2025年高中物理競賽決賽模擬試題（一）一、力學(xué)（共3題，每題25分）1.非線性振動與混沌現(xiàn)象一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿x軸運動，所受合力為F(x)=-kx-αx3，其中k>0，α為非零常數(shù)。（1）證明該振子做周期運動，并求小振幅近似下的振動周期；（2）若α>0，分析振幅增大時周期的變化趨勢；（3）當(dāng)α<0時，求系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的臨界條件，并計算此時質(zhì)點的最大速度。解析思路：（1）由保守力場性質(zhì)可證運動周期性，小振幅近似下忽略x3項，還原為簡諧振動，周期T=2π√(m/k)；（2）α>0時，回復(fù)力隨位移非線性增強，振幅增大導(dǎo)致周期減小，可通過能量積分法證明T∝A?1；（3）α<0時系統(tǒng)存在雙阱勢，臨界條件為最大靜電力等于非線性恢復(fù)力，解得臨界位移x?=√(k/|α|)，最大速度v?=√(2k/m)·x?。2.變質(zhì)量系統(tǒng)動力學(xué)一火箭初始總質(zhì)量為M?，其中燃料質(zhì)量為βM?（β<1）。燃料以恒定速率dm/dt=γ噴射，噴射速度相對火箭為u?；鸺龔牡孛尕Q直發(fā)射，不計空氣阻力，重力加速度g視為常量。（1）導(dǎo)出火箭上升過程中的速度方程；（2）求燃料耗盡時火箭的高度；（3）若地球半徑為R，且考慮重力隨高度變化（g'=gR2/(R+h)2），重新計算燃料耗盡時的速度。解析思路：（1）根據(jù)動量定理推導(dǎo)得dv/dt=-u/M·dm/dt-g，積分得v(t)=uln(M?/M)-gt；（2）燃料耗盡時間t?=βM?/γ，代入速度方程積分得高度h=u(βM?/γ-M?/γln(1/(1-β)))-?gt?2；（3）考慮重力場變化后，速度方程修正為dv/dt=-u/M·dm/dt-gR2/(R+h)2，通過變量替換h=∫vdt求解。3.剛體力學(xué)綜合題一個由兩根長度均為L、質(zhì)量均為m的輕桿組成的倒置“丁”字形結(jié)構(gòu)，豎直固定在水平桌面上，左桿的右端與右桿的中點用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧的原長為L/2。系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，彈簧處于原長?，F(xiàn)對右桿的頂端施加一個豎直向下的力F，使右桿下壓Δh到達(dá)新的平衡位置。（1）求此時彈簧的彈力大小F?；（2）若突然撤去力F，求右桿頂端的最大速度；（3）證明在微小振動條件下，系統(tǒng)做簡諧運動并求振動周期。解析思路：（1）根據(jù)幾何關(guān)系得彈簧伸長量x=Δh·√3/2，由力矩平衡方程F·L+mg·L/2=F?·L/2，解得F?=2F+mg；（2）由機械能守恒，彈簧彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能，得v?=√(kΔh2/(2m))，其中k=2(F+mg)/Δh；（3）微振動時回復(fù)力F?=-k'Δh，等效勁度系數(shù)k'=3mg/L，周期T=2π√(2mL/(3mg))=2π√(2L/(3g))。二、電磁學(xué)（共3題，每題25分）4.時變電磁場一半徑為a的圓形線圈，電阻為R，自感為L，置于均勻磁場B(t)=B?sinωt中，線圈平面與磁場方向夾角為θ。（1）計算線圈中的感應(yīng)電流；（2）求線圈所受的磁力矩最大值；（3）若線圈可繞直徑自由轉(zhuǎn)動，分析其穩(wěn)定運動狀態(tài)。解析思路：（1）總感應(yīng)電動勢包括動生和感生分量，得ε=-dΦ/dt-Ldi/dt=πa2B?ωcosθcosωt-Ldi/dt，解得i(t)=[πa2B?ωcosθ/√(R2+ω2L2)]sin(ωt-φ)，其中φ=arctan(ωL/R)；（2）磁力矩M=IS×B，最大值M?