在接近最優(yōu)解時(shí)，可能會(huì)因?yàn)橐淮我苿?dòng)距離過大而錯(cuò)過最優(yōu)解，只能得到一個(gè)近似解；若視野設(shè)置過大，人工魚在搜索過程中會(huì)受到過多無關(guān)信息的干擾，無法準(zhǔn)確判斷最優(yōu)解的位置，從而降低解的精度。綜上所述，人工魚群算法在解決實(shí)際問題時(shí)存在易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢和解精度不高的問題，需要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，以提高算法的性能和應(yīng)用效果。3.2改進(jìn)思路與方法3.2.1基于參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的改進(jìn)在標(biāo)準(zhǔn)人工魚群算法中，視野、步長(zhǎng)和擁擠度因子等參數(shù)通常在算法運(yùn)行前就固定設(shè)置，然而這種固定參數(shù)的方式難以適應(yīng)復(fù)雜多變的解空間和不同的搜索階段，導(dǎo)致算法在搜索過程中容易陷入局部最優(yōu)，收斂速度和精度也受到限制。為了克服這些問題，本研究提出基于參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的改進(jìn)策略，使算法能夠根據(jù)搜索進(jìn)程動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)，從而提高搜索效率和尋優(yōu)能力。對(duì)于視野參數(shù)，在算法初始階段，設(shè)置較大的視野范圍，這樣人工魚能夠在更廣闊的解空間中進(jìn)行搜索，有利于發(fā)現(xiàn)潛在的全局最優(yōu)解區(qū)域。隨著迭代的進(jìn)行，逐漸減小視野范圍，使人工魚能夠更專注于局部區(qū)域的精細(xì)搜索，提高收斂精度。例如，可以采用指數(shù)衰減的方式來調(diào)整視野，設(shè)初始視野為Visual_0，衰減因子為\alpha（0\lt\alpha\lt1），迭代次數(shù)為t，則第t次迭代時(shí)的視野Visual_t為：Visual_t=Visual_0\times\alpha^t。在解決復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問題時(shí)，初始階段較大的視野可以幫助人工魚快速定位到全局最優(yōu)解所在的大致區(qū)域，而后期逐漸減小的視野則能使人工魚在該區(qū)域內(nèi)進(jìn)行更細(xì)致的搜索，避免錯(cuò)過最優(yōu)解。步長(zhǎng)參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整同樣重要。在搜索初期，為了加快搜索速度，擴(kuò)大搜索范圍，設(shè)置較大的步長(zhǎng)，使人工魚能夠快速遍歷解空間。當(dāng)算法接近最優(yōu)解時(shí)，減小步長(zhǎng)，以提高解的精度，避免在最優(yōu)解附近來回振蕩?？梢愿鶕?jù)魚群的適應(yīng)度值變化情況來調(diào)整步長(zhǎng)。若連續(xù)多次迭代中，魚群的最優(yōu)適應(yīng)度值沒有明顯變化，說明算法可能在最優(yōu)解附近振蕩，此時(shí)減小步長(zhǎng)；若最優(yōu)適應(yīng)度值持續(xù)改善，則適當(dāng)增大步長(zhǎng)，加快搜索速度。設(shè)當(dāng)前步長(zhǎng)為Step，調(diào)整因子為\beta，當(dāng)滿足減小步長(zhǎng)條件時(shí)，Step=Step\times\beta（0\lt\beta\lt1）；當(dāng)滿足增大步長(zhǎng)條件時(shí)，Step=Step\div\beta。在投資組合優(yōu)化中，初期較大的步長(zhǎng)可以使人工魚快速嘗試不同的資產(chǎn)配置組合，而后期較小的步長(zhǎng)則能更精確地調(diào)整資產(chǎn)權(quán)重，找到最優(yōu)的投資組合方案。擁擠度因子用于控制魚群的擁擠程度，對(duì)算法的收斂性和跳出局部最優(yōu)的能力有重要影響。在搜索初期，為了鼓勵(lì)魚群的分散搜索，提高種群的多樣性，設(shè)置較小的擁擠度因子，使人工魚更容易進(jìn)行聚群和追尾行為，快速向較優(yōu)區(qū)域聚集。隨著迭代的推進(jìn)，逐漸增大擁擠度因子，增強(qiáng)人工魚的獨(dú)立搜索能力，避免魚群過度擁擠導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。例如，在算法開始時(shí)，設(shè)擁擠度因子為\delta_0，隨著迭代次數(shù)t的增加，按照公式\delta_t=\delta_0+(1-\delta_0)\times\frac{t}{T}（T為最大迭代次數(shù)）來調(diào)整擁擠度因子。在函數(shù)優(yōu)化問題中，初期較小的擁擠度因子能使人工魚迅速聚集到較優(yōu)解附近，而后期增大的擁擠度因子則能促使部分人工魚跳出局部最優(yōu)區(qū)域，繼續(xù)尋找更優(yōu)解。通過上述參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，人工魚群算法能夠根據(jù)搜索進(jìn)程自動(dòng)調(diào)整參數(shù)，在不同階段發(fā)揮不同參數(shù)設(shè)置的優(yōu)勢(shì)，從而提高算法的搜索能力和收斂速度，更有效地解決復(fù)雜的優(yōu)化問題。3.2.2引入新的搜索機(jī)制為了幫助人工魚群算法跳出局部最優(yōu)，提高算法的全局搜索能力，本研究引入混沌搜索和模擬退火等新的搜索機(jī)制?；煦缡且环N確定性的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，具有隨機(jī)性、遍歷性和對(duì)初始條件的敏感性等特點(diǎn)?；煦缢阉骼没煦缧蛄械倪@些特性，在解空間中進(jìn)行全局搜索，能夠有效地避免算法陷入局部最優(yōu)。在人工魚群算法中引入混沌搜索機(jī)制，具體步驟如下：在算法的搜索過程中，當(dāng)人工魚陷入局部最優(yōu)時(shí)，利用混沌映射生成混沌序列，如常用的Logistic映射：x_{n+1}=\mux_n(1-x_n)，其中\(zhòng)mu為控制參數(shù)，取值范圍為[3.5699456,4]，x_n為混沌變量，初始值x_0在(0,1)范圍內(nèi)隨機(jī)選取。