2/30專(zhuān)題5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1五點(diǎn)法畫(huà)正弦、余弦函數(shù)的圖象】 4【題型2正、余弦函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】 7【題型3三角函數(shù)的定義域、值域與最值】 9【題型4由三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)】 10【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】 12【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 14【題型7三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題】 16【題型8三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】 18【題型9三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】 19【題型10三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 22知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象 (1)正弦函數(shù)的圖象①根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，我們可以得到函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象，如圖所示.②五點(diǎn)法觀察圖，在函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象上，以下五個(gè)點(diǎn)：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在確定圖象形狀時(shí)起關(guān)鍵作用.描出這五個(gè)點(diǎn)，函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時(shí)，常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線(xiàn)將它們連接起來(lái)，得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖.這種作圖的方法叫做“五點(diǎn)(畫(huà)圖)法”.(2)余弦函數(shù)的圖象

①圖象變換法作余弦函數(shù)的圖象

由誘導(dǎo)公式六，我們知道，而函數(shù),x∈R的圖象可以通過(guò)正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到余弦函數(shù)的圖象，如圖所示.②五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象

類(lèi)似于正弦函數(shù)圖象的作法，從余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象可以看出，要作出函數(shù)y=cosx在[0,2π]上的圖象，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出這五個(gè)點(diǎn)，然后把這五個(gè)點(diǎn)用一條光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)就得到了函數(shù)y=cosx在[0,2π]上的簡(jiǎn)圖，再通過(guò)左右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長(zhǎng)度)即可得到余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象.(3)正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)

正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn).它們是具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線(xiàn).2．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)(1)周期函數(shù)①定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

②最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表：函數(shù)y=sinxy=cosx圖象定義域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期：2π最小正周期：2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間最值圖象對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心：

對(duì)稱(chēng)軸方程：對(duì)稱(chēng)中心：

對(duì)稱(chēng)軸方程：3．正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)和的性質(zhì)函數(shù)定義域RR值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]單調(diào)性當(dāng)A>0,ω>0時(shí)，將ωx+φ視為整體，代入y=sinx或y=cosx相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間求解；當(dāng)A<0或ω<0時(shí)，注意單調(diào)區(qū)間的變化.奇偶性當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)，

當(dāng)時(shí)為偶函數(shù).當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)為奇函數(shù).周期性圖象

對(duì)稱(chēng)性將ωx+φ視為整體，代入y=sinx或y=cosx相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸方程或?qū)ΨQ(chēng)中心的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程求解.4．正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象(1)正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)定義域周期性由誘導(dǎo)公式可知，正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π.奇偶性由誘導(dǎo)公式可知，正切函數(shù)是奇函數(shù).圖象單調(diào)性正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上都單調(diào)遞增值域正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R對(duì)稱(chēng)中心(2)三點(diǎn)兩線(xiàn)法作正切曲線(xiàn)的簡(jiǎn)圖類(lèi)比于正、余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)法，我們可以采用三點(diǎn)兩線(xiàn)法作正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖.“三點(diǎn)”是指點(diǎn)，(0,0)，；“兩線(xiàn)”是指直線(xiàn)和.在三點(diǎn)、兩線(xiàn)確定的情況下,可以大致畫(huà)出正切函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖.【題型1五點(diǎn)法畫(huà)正弦、余弦函數(shù)的圖象】【例1】（24-25高一上·全國(guó)·周測(cè)）用“五點(diǎn)法”作y=3sin3x+1的圖象，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，C．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π【答案】D【解題思路】用五點(diǎn)法作三角函數(shù)的圖，五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為3x=0,π2,【解答過(guò)程】由“五點(diǎn)法”作圖知，令3x=0,π解得x=0,π故選：D．【變式1-1】（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y=2?cosx在?πA．?π,3 B．?π2,2 【答案】D【解題思路】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為?π,3，?π2,2故選：D.【變式1-2】（24-25高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖.(1)y=sin(2)y=cos【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)作圖見(jiàn)解析.【解題思路】（1）（2）列出表格，利用五點(diǎn)法作出函數(shù)圖象.【解答過(guò)程】（1）取值列表如下：x0ππ3π2πsin010?10描點(diǎn)、連線(xiàn)，作出函數(shù)y=sin（2）取值列表如下：x0ππ3π2πcos10?101描點(diǎn)、連線(xiàn)，作出函數(shù)y=cos【變式1-3】（2025高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）作出下列函數(shù)的大致圖像：(1)y=sinx，(2)y=1?cos【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析【解題思路】分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)的“五點(diǎn)法”，可作出函數(shù)圖象.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閥=sinx的定義域?yàn)閟in?x=?又sinπ+x=?sin列表x0ππy=010y=|010作圖：先作出0,π的圖象，又原函數(shù)是偶函數(shù)，且周期為π，將圖象向兩邊延伸，即可得函數(shù)y=sinx（2）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0ππ32cos10?1011?01210描點(diǎn)，并將它們用光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)（如圖）：【題型2正、余弦函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】【例2】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)fx=sinx,x∈A．

