2/30第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（舉一反三單元測試·拔尖卷）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（24-25高一上·湖南衡陽·期末）已知實(shí)數(shù)a>b>c，且a+b+c=0．下列結(jié)論正確的是（

）A．1a?c>1b?c B．a(chǎn)2>【答案】B【解題思路】根據(jù)已知可得a>0,c<0，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及賦值法即可判斷各項(xiàng)的正誤.【解答過程】因?yàn)閍>b>c，所以a?c>b?c>0，所以1a?c因?yàn)閍>b>c，所以a?b>0，又a>0,c<0，所以a+b>?c>0，所以a2?b當(dāng)b=0時，ab因?yàn)閍>b>c，且a+b+c=0，所以a>0,c<0，所以b+c=?a<0，又a?b>0，所以a?b>b+c，所以a?c>2b，故D錯誤．故選：B.2．（5分）（24-25高一上·江西南昌·開學(xué)考試）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=axA． B．C． D．【答案】D【解題思路】根據(jù)一次函數(shù)y=bx+c與二次函數(shù)y=ax2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可判斷出a>0,b>0,c<0，由此可判斷二次函數(shù)【解答過程】根據(jù)一次函數(shù)y=bx+c與二次函數(shù)y=ax2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可判斷出a>0,b>0,c<0，則y=ax故選：D.3．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知x+y=3，且x>0，y>0，則1x+1A．1 B．2 C．12 D．【答案】A【解題思路】由x+y=3，可得14x+y+1【解答過程】∵x+y=3，∴x+y+1=4，11當(dāng)且僅當(dāng)x+y=3y+1x=故選：A.4．（5分）（24-25高一上·云南昆明·期末）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時，由杠桿原理可推出：左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臂長與右盤物品質(zhì)量的乘積.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，其中左臂長和右臂長之比為λ(λ≠0)，一位顧客到店里購買10克黃金，售貨員先將5克砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5克砝碼放在天平右盤中，然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將兩次稱得的黃金交給顧客，則顧客購得的黃金質(zhì)量（

）A．大于10克 B．小于10克C．等于10克 D．當(dāng)λ>1時，大于10克；當(dāng)λ∈(0,1)時，小于10克【答案】A【解題思路】設(shè)天平左臂長為a，右臂長為b（不妨設(shè)a>b），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為m1，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為m2.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得m1【解答過程】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為a，右臂長為b，所以ab=λλ>0先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為m1，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為m由杠桿的平衡原理：bm1=a×5，am2則m1下面比較m1因?yàn)閙1因?yàn)棣?gt;0，所以51?λ2λ所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于10g故選：A.5．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx?2>0的解集為x1<x<2，則不等式A．x?1<x<12C．x?3<x<1 D．【答案】D【解題思路】先根據(jù)不等式的解集求得a=?1，b=3，再求解分式不等式即可.【解答過程】由題可知ax2+bx?2=0的根為1和2，代入方程可得a=?1不等式x?ax?b<0等價于x+1x?3故選：D.6．（5分）（24-25高一上·廣東廣州·期末）某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3mA．160000元 B．179200元C．198400元 D．297600元【答案】C【解題思路】設(shè)池底的長為x，寬為y，因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個面，池底一個面，計(jì)算出建造這個水池的總造價是100xy+2(x+y)×3×80，結(jié)合基本不等關(guān)系求得最小值.