=π2a?B?2ωcosθ/(2√(R2+ω2L2))；（3）穩(wěn)定時線圈平面與磁場方向夾角θ=0，此時磁通量最大，力矩為零。5.電磁能量與動量一平行板電容器，極板面積為S，間距為d，充電至電壓U后與電源斷開。（1）計算極板間的總電場能量和動量；（2）若緩慢插入相對介電常數(shù)為ε?的介質(zhì)板（厚度d），求電場能量的變化；（3）證明此過程中外界所做的功等于電場能量的增量與介質(zhì)板所受電場力做功之和。解析思路：（1）電場能量W=ε?SU2/(2d)，動量p=ε?SU2/(cd)（c為光速）；（2）插入介質(zhì)后電容C'=ε?ε?S/d，能量變化ΔW=W'-W=ε?SU2(1/ε?-1)/(2d)；（3）外界做功W?=∫Fdx，電場力F=σ2Sε?(ε?-1)/(2ε?)，積分得W?=ΔW+∫Fdx，得證。6.電磁波與波導(dǎo)一無限長矩形波導(dǎo)，截面尺寸為a×b（a>b），內(nèi)充折射率為n的均勻介質(zhì)。（1）導(dǎo)出TE??模的電磁場分量表達(dá)式；（2）計算該模式的截止頻率和相速度；（3）若在x=a/2處插入一厚度為d的理想導(dǎo)體片，求此時最低階模的截止波長。解析思路：（1）TE??模只有H?、H_z、E?分量，得H_z=H?cos(πx/a)e^(i(kz-ωt))，E?=iωμ?aH?/(π)sin(πx/a)e^(i(kz-ωt))，H?=-ik?H?/(π)sin(πx/a)e^(i(kz-ωt))；（2）截止頻率f_c=c/(2a√ε?μ?)，相速度v_p=c/(√ε?μ?√(1-(f_c/f)2))；（3）插入導(dǎo)體片后等效截面變?yōu)閍/2×b，截止波長λ'_c=2(a/2)=a。三、熱學(xué)與光學(xué)（共4題，每題20分）7.熱力學(xué)循環(huán)在循環(huán)1-2-3-1中，1-2是等溫線，2-3是等容線，3-1是絕熱線，工作物質(zhì)為單原子理想氣體。已知狀態(tài)1的壓強p?=1atm，體積V?=22.4L，溫度T?=300K，狀態(tài)2的體積V?=2V?。（1）計算各過程的熱量變化；（2）求循環(huán)效率；（3）若將絕熱線3-1改為等溫線，求新循環(huán)的效率。解析思路：（1）等溫過程Q??=νRT?ln(V?/V?)=8314J，等容過程Q??=νC?ΔT=-6235J，絕熱過程Q??=0；（2）效率η=1-|Q??|/Q??=25%；（3）新循環(huán)為卡諾循環(huán)，效率η_c=1-T?/T?=1-(V?/V?)^(γ-1)=30.7%。8.黑體輻射黑體輻射定律指出，黑體輻射的總功率與其絕對溫度的四次方成正比，即P∝T?。一個溫度為T?的黑體，其輻射到空間中的總功率為P?。（1）若將其溫度升高到2T?，求輻射總功率P?；（2）若黑體表面積增大為原來的4倍，溫度降為T?/2，求輻射總功率P?；（3）計算兩種情況下單色輻射強度的峰值波長之比λ??/λ??。解析思路：（1）由斯特藩-玻爾茲曼定律得P?=16P?；（2）P?=4×(T?/2)?·σ=4×T??/16·σ=P?/4；（3）由維恩位移定律λ?T=b，得λ??/λ??=T?/T?=1/4。9.光的干涉與衍射一波長為λ的單色光垂直入射到雙縫干涉裝置，雙縫間距為d，縫寬均為a。（1）導(dǎo)出干涉條紋的強度分布公式；（2）計算第3級明紋的相對強度；（3）若在其中一縫后插入厚度為t、折射率為n的透明薄片，求中央明紋的移動距離。解析思路：（1）強度分布I(θ)=I?[sin(α)/α]^2[cos(β)]2，其中α=πasinθ/λ，β=πdsinθ/λ；（2）第3級明紋滿足dsinθ=3λ，此時α=3πa/d，相對強度I/I?=[sin(3πa/d)/(3πa/d)]2；（3）光程差變化Δ=(n-1)t，中央明紋移動距離Δx=(n-1)tD/d，D為雙縫到屏距離。10.幾何光學(xué)一折射率為n的平凸透鏡，凸面曲率半徑為R，焦距為f。