B．

C．

D．

【答案】A【解題思路】分x∈0,2π，x∈?2【解答過(guò)程】當(dāng)x∈0,2π時(shí)，fx=sin由正弦函數(shù)的圖象可知，A選項(xiàng)符合題意，故選：A．【變式2-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）函數(shù)y=12(A．

B．

C．

D．

【答案】A【解題思路】結(jié)合圖象特點(diǎn)，分別計(jì)算x=0和x=π【解答過(guò)程】當(dāng)x=0時(shí)，cos0=1，所以y=當(dāng)x=π時(shí)，cosπ=?1故選：A.【變式2-2】（24-25高一上·河南信陽(yáng)·期末）函數(shù)f(x)=(sinxeA． B．C． D．【答案】D【解題思路】利用函數(shù)奇偶性及函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)排除不正確選項(xiàng)即得.【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)=(sin由f?x=sin圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，AC錯(cuò)誤；當(dāng)x∈[0，π2]時(shí)，fx故選：D.【變式2-3】（24-25高一下·北京·期中）函數(shù)f(x)=sinx+sinA．

B．

C．

D．

【答案】D【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性排除AC，再結(jié)合函數(shù)值f(π【解答過(guò)程】從四個(gè)選項(xiàng)中可以看出，函數(shù)的周期性、奇偶性、函數(shù)值的正負(fù)無(wú)法排除任一個(gè)選項(xiàng)，但是f(π?x)=sin(π又f(π故選：D．【題型3三角函數(shù)的定義域、值域與最值】【例3】（24-25高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）函數(shù)f(x)=2sinx+1的定義域?yàn)椋ˋ．?π6+2kC．?π2+2k【答案】A【解題思路】依題意可得sinx≥?【解答過(guò)程】對(duì)于函數(shù)f(x)=2令2sinx+1≥0，即sinx≥?所以函數(shù)的定義域?yàn)?π故選：A.【變式3-1】（24-25高一下·廣西桂林·階段練習(xí)）函數(shù)fx=2cos2x+3A．3,4 B．3,322+1 C．【答案】C【解題思路】由fx=?2sin【解答過(guò)程】fx令t=sinx，由x∈π4,π2該二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸t=34，在22當(dāng)t=34時(shí)，ymax=258,t=1故選：C.【變式3-2】（24-25高一下·安徽蕪湖·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)f(x)=?2A．2π3+2kπ,4πC．?2π3+2kπ,【答案】A【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到?2cos【解答過(guò)程】由題意，函數(shù)f(x)=?2cosx?1有意義，則滿(mǎn)足解得2π3所以函數(shù)fx的定義域x∈故選：A.【變式3-3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)fx=?cosA．?12,12 B．?3【答案】C【解題思路】首先求x+π【解答過(guò)程】因?yàn)閤∈?π3,2故fx的值域?yàn)?1,故選：C.【題型4由三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)】【例4】（24-25高一下·湖北·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=sinωx?π6ω>0在0,πA．0,83 B．83,163【答案】B【解題思路】先根據(jù)角的范圍得出ωx?π【解答過(guò)程】當(dāng)x∈0,π4時(shí)，ωx?π6所以π4ω?π故選：B.【變式4-1】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知fx=tanωx0<ω<1在區(qū)間0,π3A．12 B．13 C．23【答案】A【解題思路】先求出0≤ωx≤ωπ3，再根據(jù)【解答過(guò)程】因?yàn)閤∈0,π3又0<ω<1，所以0≤ωx≤ωπ3<所以ωπ3=π故選：A．【變式4-2】（24-25高一下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)fx=2sinωx+π3ω>0A．136,256 B．56,【答案】D【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用整體代換計(jì)算即可.【解答過(guò)程】當(dāng)x∈0,π時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)fx=2sin所以5π2≤ω故選：D.【變式4-3】（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=cosωx?π6在x∈0,2πA．?56,?512 B．0,5【答案】A【解題思路】利用余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即可.【解答過(guò)程】當(dāng)x=?π6時(shí)，cos?π6=3x∈0,2π時(shí)，由值域?yàn)?1,32所以?11所以?故選：A.知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性與奇偶性1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx+φ看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).2．已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問(wèn)題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.3．三角函數(shù)周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí)，可考慮用圖象法或定義法求周期.4．三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心的求解策略