【解答過程】設(shè)池底的長為x，寬為y，則3xy=4800，即y=因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個面，池底一個面，建造這個水池的總造價是100xy+2(x+y)×3×80=160000+480≥160000+480×2當(dāng)且僅當(dāng)x=1600x，即故選：C.7．（5分）（24-25高一上·四川達(dá)州·期中）已知a>0，b>0，若不等式ma+b≤4a+9bab恒成立，則實(shí)數(shù)A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【解題思路】將不等式變形為m≤4a+9b【解答過程】a>0，b>0，則a+b>0，不等式ma+b≤4a+9b4a+9bab當(dāng)且僅當(dāng)4ab=9b所以m≤25，即實(shí)數(shù)m的最大值為25.故選：B.8．（5分）（24-25高一上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組x2?2x?8>02x2A．?5,3 B．2,3C．2,3∪4,5 【答案】D【解題思路】先解不等式x2?2x?8>0可得x<?2或x>4，再解不等式2x【解答過程】由x2?2x?8>0，即x?4x+2>0，解得由2x2+當(dāng)k=72時，不等式2x+7x+k當(dāng)k>72時，不等式2x+7x+k結(jié)合題意，此時原不等式組的解集為?k,?7所以?5≤?k<?4，即4<k≤5，當(dāng)k<72時，不等式2x+7x+k結(jié)合題意，要使不等式組僅有一個整數(shù)解，則?3<?k≤5，即?5≤k<3，綜上所述，k的取值范圍為?5,3∪故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a<b<c，則下列說法正確的是（

）A．1c?a<1C．1ab?a>【答案】AD【解題思路】應(yīng)用作差法判斷A、B、D，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷C.【解答過程】A：1c?a?1所以b?c<0,c?a>0,b?a>0，則1c?a?1B：ba?b+ca+c=所以c(b?a)a(a+c)C：由題設(shè)c?a>0,b?a>0，若a<0<b，則1aD：ab+c2?ac?bc=a(b?c)+c(c?b)=(a?c)(b?c)>0故選：AD.10．（6分）（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知x,y為正實(shí)數(shù)，x+y=2，則（

）A．xy的最大值為1 B．yx+C．x2x+1+y2y+2的最小值為【答案】ABC【解題思路】應(yīng)用基本不等式及應(yīng)用常值代換分別計(jì)算判斷各個選項(xiàng)即可.【解答過程】對于A：xy≤x+y22對于B：yx+2對于C：x2x+1+令s=x+1，t=y+2，則s+t=5，∴15當(dāng)且僅當(dāng)t=2s，即s=53，∴x2x+1+對于D：x2+當(dāng)且僅當(dāng)xy=1故選：ABC.11．（6分）（24-25高一上·山東東營·期中）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?A．a(chǎn)>0 B．不等式bx+c>0的解集為xC．a(chǎn)+b+c>0 D．不等式cx2?bx+a<0的解集為【答案】AD【解題思路】根據(jù)不等式的解集與不等式的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理可得出b、c與a的等量關(guān)系，利用一次不等式的解法可判斷B選項(xiàng)；代值計(jì)算可判斷C選項(xiàng)；利用二次不等式的解法可判斷D選項(xiàng).【解答過程】對于A選項(xiàng)，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?對于B選項(xiàng)，由題意可知，關(guān)于x的二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為?3由韋達(dá)定理可得?3+4=?ba?3×4=所以，不等式bx+c>0即為?ax?12a>0，即x+12<0，解得x<?12，故不等式bx+c>0的解集為xx<?12對于C選項(xiàng)，a+b+c=a?a?12a=?12a<0，C錯；對于D選項(xiàng)，不等式cx2?bx+a<0即為?12a即4x+13x?1>0，解得x<?1因此，不等式cx2?bx+a<0的解集為x故選：AD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（24-25高一上·四川德陽·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足?4≤x?y≤?1，?1≤4x?y≤5，則11x?5y的取值范圍是.【答案】?14,7【解題思路】設(shè)11x?5y=mx?y+n4x?y【解答過程】由題意，設(shè)11x?5y=mx?y+n4x?y所以m+4n=11m+n=5，解得m=3n=2，即因?yàn)?4≤x?y≤?1，?1≤4x?y≤5，所以?12≤3x?y≤?3，所以?14≤3x?y+24x?y所以11x?5y的取值范圍是?14,7，故答案為：?14,7.13．（5分）（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知關(guān)于x的不等式x2?a+4x+2a+5≥0在?∞,2上恒成立，則【答案】?2【解題思路】條件可轉(zhuǎn)化為a≥?2?x?12?x在?