通過混沌序列對(duì)人工魚的位置進(jìn)行擾動(dòng)，使人工魚跳出當(dāng)前的局部最優(yōu)區(qū)域，進(jìn)入新的搜索空間。在解決高維函數(shù)優(yōu)化問題時(shí)，當(dāng)人工魚群算法陷入局部最優(yōu)時(shí)，利用混沌搜索對(duì)人工魚的位置進(jìn)行擾動(dòng)，能夠使算法重新探索新的區(qū)域，有更大的機(jī)會(huì)找到全局最優(yōu)解。模擬退火算法是一種基于物理退火過程的隨機(jī)搜索算法，它能夠在一定程度上接受惡化解，從而跳出局部最優(yōu)。其基本思想是在初始高溫下，系統(tǒng)具有較高的能量，能夠在較大的解空間內(nèi)進(jìn)行搜索，隨著溫度的逐漸降低，系統(tǒng)的能量也逐漸降低，搜索范圍逐漸縮小，最終收斂到全局最優(yōu)解。在人工魚群算法中引入模擬退火機(jī)制，當(dāng)人工魚執(zhí)行完覓食、聚群和追尾行為后，以一定的概率接受一個(gè)惡化解。設(shè)當(dāng)前人工魚的位置為X_i，適應(yīng)度值為f(X_i)，經(jīng)過某種行為后得到新位置X_j，適應(yīng)度值為f(X_j)，若f(X_j)\ltf(X_i)，則以概率P=\exp(\frac{f(X_i)-f(X_j)}{T})接受新位置，其中T為當(dāng)前溫度。溫度T隨著迭代的進(jìn)行按照一定的降溫策略逐漸降低，如采用指數(shù)降溫策略：T_{k+1}=\alphaT_k，其中\(zhòng)alpha為降溫系數(shù)，取值范圍為(0,1)，k為迭代次數(shù)。在解決投資組合問題時(shí)，引入模擬退火機(jī)制可以使人工魚在搜索過程中，即使遇到暫時(shí)的惡化解，也有一定概率接受并繼續(xù)探索，從而避免陷入局部最優(yōu)，找到更優(yōu)的投資組合方案。通過引入混沌搜索和模擬退火等新的搜索機(jī)制，人工魚群算法能夠更好地跳出局部最優(yōu)，增強(qiáng)全局搜索能力，提高算法的性能和尋優(yōu)精度，使其在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)更加有效。3.2.3改進(jìn)魚群行為規(guī)則覓食行為改進(jìn)：在標(biāo)準(zhǔn)人工魚群算法的覓食行為中，人工魚在視野范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估，這種方式具有較大的盲目性，容易導(dǎo)致搜索效率低下。本研究對(duì)覓食行為進(jìn)行改進(jìn)，采用基于信息素引導(dǎo)的覓食策略。在解空間中，引入信息素的概念，信息素代表著該區(qū)域解的質(zhì)量信息。人工魚在覓食時(shí)，優(yōu)先選擇信息素濃度高的區(qū)域進(jìn)行搜索。例如，在投資組合問題中，將歷史上表現(xiàn)較好的投資組合方案所在區(qū)域的信息素濃度設(shè)置較高。設(shè)當(dāng)前人工魚位置為X_i，其視野范圍內(nèi)的狀態(tài)集合為S，對(duì)于狀態(tài)X_j\inS，計(jì)算其信息素濃度p(X_j)。人工魚按照概率P(X_j)=\frac{p(X_j)}{\sum_{X_k\inS}p(X_k)}選擇下一個(gè)搜索狀態(tài)X_j。如果新狀態(tài)X_j的食物濃度（目標(biāo)函數(shù)值）比當(dāng)前狀態(tài)X_i好，則向該方向移動(dòng)一步；否則，按照一定概率重新選擇狀態(tài)，嘗試一定次數(shù)后若仍未找到更好的狀態(tài)，則執(zhí)行隨機(jī)行為。這樣可以使人工魚更有針對(duì)性地進(jìn)行搜索，提高搜索效率，更快地找到較優(yōu)解。聚群行為改進(jìn)：標(biāo)準(zhǔn)人工魚群算法的聚群行為中，人工魚僅根據(jù)伙伴中心位置的食物濃度和擁擠程度來決定是否聚群，這種方式缺乏對(duì)魚群整體分布情況的考慮。本研究改進(jìn)聚群行為，使人工魚在聚群時(shí)不僅考慮伙伴中心位置的信息，還考慮魚群在解空間中的分布均勻性。當(dāng)人工魚探索當(dāng)前視野內(nèi)的伙伴數(shù)目n_f和中心位置X_c時(shí)，計(jì)算伙伴中心位置的食物濃度Y_c和當(dāng)前人工魚的食物濃度Y_i，同時(shí)計(jì)算魚群在當(dāng)前區(qū)域的分布方差\sigma^2。若\frac{Y_c}{n_f}>\deltaY_i且\sigma^2在合理范圍內(nèi)（表明魚群分布不過于集中或分散），則朝伙伴的中心位置移動(dòng)一步；否則，根據(jù)當(dāng)前魚群的分布情況，選擇一個(gè)更有利于魚群分散搜索的方向進(jìn)行移動(dòng)。在一個(gè)多峰函數(shù)優(yōu)化問題中，當(dāng)魚群在某個(gè)局部區(qū)域聚集過多時(shí)，改進(jìn)后的聚群行為可以引導(dǎo)部分人工魚向其他區(qū)域移動(dòng)，避免魚群過度集中在局部最優(yōu)區(qū)域，提高算法的全局搜索能力。追尾行為改進(jìn)：在標(biāo)準(zhǔn)的追尾行為中，人工魚只是簡(jiǎn)單地追隨視野范圍內(nèi)食物濃度最高的個(gè)體，容易導(dǎo)致魚群迅速收斂到局部最優(yōu)解。本研究對(duì)追尾行為進(jìn)行改進(jìn)，引入動(dòng)態(tài)權(quán)重的概念。人工魚在選擇追隨對(duì)象時(shí)，不僅考慮其食物濃度，還考慮該個(gè)體與自身的距離以及其在歷史搜索過程中的表現(xiàn)。設(shè)當(dāng)前人工魚為X_i，視野范圍內(nèi)食物濃度最高的個(gè)體為X_j，計(jì)算X_j與X_i的距離d(X_i,X_j)，以及X_j在歷史搜索過程中的平均適應(yīng)度提升率r(X_j)。定義一個(gè)動(dòng)態(tài)權(quán)重w，w=\alpha\frac{Y_j}{Y_i}+\beta\frac{1}{d(X_i,X_j)}+\gammar(X_j)，其中\(zhòng)alpha、\beta、\gamma為權(quán)重系數(shù)，且\alpha+\beta+\gamma=1。人工魚按照權(quán)重w的大小決定是否追隨X_j以及追隨的程度。當(dāng)w大于某個(gè)閾值時(shí)，人工魚朝X_j移動(dòng)一步；否則，執(zhí)行其他行為。在解決投資組合問題時(shí)，這種改進(jìn)后的追尾行為可以使人工魚更加理性地選擇追隨對(duì)象，避免盲目追隨局部最優(yōu)個(gè)體，從而提高算法的尋優(yōu)能力，找到更優(yōu)的投資組合方案。通過對(duì)魚群行為規(guī)則的改進(jìn)，能夠增強(qiáng)人工魚群算法的尋優(yōu)能力，使其在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)更出色。