(1)對(duì)于可化為f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，只需令ωx+φ=(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.(2)對(duì)于可化為f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令(k∈Z)）求x即可.5．三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=(k∈Z).【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】【例5】（24-25高一下·重慶·期末）函數(shù)fx=2sinA．0,π6 B．0,π2 C．【答案】D【解題思路】利用整體法求解正弦型函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【解答過(guò)程】令π2+2kπ當(dāng)k=0,π6≤x≤故選：D.【變式5-1】（24-25高一下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）下列函數(shù)在區(qū)間?π6,A．y=cosx B．y=?sinx C．【答案】C【解題思路】數(shù)形結(jié)合，判斷各選項(xiàng)在給定區(qū)間上的單調(diào)性即可.【解答過(guò)程】對(duì)A：函數(shù)y=cosx在?π對(duì)B：函數(shù)y=?sinx在對(duì)C：函數(shù)y=sin2x在對(duì)D：函數(shù)y=tan3x在區(qū)間故選：C.【變式5-2】（25-26高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)fx=2cosA．4kπ?5C．4kπ?π【答案】B【解題思路】利用整體代換代入減區(qū)間，求解不等式可得答案.【解答過(guò)程】令2kπ≤1所以fx=2cos故選：B.【變式5-3】（24-25高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間π2,π上單調(diào)遞減的是（A．y=2|sinx| B．y=cos2x C．【答案】A【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的變換一一判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)A：y=sinx的圖象是由y=sinx的圖象將x軸及x軸上方部分不變所得，其函數(shù)圖象如下所示：則y=2sinx的最小正周期為π，且在對(duì)B：y=cos2x的最小正周期為2π2=π，當(dāng)對(duì)C：y=?tan2x的最小正周期為對(duì)D：y=cosx2故選：A.【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例6】（24-25高一下·山西臨汾·期末）已知函數(shù)f(x)=sinωx?π3（其中ω>0）在區(qū)間?π2A．0<ω≤13 C．0<ω≤16 【答案】A【解題思路】由題意可得?π2+kπ≤?【解答過(guò)程】由題意可得?π2+k解得ω≤13?2k且ω≤又ω>0，則13?2k>053+2k>0故ω≤13且ω≤5故選：A.【變式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）已知函數(shù)y=cosωx+π6ω>0在區(qū)間?A．0,23 B．0,56 C．【答案】A【解題思路】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，利用整體代換的方法求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閤∈?π4,π又因?yàn)楹瘮?shù)y=cosωx+π所以?π4ω+π6故當(dāng)k=0時(shí)，0<ω≤2故選：A.【變式6-2】（24-25高一下·四川成都·期末）若函數(shù)fx=tanx在區(qū)間(?aA．0,12 B．0,23 C．【答案】C【解題思路】利用正切函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合題設(shè)條件建立不等式組，解之即得.【解答過(guò)程】因fx=tanx在則有?π2≤?aπ4π故選：C.【變式6-3】（24-25高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)y=sinωx+π6ω>0在區(qū)間?πA．0,1 B．0,43 C．0,1【答案】A【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列出不等式組，解之即可.【解答過(guò)程】因?yàn)?π2,因?yàn)楹瘮?shù)y=sinωx+π且?π所以ω>0?π2所以ω的取值范圍是0,1.故選：A.【題型7三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題】【例7】（24-25高一下·江西上饒·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xsinx+π3A．π6 B．π3 C．2π【答案】A【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及誘導(dǎo)公式得解.【解答過(guò)程】由fx是奇函數(shù)，則g所以π3+φ=kπ故當(dāng)k=0時(shí)，φ=π故選：A．【變式7-1】（24-25高一下·上?！て谀┫铝兴膫€(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期的奇函數(shù)是（

）A．y=sinx C．y=sinx 【答案】D【解題思路】由三角函數(shù)的奇偶性、周期性即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A，y=sinx是以對(duì)于B，y=cos2x是以對(duì)于C，若y=fx=sin對(duì)于D，若y=gx=sin2x，顯然其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且g?x故選：D.【變式7-2】（24-25高一下·陜西渭南·期中）已知函數(shù)fx=tanA．fx在定義域內(nèi)是增函數(shù) B．fx圖象的對(duì)稱(chēng)中心是kC．fx的最小正周期是π D．f【答案】B【解題思路】求函數(shù)fx的定義域，和單調(diào)增函數(shù)即可判斷A，令2x+π3【解答過(guò)程】對(duì)于A：令2x+π3≠π2由kπ?π所以函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為k由單調(diào)性的定義可知，fx對(duì)于B：令2x+π3=kπ2,k∈Z有對(duì)于C：T=πω=π2對(duì)于D：f?x=tan故選：B.【變式7-3】（24-25高一上·四川瀘州·期末）已知函數(shù)fx=2sinA．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π3,0對(duì)稱(chēng) B．函數(shù)C．fx+π3是奇函數(shù) D．若【答案】B【解題思路】將選項(xiàng)A，B，C中的條件分別代入函數(shù)f(x)的解析式中，計(jì)算判斷對(duì)應(yīng)結(jié)論；取特值計(jì)算判斷D作答.【解答過(guò)程】對(duì)于A，因fπ3=2sinπ對(duì)于B，因f?π12=2sin?π對(duì)于C，fx+令gx=fx+π3對(duì)于D，取x1=5π12,x2=故選：B.【題型8三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】【例8】（2025高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)，最小正周期為2πA．y=sinx2C．y=cosx2【答案】C【解題思路】對(duì)于A、B直接由正弦函數(shù)的周期公式求出即可判斷；對(duì)于C、D求出不帶絕對(duì)值的函數(shù)的周期，再減半，即可判斷.【解答過(guò)程】函數(shù)y=sinx2函數(shù)y=sin(2x+π因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx2的最小正周期為T(mén)=4π，所以函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)y=sin2x的最小正周期為T(mén)=2π2故選：C.【變式8-1】（2025高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，周期為4π的是（