∞【解答過程】由不等式x2?a+4得2?xa≥?x2所以a≥?x2又2?x+12?x當(dāng)且僅當(dāng)2?x=12?x，即所以a≥?2，故a的最小值為?2.故答案為：?2.14．（5分）（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，某規(guī)劃組計(jì)劃建設(shè)一個矩形花草園，在矩形ABCD的中心位置建造一個面積為50m2的矩形EFGHEF>EH花園，在矩形EFGH的四周鋪設(shè)草坪，要求南北兩側(cè)的草坪寬0.5m，東西兩側(cè)的草坪寬1m，則矩形ABCD面積的最小值為【答案】72【解題思路】設(shè)EF=xm，則EH=50xm，根據(jù)EF>EH可求出x的取值范圍，求出AB=x+2【解答過程】設(shè)EF=xm，則EH=50x因?yàn)镋F>EH，則x>50x，可得由題意可得AB=x+2m，所以，矩形ABCD的面積為S=AB?AD=x+2當(dāng)且僅當(dāng)x=100xx>5因此，矩形ABCD面積的最小值為72m故答案為：72.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（24-25高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）已知?3<a<4，2<b<5，求2a+b，a?b及ab（2）設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，試比較x1+x和y【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解題思路】（1）結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可求解.（2）利用作差法進(jìn)行比較，先對代數(shù)式作差得出x1+x【解答過程】（1）因?yàn)?3<a<4，所以?6<2a<8，又2<b<5，兩個不等式相加可得?6+2<2a+b<8+5，即?4<2a+b<13．因?yàn)?<b<5，所以?5<?b<?2，又?3<a<4，兩個不等式相加可得?3?5<a?b<4?2，即?8<a?b<2．因?yàn)?<b<5，所以15當(dāng)0≤a<4時，兩個不等式相加乘可得：0×15≤當(dāng)?3<a<0時，兩個不等式相加乘可得：?3×12<所以?32a+b的取值范圍為?4,13；a?b的取值范圍為?8,2；ab的取值范圍為?（2）x1+x因?yàn)閤，y均為正實(shí)數(shù)，所以1+x1+y當(dāng)x?y>0，即x>y時，x?y1+x1+y>0當(dāng)x?y=0，即x=y時，x?y1+x1+y=0當(dāng)x?y<0，即x<y時，x?y1+x1+y<0，此時綜上可得：當(dāng)x>y時，x1+x當(dāng)x=y時，x1+x當(dāng)x<y時，x1+x16．（15分）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知關(guān)于x的不等式ax(1)若ax2?3x+2>0的解集為x|b<x<12(2)若a>0求關(guān)于x的不等式ax【答案】(1)a=?2，b=?2(2)答案見解析【解題思路】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集確定對應(yīng)方程的根，然后代入方程求出a=?2，解一元二次不等式求解b=?2.（2）按照0<a<3，a=3和a>3分類討論，根據(jù)一元二次不等式的解法解不等式即可.【解答過程】（1）若ax2?3x+2>0則x=12是方程ax2?3x+2=0所以不等式為?2x2?3x+2>0，解得：?2<x<即a=?2，b=?2.（2）因?yàn)閍x2?3x+2>ax?1當(dāng)a≠0時，令ax2?(a+3)x+3=0若0<a<3時，1<3a，不等式ax若a=3時，1=3a，不等式ax若a>3時，1>3a，不等式ax綜上所述：當(dāng)0<a<3時，不等式解集為：(?∞當(dāng)a=3時，不等式解集為：(?∞當(dāng)a>3時，不等式解集為：(?∞17．（15分）（24-25高一上·四川德陽·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，證明：(1)a2(2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1?a)(1?b)(1?c).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解題思路】（1）利用基本不等式可證不等式成立；（2）利用基本不等式結(jié)合“1”的代換可證不等式成立.【解答過程】（1）因?yàn)閍2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立，故a2c+故a2（2）(1+a)(1+b)(1+c)=2a+b+c由基本不等式有2a+b+c=a+c+a+b≥2a+c2b+a+c=b+c+b+a≥2b+c2c+a+b=c+a+c+b≥2a+c故(1+a)(1+b)(1+c)≥8a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=118．（17分）（24-25高一上·甘肅蘭州·期中）求解下列各題：(1)求y=x(2)求y=x(3)已知x>0，y>0且4x+y=xy，若x+y>m2+8m【答案】(1)?(2)8(3)m【解題思路】（1）將函數(shù)解析式化為y=3（2）將函數(shù)解析式變形為y=x?1（3）由已知條件可得出1x+4y=1，將代數(shù)式x+y與1【解答過程】（1）當(dāng)x<0時，y=≤3當(dāng)且僅當(dāng)?x2=?所以，函數(shù)