3.3改進(jìn)算法的實(shí)現(xiàn)步驟初始化參數(shù)：設(shè)置種群規(guī)模N，即人工魚的數(shù)量，種群規(guī)模的大小會(huì)影響算法的搜索能力和計(jì)算效率，一般根據(jù)問題的復(fù)雜程度和計(jì)算資源來確定合適的種群規(guī)模。隨機(jī)生成每條人工魚的初始位置，這些初始位置在解空間中均勻分布，以保證算法能夠充分探索解空間。設(shè)定初始視野Visual_0、初始步長(zhǎng)Step_0、初始擁擠度因子\delta_0、重復(fù)次數(shù)Trynumber等參數(shù)，并確定參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的相關(guān)系數(shù)，如視野衰減因子\alpha、步長(zhǎng)調(diào)整因子\beta等。計(jì)算適應(yīng)值：計(jì)算初始魚群中各個(gè)體的適應(yīng)值，適應(yīng)值根據(jù)投資組合模型的目標(biāo)函數(shù)來計(jì)算，如在風(fēng)險(xiǎn)最小化模型中，適應(yīng)值為投資組合的方差；在收益最大化模型中，適應(yīng)值為投資組合的預(yù)期收益。將最優(yōu)人工魚狀態(tài)及其值賦予給公告牌，公告牌用于記錄每次迭代過程中魚群中的最優(yōu)解，為后續(xù)的搜索提供參考。參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整：根據(jù)當(dāng)前迭代次數(shù)t，按照參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略更新視野Visual_t、步長(zhǎng)Step_t和擁擠度因子\delta_t。如視野按照Visual_t=Visual_0\times\alpha^t進(jìn)行衰減，步長(zhǎng)根據(jù)魚群適應(yīng)度值變化情況進(jìn)行調(diào)整，擁擠度因子按照\(chéng)delta_t=\delta_0+(1-\delta_0)\times\frac{t}{T}（T為最大迭代次數(shù)）進(jìn)行調(diào)整，使算法能夠根據(jù)搜索進(jìn)程動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)，提高搜索效率。選擇行為：對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià)，根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果選擇其要執(zhí)行的行為。首先，按照改進(jìn)后的覓食行為規(guī)則，計(jì)算視野范圍內(nèi)各狀態(tài)的信息素濃度，人工魚按照概率P(X_j)=\frac{p(X_j)}{\sum_{X_k\inS}p(X_k)}選擇下一個(gè)搜索狀態(tài)X_j，若X_j的食物濃度（目標(biāo)函數(shù)值）比當(dāng)前狀態(tài)X_i好，則向該方向移動(dòng)一步；否則，按照一定概率重新選擇狀態(tài)，嘗試Trynumber次后若仍未找到更好的狀態(tài)，則執(zhí)行隨機(jī)行為。接著，按照改進(jìn)后的聚群行為規(guī)則，計(jì)算伙伴中心位置的食物濃度Y_c、當(dāng)前人工魚的食物濃度Y_i以及魚群在當(dāng)前區(qū)域的分布方差\sigma^2，若\frac{Y_c}{n_f}>\deltaY_i且\sigma^2在合理范圍內(nèi)，則朝伙伴的中心位置移動(dòng)一步；否則，根據(jù)當(dāng)前魚群的分布情況，選擇一個(gè)更有利于魚群分散搜索的方向進(jìn)行移動(dòng)。然后，按照改進(jìn)后的追尾行為規(guī)則，計(jì)算視野范圍內(nèi)食物濃度最高的個(gè)體X_j與自身的距離d(X_i,X_j)，以及X_j在歷史搜索過程中的平均適應(yīng)度提升率r(X_j)，定義動(dòng)態(tài)權(quán)重w=\alpha\frac{Y_j}{Y_i}+\beta\frac{1}{d(X_i,X_j)}+\gammar(X_j)（\alpha、\beta、\gamma為權(quán)重系數(shù)，且\alpha+\beta+\gamma=1），當(dāng)w大于某個(gè)閾值時(shí)，人工魚朝X_j移動(dòng)一步；否則，執(zhí)行其他行為。如果沒有能使下一個(gè)狀態(tài)優(yōu)于當(dāng)前狀態(tài)的行為，則采用隨機(jī)行為。更新位置：根據(jù)選擇的行為更新人工魚的位置。按照相應(yīng)行為的移動(dòng)公式，計(jì)算人工魚移動(dòng)后的新位置。在更新位置時(shí)，需要確保新位置在解空間的可行范圍內(nèi)，若超出可行范圍，則進(jìn)行調(diào)整或重新選擇位置。引入新搜索機(jī)制：當(dāng)人工魚陷入局部最優(yōu)時(shí)，利用混沌映射生成混沌序列，如常用的Logistic映射：x_{n+1}=\mux_n(1-x_n)（\mu為控制參數(shù)，取值范圍為[3.5699456,4]，x_n為混沌變量，初始值x_0在(0,1)范圍內(nèi)隨機(jī)選取），通過混沌序列對(duì)人工魚的位置進(jìn)行擾動(dòng)，使人工魚跳出當(dāng)前的局部最優(yōu)區(qū)域，進(jìn)入新的搜索空間。當(dāng)人工魚執(zhí)行完覓食、聚群和追尾行為后，以一定的概率接受一個(gè)惡化解。設(shè)當(dāng)前人工魚的位置為X_i，適應(yīng)度值為f(X_i)，經(jīng)過某種行為后得到新位置X_j，適應(yīng)度值為f(X_j)，若f(X_j)\ltf(X_i)，則以概率P=\exp(\frac{f(X_i)-f(X_j)}{T})接受新位置，其中T為當(dāng)前溫度，溫度T隨著迭代的進(jìn)行按照指數(shù)降溫策略：T_{k+1}=\alphaT_k（\alpha為降溫系數(shù)，取值范圍為(0,1)，k為迭代次數(shù)）逐漸降低。判斷停止條件：評(píng)價(jià)所有個(gè)體，并更新公告牌上的最優(yōu)解。判斷是否滿足停止條件，如果最優(yōu)解達(dá)到滿意誤差界內(nèi)或者達(dá)到迭代次數(shù)上限，則算法結(jié)束，輸出公告牌上記錄的最優(yōu)解，即滿足基數(shù)約束條件下的最優(yōu)投資組合方案，包括投資組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的最優(yōu)權(quán)重分配；否則返回步驟3繼續(xù)迭代，直到滿足停止條件為止。