（1）證明該透鏡的焦距滿足1/f=(n-1)/R；（2）若將透鏡凸面朝下放在一平玻璃上，用波長為λ的單色光垂直照射，求牛頓環(huán)第k級暗紋的半徑；（3）當(dāng)透鏡受到豎直向下的壓力F時，第k級暗紋半徑變?yōu)閞'，導(dǎo)出透鏡材料彈性模量E與Δr=r-r'的關(guān)系（設(shè)透鏡直徑為D）。解析思路：（1）由透鏡制造者公式1/f=(n-1)(1/R?-1/R?)，平面R?=∞，得證；（2）暗紋條件2nh+λ/2=(k+1)λ，h=r2/(2R)，解得r=√(kλR)；（3）由彈性形變公式Δh=3FD/(4EπR3)，結(jié)合Δr=√(kλ(R-Δh))-√(kλR)≈√(kλR)(1-Δh/(2R))-√(kλR)=-√(kλ/(4R))·Δh，解得E=3FD√R/(4πkλ(Δr)3)。四、近代物理（共2題，每題30分）11.相對論力學(xué)一靜止質(zhì)量為m?的粒子，在恒力F作用下從靜止開始運動。（1）導(dǎo)出粒子速度v(t)和位移x(t)的表達(dá)式；（2）計算t→∞時的極限速度，并解釋其物理意義；（3）若粒子在t=T時分裂為兩個靜止質(zhì)量均為m?/2的粒子，其中一個粒子沿原方向運動，求另一個粒子的運動方向和速度。解析思路：（1）相對論動量定理F=dp/dt=d(γm?v)/dt，解得v(t)=Ft/√(m?2c2+F2t2)，x(t)=(c/F)(√(m?2c2+F2t2)-m?c)；（2）t→∞時v→c，體現(xiàn)光速不可超越原理；（3）由動量守恒γ?m?v?/2+γ?m?v?/2=γm?v，能量守恒γ?m?c2/2+γ?m?c2/2=γm?c2，解得v?=-v?（反向運動）。12.量子力學(xué)基礎(chǔ)一粒子在一維無限深勢阱0≤x≤a中運動，其波函數(shù)為ψ(x)=A(sinπx/a+2sin2πx/a)。（1）求歸一化常數(shù)A；（2）計算粒子能量的可能取值及相應(yīng)概率；（3）求坐標(biāo)x的平均值和動量p的平均值。解析思路：（1）由歸一化條件∫|ψ|2dx=1，得A=√(2/(5a))；（2）能量本征值E?=n2π2?2/(2ma2)，概率P?=1/5，P?=4/5；（3）坐標(biāo)平均值=∫x|ψ|2dx=a/2，動量平均值=-i?∫ψ*?ψ/?xdx=0（空間反演對稱性）。五、綜合應(yīng)用題（共2題，每題30分）13.火箭推進與天體力學(xué)一火箭初始總質(zhì)量為M?，其中燃料質(zhì)量為βM?（β=0.8），燃料噴射速度u=3km/s。從地球表面豎直發(fā)射，地球半徑R=6400km，重力加速度g=9.8m/s2。（1）忽略重力隨高度變化，求燃料耗盡時火箭速度；（2）考慮地球引力場變化，求火箭能達(dá)到的最大高度；（3）若要使火箭脫離地球引力范圍，求所需最小燃料質(zhì)量比β???。解析思路：（1）由齊奧爾科夫斯基公式v=uln(1/(1-β))-gt?=3×103ln5-9.8×(0.8M?/γ)，假設(shè)噴射速率γ=100kg/s，M?=10?kg，得t?=800s，v≈4159m/s；（2）能量守恒-GMm/R+?mv2=-GMm/(R+h)，解得h=R/(2GM/(v2R)-1)=1.28×10?m；（3）脫離條件v≥√(2GM/R)=11.2km/s，得β???=1-e^(-v?/u)=1-e^(-11.2/3)=0.97。14.電磁感應(yīng)與力學(xué)綜合在光滑水平面上，兩個質(zhì)量分別為2m和m的滑塊A和B，用一根不可伸長、不計質(zhì)量的輕繩連接?；瑝KA帶電荷量+q，滑塊B不帶電。整個裝置處在豎直向下的勻強磁場B中?；瑝KA以初速度v?向右運動，滑塊B初始靜止。（1）求兩滑塊最終的共同速度v；（2）計算此過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；（3）若滑塊A在運動過程中始終與一固定導(dǎo)軌接觸形成閉合回路，電阻為R，求滑塊A的加速度隨時間的變化關(guān)系