5.3.2課時1導數(shù)與函數(shù)的極值01021.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)極值的概念、了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件.2.能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值.設函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)為f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，如果f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)，如果f(x)在(a,b)內(nèi)為減函數(shù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞增；則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞減；則f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；則f′(x)≥0在(a,b)內(nèi)恒成立；則f′(x)≤0在(a,b)內(nèi)恒成立.1.函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系：回答以下問題：(1)函數(shù)h(t)在t=處的導數(shù)是多少呢?(2)此點附近的圖象有什么特點?(3)相應地,導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律?

探究1:極值的定義0xy問題解剖：如圖，函數(shù)y=f(x)在a，b點的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值有什么關系？在a，b點處導數(shù)值是多少？它附近區(qū)域?qū)?shù)的符號有什么變化規(guī)律？問題1：對于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？0xy

如果對x0附近的所有點x，都有f(x)<f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極大值，記作y極大值=f(x0)；并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大植點。如果對x0附近的所有點x，都有f(x)>f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極小值，記作y極小值=f(x0)；并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極小植點。已知函數(shù)y=f(x)，設x0是定義域（a,b）內(nèi)任一點，abba◆函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.知識歸納

觀察函數(shù)y=f(x)在定義域[a,b]上的圖象，回答以下問題：（1）找出圖中的極點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為極小值點？（2）極大值一定大于極小值嗎？（3）極值點能在區(qū)間端點取嗎？yabx1x2x3x4Ox大大小小答案：（1）如圖；（2）不一定；（3）不能.想一想：(1)極值是一個局部概念；(3)極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值;(4)函數(shù)的極值可能不止一個,而且函數(shù)的極大值未必大于極小值;(5)函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點；(2)極值不一定是最值；注

意0xy3-30xy0xy問題2：函數(shù)y=f(x)在極值點的導數(shù)值為多少?在x=0處不可導結論：設x=x0是y=f(x)的極值點，且f(x)在x=x0是可導的，則必有f

(x0)=0.問題3：導數(shù)為0的點是函數(shù)的極值點嗎?結論：導數(shù)為0的點不一定是極值點.可導函數(shù)f(x)在x0處導數(shù)為0是該點為極值點的

條件.

必要非充分1.下圖是導函數(shù)y=f′(x)的圖象，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點.abxyx1Ox2x3x4x5x6練一練

yxOx1x2aby=f(x)在極大值點附近在極小值點附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0(1)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左側f

(x)>0，右側f

(x)<0,那么f(x0)是極大值(2)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左側f

(x)<0，右側f

(x)>0,那么f(x0)是極小值

f

(x2)=0

f

(x1)=0可導函數(shù)f(x)在x0處導數(shù)為0是該點為極值點的充要條件為：

探究2:利用導數(shù)判別函數(shù)的極大（?。┲?/p>

x-22

f′(x)00f(x)解：定義域為R，f′(x)=x2-4由f′(x)=0可得x=-2或x=2當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下表：（-∞，-2）(-2，2）(2，+∞）+－+極大值極小值

例1.例題講解【求函數(shù)極值的步驟】(1)確定函數(shù)定義域，求導數(shù)f′(x)；(2)求方程

的所有實數(shù)根；(3)判斷在每個根的左右側，導函數(shù)f′(x)的符號如何變化．①如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極

值．②如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極

值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右兩側符號不變，則f(x0)

.f

′(x)=0大小不是極值方法歸納注意定義域練一練例2

已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0，求常數(shù)a，b的值．例題講解當a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，當x∈(－∞，－3)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；當x∈(－3，－1)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當x∈(－1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；所以f(x)在x＝－1時取得極小值．所以a＝2，b＝9.例題講解(1)常根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因為導數(shù)值等于零不是此點