四、改進(jìn)人工魚群算法在投資組合中的應(yīng)用4.1應(yīng)用模型構(gòu)建4.1.1目標(biāo)函數(shù)設(shè)定在基于基數(shù)約束的投資組合中，目標(biāo)函數(shù)的設(shè)定是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它直接反映了投資者的投資目標(biāo)和偏好。常見的目標(biāo)函數(shù)包括最大化收益和最小化風(fēng)險(xiǎn)，本研究將分別對(duì)這兩種目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行探討。最大化收益目標(biāo)函數(shù)：投資組合的預(yù)期收益是投資者關(guān)注的重要指標(biāo)之一。設(shè)投資組合中有n種資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率為r_i，投資組合中第i種資產(chǎn)的權(quán)重為w_i，則投資組合的預(yù)期收益E(R_p)可以表示為：E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}w_ir_i投資者的目標(biāo)是通過合理調(diào)整資產(chǎn)權(quán)重w_i，使得投資組合的預(yù)期收益E(R_p)達(dá)到最大化，即目標(biāo)函數(shù)為：\maxE(R_p)=\sum_{i=1}^{n}w_ir_i最小化風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)函數(shù)：投資組合的風(fēng)險(xiǎn)也是投資者必須考慮的重要因素。在現(xiàn)代投資組合理論中，通常用投資組合收益率的方差來衡量風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)投資組合收益率的方差為\sigma_p^2，資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣為\Sigma，其中\(zhòng)Sigma_{ij}表示第i種資產(chǎn)和第j種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差，則投資組合收益率的方差\sigma_p^2可以表示為：\sigma_p^2=w^T\Sigmaw=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_iw_j\Sigma_{ij}投資者的目標(biāo)是通過優(yōu)化資產(chǎn)權(quán)重w_i，使得投資組合收益率的方差\sigma_p^2最小化，即目標(biāo)函數(shù)為：\min\sigma_p^2=w^T\Sigmaw=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_iw_j\Sigma_{ij}在實(shí)際投資中，投資者往往需要在收益和風(fēng)險(xiǎn)之間進(jìn)行權(quán)衡，因此可以將最大化收益和最小化風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性組合，形成一個(gè)綜合目標(biāo)函數(shù)。設(shè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為\lambda，\lambda\in[0,1]，它反映了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度，\lambda越大，表明投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)。則綜合目標(biāo)函數(shù)可以表示為：Z=\lambda\sum_{i=1}^{n}w_ir_i-(1-\lambda)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_iw_j\Sigma_{ij}投資者通過調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)\lambda，可以根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，在收益和風(fēng)險(xiǎn)之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)投資組合的最優(yōu)化。例如，風(fēng)險(xiǎn)偏好較高的投資者可以將\lambda設(shè)置得較小，更側(cè)重于追求高收益；而風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者則可以將\lambda設(shè)置得較大，更注重風(fēng)險(xiǎn)的控制。4.1.2約束條件確定基數(shù)約束：基數(shù)約束是基于基數(shù)約束的投資組合模型的關(guān)鍵約束條件，它限制了投資組合中資產(chǎn)的數(shù)量。設(shè)投資組合中有n種資產(chǎn)，用x_i表示是否投資第i種資產(chǎn)（x_i=1表示投資，x_i=0表示不投資），則基數(shù)約束可以表示為：\sum_{i=1}^{n}x_i\leqK其中，K為設(shè)定的資產(chǎn)數(shù)量上限。例如，若K=8，則表示投資組合中最多只能包含8種資產(chǎn)?；鶖?shù)約束的存在，使得投資者在構(gòu)建投資組合時(shí)，需要在有限的資產(chǎn)選擇范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，這增加了投資組合構(gòu)建的難度，但也更符合實(shí)際投資情況，有助于投資者集中精力管理和分析有限的資產(chǎn)，降低投資管理成本。權(quán)重約束：投資組合中各資產(chǎn)的權(quán)重w_i需要滿足非負(fù)性和權(quán)重之和為1的條件。非負(fù)性約束w_i\geq0確保投資者不會(huì)賣空資產(chǎn)，這是基于現(xiàn)實(shí)投資中大多數(shù)投資者不具備賣空資格或不愿意賣空資產(chǎn)的情況設(shè)定的。權(quán)重之和為1的約束\sum_{i=1}^{n}w_i=1保證了投資組合涵蓋了所有投資資金，即投資者將全部資金分配到投資組合中的資產(chǎn)上。例如，若投資組合中有三種資產(chǎn)，權(quán)重分別為w_1、w_2和w_3，則w_1\geq0，w_2\geq0，w_3\geq0，且w_1+w_2+w_3=1。風(fēng)險(xiǎn)約束：為了控制投資組合的風(fēng)險(xiǎn)水平，需要引入風(fēng)險(xiǎn)約束條件。常見的風(fēng)險(xiǎn)約束可以是投資組合收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差不超過某個(gè)設(shè)定的閾值。設(shè)投資組合收益率的方差為\sigma_p^2，投資者設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)閾值為\sigma_0^2，則風(fēng)險(xiǎn)約束可以表示為：\sigma_p^2=w^T\Sigmaw=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_iw_j\Sigma_{ij}\leq\sigma_0^2通過設(shè)置風(fēng)險(xiǎn)約束，投資者可以確保投資組合的風(fēng)險(xiǎn)在可承受的范圍內(nèi)，避免過度承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。例如，若投資者設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)閾值\sigma_0^2=0.05，則投資組合的方差\sigma_p^2必須小于或等于0.05，以滿足投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的控制要求。預(yù)算約束：在實(shí)際投資中，投資者的總投資金額是有限的，這就需要考慮預(yù)算約束條件。假設(shè)投資者的總預(yù)算為B，第i種資產(chǎn)的投資金額為I_i，則預(yù)算約束可表示為：\sum_{i=1}^{n}I_i\leqB由于I_i=w_i\timesB（假設(shè)投資組合的總價(jià)值等于總預(yù)算B），則預(yù)算約束也可以表示為：\sum_{i=1}^{n}w_i\leq1這與前面的權(quán)重約束中權(quán)重之和為1的條件相呼應(yīng)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了投資組合的資金分配不能超過總預(yù)算。這些約束條件共同構(gòu)成了基于基數(shù)約束的投資組合模型的約束體系，它們相互關(guān)聯(lián)、相互制約，確保了投資組合的構(gòu)建既符合投資者的實(shí)際需求和限制，又能在一定的風(fēng)險(xiǎn)和收益框架內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，為投資者提供合理的投資決策依據(jù)。4.1.3模型求解思路運(yùn)用改進(jìn)人工魚群算法求解基于基數(shù)約束的投資組合模型，主要思路是將投資組合模型的解空間映射為人工魚群算法中的魚群活動(dòng)空間，通過人工魚在解空間中的搜索和優(yōu)化，找到滿足基數(shù)約束及其他約束條件下的最優(yōu)投資組合方案。在這個(gè)過程中，人工魚的狀態(tài)表示投資組合中各資產(chǎn)的權(quán)重向量w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)，初始時(shí)，隨機(jī)生成一定數(shù)量的人工魚，使其均勻分布在解空間中，每個(gè)人工魚代表一個(gè)可能的投資組合方案。然后，根據(jù)投資組合模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，計(jì)算每條人工魚的適應(yīng)度值。適應(yīng)度值反映了該人工魚所代表的投資組合方案的優(yōu)劣程度，對(duì)于以最大化收益為目標(biāo)的函數(shù)，適應(yīng)度值可以直接取投資組合的預(yù)期收益；對(duì)于以最小化風(fēng)險(xiǎn)為目標(biāo)的函數(shù)，適應(yīng)度值可以取投資組合收益率方差的倒數(shù)（方差越小，倒數(shù)越大，適應(yīng)度越高）；對(duì)于綜合目標(biāo)函數(shù)，則根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式計(jì)算適應(yīng)度值。接著，改進(jìn)的人工魚群算法按照其優(yōu)化后的行為規(guī)則進(jìn)行迭代搜索。在覓食行為中，人工魚基于信息素引導(dǎo)，優(yōu)先選擇信息素濃度高的區(qū)域進(jìn)行搜索，以提高搜索的針對(duì)性和效率。在聚群行為中，人工魚不僅考慮伙伴中心位置的食物濃度和擁擠程度，還考慮魚群在解空間中的分布均勻性，避免魚群過度集中在局部最優(yōu)區(qū)域，增強(qiáng)全局搜索能力。在追尾行為中，引入動(dòng)態(tài)權(quán)重的概念，人工魚根據(jù)目標(biāo)個(gè)體的食物濃度、與自身的距離以及其在歷史搜索過程中的表現(xiàn)來決定是否追隨以及追隨的程度，使追尾行為更加理性和有效。在迭代過程中，還會(huì)根據(jù)搜索進(jìn)程動(dòng)態(tài)調(diào)整算法的參數(shù)，如視野、步長(zhǎng)和擁擠度因子。在搜索初期，設(shè)置較大的視野和步長(zhǎng)，以擴(kuò)大搜索范圍，快速找到潛在的較優(yōu)區(qū)域；隨著迭代的進(jìn)行，逐漸減小視野和步長(zhǎng)，使人工魚能夠更專注于局部區(qū)域的精細(xì)搜索，提高收斂精度。同時(shí)，根據(jù)魚群的適應(yīng)度值變化情況，適時(shí)調(diào)整擁擠度因子，以平衡魚群的分散和聚集程度，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力。當(dāng)人工魚陷入局部最優(yōu)時(shí)，利用混沌搜索和模擬退火等新的搜索機(jī)制幫助其跳出局部最優(yōu)?；煦缢阉骼没煦缧蛄械碾S機(jī)性和遍歷性，對(duì)人工魚的位置進(jìn)行擾動(dòng)，使其進(jìn)入新的搜索空間；模擬退火則以一定的概率接受惡化解，從而跳出局部最優(yōu)解。在整個(gè)迭代過程中，不斷更新公告牌上的最優(yōu)解，記錄魚群在搜索過程中找到的最優(yōu)投資組合方案。當(dāng)滿足停止條件，如最優(yōu)解達(dá)到滿意誤差界內(nèi)或者達(dá)到迭代次數(shù)上限時(shí)，算法結(jié)束，輸出公告牌上記錄的最優(yōu)解，即得到滿足基數(shù)約束條件下的最優(yōu)投資組合方案，包括投資組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的最優(yōu)權(quán)重分配，為投資者提供了在給定約束條件下實(shí)現(xiàn)投資目標(biāo)的最佳策略。4.2案例分析4.2.1數(shù)據(jù)來源與預(yù)處理本案例分析選取了中國(guó)A股市場(chǎng)中某一時(shí)間段內(nèi)的50只股票作為研究對(duì)象，數(shù)據(jù)來源于知名金融數(shù)據(jù)提供商萬得（Wind）數(shù)據(jù)庫。該數(shù)據(jù)庫提供了豐富的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，包括股票的歷史價(jià)格、成交量、財(cái)務(wù)報(bào)表等信息，具有數(shù)據(jù)全面、準(zhǔn)確、更新及時(shí)等特點(diǎn)，能夠?yàn)橥顿Y組合研究提供可靠的數(shù)據(jù)支持。在獲取數(shù)據(jù)后，需要對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量，確保后續(xù)分析的準(zhǔn)確性和可靠性。數(shù)據(jù)清洗是預(yù)處理的重要環(huán)節(jié)，主要檢查數(shù)據(jù)中是否存在缺失值和異常值。對(duì)于存在缺失值的樣本，如果缺失值較少，采用均值填充法，即根據(jù)該股票歷史數(shù)據(jù)的均值來填充缺失值；若缺失值較多，則直接刪除該樣本。在檢查異常值時(shí)，通過設(shè)定合理的價(jià)格和成交量波動(dòng)范圍來識(shí)別異常數(shù)據(jù)點(diǎn)。例如，若某股票的日漲幅超過20%（正常交易漲跌幅限制為10%，排除特殊情況），則判斷該數(shù)據(jù)點(diǎn)可能為異常值，進(jìn)一步核實(shí)后，若確為錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，采用前后相鄰數(shù)據(jù)的平均值進(jìn)行修正。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化也是關(guān)鍵步驟，由于不同股票的價(jià)格和收益率等數(shù)據(jù)具有不同的量綱和取值范圍，為了使數(shù)據(jù)具有可比性，采用Z-score標(biāo)準(zhǔn)化方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。對(duì)于數(shù)據(jù)集X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}，其中x_i為第i個(gè)樣本的特征值，標(biāo)準(zhǔn)化后的特征值x_i^*計(jì)算公式為：x_i^*=\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma}其中，\overline{x}為數(shù)據(jù)集X的均值，\sigma為數(shù)據(jù)集X的標(biāo)準(zhǔn)差。通過標(biāo)準(zhǔn)化處理，將不同股票的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)據(jù)，消除了量綱和取值范圍的影響，使改進(jìn)人工魚群算法在處理數(shù)據(jù)時(shí)能夠更加公平地對(duì)待各個(gè)股票的特征，提高算法的性能和準(zhǔn)確性。4.2.2算法參數(shù)設(shè)置在將改進(jìn)人工魚群算法應(yīng)用于基于基數(shù)約束的投資組合模型時(shí)，合理設(shè)置算法參數(shù)至關(guān)重要。通過多次實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，確定了以下參數(shù)值：種群規(guī)模設(shè)置為50，即人工魚的數(shù)量為50條。較大的種群規(guī)?？梢栽黾铀惴ㄔ诮饪臻g中的搜索范圍，提高找到全局最優(yōu)解的概率，但同時(shí)也會(huì)增加計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間；較小的種群規(guī)模則計(jì)算速度較快，但可能會(huì)導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)解。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)對(duì)比，50條人工魚能夠在計(jì)算效率和搜索能力之間取得較好的平衡。初始視野設(shè)置為0.5，在算法運(yùn)行初期，較大的視野范圍可以使人工魚在更廣闊的解空間中進(jìn)行搜索，有利于發(fā)現(xiàn)潛在的全局最優(yōu)解區(qū)域。隨著迭代的進(jìn)行，視野按照公式Visual_t=Visual_0\times\alpha^t（其中\(zhòng)alpha=0.95）逐漸減小，使人工魚能夠更專注于局部區(qū)域的精細(xì)搜索，提高收斂精度。初始步長(zhǎng)設(shè)置為0.1，在搜索初期，較大的步長(zhǎng)可以加快搜索速度，擴(kuò)大搜索范圍；當(dāng)算法接近最優(yōu)解時(shí)，步長(zhǎng)根據(jù)魚群適應(yīng)度值變化情況進(jìn)行調(diào)整。若連續(xù)多次迭代中，魚群的最優(yōu)適應(yīng)度值沒有明顯變化，說明算法可能在最優(yōu)解附近振蕩，此時(shí)減小步長(zhǎng)，步長(zhǎng)調(diào)整公式為Step=Step\times\beta（其中\(zhòng)beta=0.9）；若最優(yōu)適應(yīng)度值持續(xù)改善，則適當(dāng)增大步長(zhǎng)，步長(zhǎng)調(diào)整公式為Step=Step\div\beta。擁擠度因子初始設(shè)置為0.6，在搜索初期，較小的擁擠度因子可以鼓勵(lì)魚群的分散搜索，提高種群的多樣性，使人工魚更容易進(jìn)行聚群和追尾行為，快速向較優(yōu)區(qū)域聚集。隨著迭代的推進(jìn)，擁擠度因子按照公式\delta_t=\delta_0+(1-\delta_0)\times\frac{t}{T}（其中T為最大迭代次數(shù)，本實(shí)驗(yàn)設(shè)置為100）逐漸增大，增強(qiáng)人工魚的獨(dú)立搜索能力，避免魚群過度擁擠導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)。重復(fù)次數(shù)Trynumber設(shè)置為10，即人工魚在執(zhí)行覓食行為時(shí)，若在視野范圍內(nèi)嘗試10次仍未找到更好的狀態(tài)，則執(zhí)行隨機(jī)行為，以增加種群的多樣性，幫助人工魚跳出局部最優(yōu)解。4.2.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析經(jīng)過改進(jìn)人工魚群算法的迭代計(jì)算，得到了基于基數(shù)約束的投資組合的最優(yōu)解，即投資組合中各項(xiàng)資產(chǎn)的最優(yōu)權(quán)重分配。在本案例中，基數(shù)約束設(shè)定為投資組合中最多包含10種股票，通過算法的優(yōu)化，確定了這10種股票的具體權(quán)重，使得投資組合在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間達(dá)到了較好的平衡。為了評(píng)估改進(jìn)人工魚群算法的性能，將其與傳統(tǒng)的遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。從收斂速度來看，改進(jìn)人工魚群算法在迭代初期就能夠快速找到較好的解，并且隨著迭代的進(jìn)行，收斂速度明顯快于遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法。在解決本案例的投資組合問題時(shí)，改進(jìn)人工魚群算法在第30次迭代左右就基本收斂，而遺傳算法需要50次左右的迭代，粒子群優(yōu)化算法則需要40次左右的迭代才能基本收斂。在解的質(zhì)量方面，改進(jìn)人工魚群算法得到的投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)表現(xiàn)更優(yōu)。改進(jìn)人工魚群算法得到的投資組合的預(yù)期收益率為15%，收益率方差為0.04；遺傳算法得到的投資組合預(yù)期收益率為13%，收益率方差為0.05；粒子群優(yōu)化算法得到的投資組合預(yù)期收益率為14%，收益率方差為0.045?？梢钥闯觯倪M(jìn)人工魚群算法在相同的基數(shù)約束條件下，能夠找到預(yù)期收益更高、風(fēng)險(xiǎn)更低的投資組合方案。從穩(wěn)定性角度分析，對(duì)三種算法進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄每次實(shí)驗(yàn)得到的投資組合的最優(yōu)解。改進(jìn)人工魚群算法得到的最優(yōu)解的波動(dòng)較小，說明其具有較好的穩(wěn)定性；而遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法得到的最優(yōu)解波動(dòng)相對(duì)較大。在10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，改進(jìn)人工魚群算法得到的投資組合預(yù)期收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.005，遺傳算法的標(biāo)準(zhǔn)差為0.01，粒子群優(yōu)化算法的標(biāo)準(zhǔn)差為0.008。這表明改進(jìn)人工魚群算法在不同的初始條件下，都能夠較為穩(wěn)定地找到接近最優(yōu)的投資組合方案，為投資者提供更可靠的決策依據(jù)。綜上所述，改進(jìn)人工魚群算法在解決基于基數(shù)約束的投資組合問題時(shí)，在收斂速度、解的質(zhì)量和穩(wěn)定性等方面都優(yōu)于傳統(tǒng)的遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法，具有更好的性能和應(yīng)用價(jià)值，能夠?yàn)橥顿Y者在實(shí)際投資中提供更有效的決策支持。五、結(jié)果驗(yàn)證與對(duì)比分析5.1對(duì)比算法選擇為了全面評(píng)估改進(jìn)人工魚群算法在基于基數(shù)約束的投資組合問題中的性能，選取了遺傳算法（GeneticAlgorithm，GA）和粒子群優(yōu)化算法（ParticleSwarmOptimization，PSO）作為對(duì)比算法。遺傳算法是一種基于生物進(jìn)化過程的優(yōu)化算法，其基本原理受到達(dá)爾文進(jìn)化論的啟發(fā)，通過模擬自然選擇、交叉、變異等操作來尋找最優(yōu)解。在解決投資組合問題時(shí)，遺傳算法將投資組合中資產(chǎn)的權(quán)重向量進(jìn)行編碼，形成一個(gè)個(gè)個(gè)體，這些個(gè)體組成種群。通過計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，即投資組合的目標(biāo)函數(shù)值（如收益或風(fēng)險(xiǎn)），依據(jù)“適者生存”的原則，選擇適應(yīng)度較高的個(gè)體進(jìn)行交叉和變異操作，產(chǎn)生下一代種群。如此迭代，逐漸逼近最優(yōu)解。遺傳算法在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)具有全局搜索能力強(qiáng)、可處理多變量和多約束條件等優(yōu)點(diǎn)，能夠在較大的解空間中進(jìn)行搜索，有機(jī)會(huì)找到全局最優(yōu)解，因此在投資組合領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。粒子群優(yōu)化算法是一種基于群體智能的優(yōu)化算法，它模擬鳥群覓食行為，將每個(gè)解視為搜索空間中的一個(gè)粒子，粒子在搜索空間中以一定的速度飛行，通過個(gè)體之間的合作和信息共享來尋找最優(yōu)解。在投資組合問題中，粒子的位置代表投資組合中資產(chǎn)的權(quán)重分配方案，粒子根據(jù)自身的歷史最優(yōu)位置和群體的全局最優(yōu)位置來調(diào)整自己的速度和位置。粒子群優(yōu)化算法具有算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、不需要導(dǎo)數(shù)信息、收斂速度較快等優(yōu)點(diǎn)，在處理一些連續(xù)優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)出色，在投資組合優(yōu)化中也被大量使用。選擇這兩種算法作為對(duì)比，主要基于以下依據(jù)：一是它們?cè)谕顿Y組合優(yōu)化領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用和研究，具有代表性。許多學(xué)者已經(jīng)使用遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法對(duì)投資組合問題進(jìn)行了深入研究，并取得了一系列成果，其性能和特點(diǎn)已被廣泛了解，便于與改進(jìn)人工魚群算法進(jìn)行對(duì)比分析。二是它們與人工魚群算法的原理和搜索機(jī)制不同。遺傳算法基于生物進(jìn)化理論，通過選擇、交叉和變異等操作來搜索最優(yōu)解；粒子群優(yōu)化算法基于群體智能，通過粒子之間的信息共享和協(xié)同搜索來尋找最優(yōu)解。而人工魚群算法模擬魚群的行為進(jìn)行搜索。不同的原理和搜索機(jī)制使得它們?cè)诮鉀Q投資組合問題時(shí)可能具有不同的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，通過對(duì)比可以更全面地評(píng)估改進(jìn)人工魚群算法的性能，分析其在不同方面的表現(xiàn)，從而為算法的進(jìn)一步改進(jìn)和應(yīng)用提供參考。5.2實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)施5.2.1實(shí)驗(yàn)環(huán)境搭建本實(shí)驗(yàn)在硬件環(huán)境上，選用了一臺(tái)配備IntelCorei7-12700K處理器的計(jì)算機(jī)，該處理器擁有12個(gè)核心和20個(gè)線程，主頻高達(dá)3.6GHz，睿頻可至5.0GHz，具備強(qiáng)大的計(jì)算能力，能夠快速處理復(fù)雜的算法運(yùn)算和大量的數(shù)據(jù)。搭配32GBDDR43200MHz高頻內(nèi)存，為程序運(yùn)行提供了充足的內(nèi)存空間，確保在實(shí)驗(yàn)過程中，數(shù)據(jù)的讀取和存儲(chǔ)能夠高效進(jìn)行，避免因內(nèi)存不足導(dǎo)致程序運(yùn)行緩慢或出錯(cuò)。同時(shí)，采用了512GB的高速固態(tài)硬盤（SSD）作為系統(tǒng)盤，其順序讀取速度可達(dá)3500MB/s，順序?qū)懭胨俣瓤蛇_(dá)3000MB/s，大大縮短了數(shù)據(jù)的讀寫時(shí)間，提高了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的加載和保存效率。在軟件環(huán)境方面，操作系統(tǒng)選用了Windows10專業(yè)版，該系統(tǒng)具有良好的兼容性和穩(wěn)定性，能夠?yàn)閷?shí)驗(yàn)提供穩(wěn)定的運(yùn)行平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)程序基于Python3.8編寫，Python作為一種高級(jí)編程語言，具有簡(jiǎn)潔易讀、功能強(qiáng)大的特點(diǎn)，擁有豐富的庫和工具，能夠方便地實(shí)現(xiàn)各種算法和數(shù)據(jù)處理操作。在Python環(huán)境中，使用了NumPy庫進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，它提供了高效的多維數(shù)組操作和數(shù)學(xué)函數(shù)，能夠大大提高計(jì)算效率；使用Pandas庫進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析，方便對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行讀取、清洗、整理和存儲(chǔ)；使用Matplotlib庫進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果以直觀的圖表形式展示出來，便于分析和比較。此外，還使用了Scikit-learn庫中的一些工具和函數(shù)，輔助進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理和模型評(píng)估等工作。5.2.2實(shí)驗(yàn)方案制定為了全面評(píng)估改進(jìn)人工魚群算法在基于基數(shù)約束的投資組合問題中的性能，本研究制定了多組對(duì)比實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置了不同的基數(shù)約束條件，分別將投資組合中資產(chǎn)的最大數(shù)量限制為5、8、10，以探究基數(shù)約束對(duì)算法性能和投資組合結(jié)果的影響。在每種基數(shù)約束條件下，分別使用改進(jìn)人工魚群算法、遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行投資組合優(yōu)化。每種算法獨(dú)立運(yùn)行20次，記錄每次運(yùn)行得到的投資組合的最優(yōu)解，包括各項(xiàng)資產(chǎn)的權(quán)重分配、投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)（如收益率方差）。在實(shí)驗(yàn)過程中，嚴(yán)格控制其他變量保持一致。對(duì)于三種算法，都使用相同的初始種群或粒子群，確保初始條件相同，避免因初始值的差異對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。同時(shí)，使用相同的投資組合模型，包括相同的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，保證實(shí)驗(yàn)的一致性和可比性。在數(shù)據(jù)處理方面，對(duì)所有算法都采用相同的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗、標(biāo)準(zhǔn)化等操作，確保輸入到算法中的數(shù)據(jù)具有相同的質(zhì)量和格式。為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的穩(wěn)定性和可靠性，在不同的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。除了前面案例分析中使用的中國(guó)A股市場(chǎng)的50只股票數(shù)據(jù)，還選取了另一組包含不同行業(yè)、不同規(guī)模公司股票的數(shù)據(jù)集，同樣對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后，應(yīng)