A．y=sinx?πC．y=sinx2【答案】D【解題思路】由正余弦型的三角函數(shù)的周期公式求解.【解答過(guò)程】由正余弦型的三角函數(shù)的周期公式T=2四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)周期分別為2π，π，2π，故選：D．【變式8-2】（24-25高一上·江蘇連云港·期末）設(shè)k為正數(shù)，若函數(shù)fx=sinkx?π6的最小正周期為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解題思路】利用正弦型三角函數(shù)，代入計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由fx=sinkx?π6，且故選：C.【變式8-3】（24-25高一下·北京·期中）下列函數(shù)中，最小正周期為π2的是（

A．y=cosx2 B．y=cosx 【答案】D【解題思路】根據(jù)余弦函數(shù)最小正周期計(jì)算公式對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】易知y=cosx2的最小正周期為T(mén)=2π而y=cos2x的最小正周期為T(mén)=2π2故選：D.【題型9三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】【例9】（24-25高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=2sinωx+π3(ω>0)在區(qū)間(0,2π)A．56,43 B．56,【答案】C【解題思路】根據(jù)x的取值范圍求出ωx+π【解答過(guò)程】因?yàn)閤∈(0,2π)，ω>0，所以又fx在區(qū)間(0,2π)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以2即ω的取值范圍為56故選：C.【變式9-1】（24-25高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2sinωx+φ?1ω>0，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)φ,fxA．4,163 B．4,163 C．【答案】B【解題思路】利用換元，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sint在區(qū)間π4ω+φ,3【解答過(guò)程】令fx=0，則sinωx+φ=1則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sint在區(qū)間π4使得sint=12作出y=sint和結(jié)合圖象可知滿(mǎn)足條件的最短區(qū)間的長(zhǎng)度為13π最長(zhǎng)區(qū)間的長(zhǎng)度為17π故得2π≤3πω故選：B.【變式9-2】（24-25高一上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3cos(1)若fx的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π2，求當(dāng)x∈0,(2)若函數(shù)fx在開(kāi)區(qū)間0,7π24內(nèi)恰有3【答案】(1)3(2)66【解題思路】（1）根據(jù)題意得出函數(shù)fx的最小正周期，可求出ω的值，然后利用余弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)fx在（2）由0<x<7π24可求出ωx?π4【解答過(guò)程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π2，則函數(shù)fx因?yàn)棣?gt;0，則ω=2ππ當(dāng)0≤x≤7π24時(shí)，?則fx因此，當(dāng)x∈0,7π24時(shí)f（2）當(dāng)0<x<7π24因?yàn)楹瘮?shù)fx在開(kāi)區(qū)間0,7π24內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則5因此，實(shí)數(shù)ω的取值范圍是667【變式9-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)若fx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3π4,0，Bπ4,2，且點(diǎn)(2)若f0=?1，且fx在5π9【答案】(1)f(2)14【解題思路】（1）依題意可得函數(shù)fx的周期求出ω，又過(guò)點(diǎn)B取最值求φ（2）根據(jù)f0=?1求φ，由已知條件及正弦函數(shù)的性質(zhì)求【解答過(guò)程】（1）依題意可知：T4=3π4又過(guò)點(diǎn)Bπ4,2，所以1×又φ≤π2，所以φ=（2）因?yàn)閒0=2sinφ=?1，且φ≤又當(dāng)x∈0,3π4時(shí)依題意：π<3π又fx在5π9依題意;若5π9ω?π6≥?π若5π9ω?π6≥π2π若5π9ω?綜上，ω的取值范圍為149【題型10三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例10】（24-25高一下·遼寧·期中）已知函數(shù)fx=2sinA．fx?π3是奇函數(shù) B．fC．fx+fπ3?x=0【答案】D【解題思路】利用代入檢驗(yàn)法可判斷ABC的正誤，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合同增異減可判斷D的正誤.【解答過(guò)程】對(duì)于A，由題意可得f0=2sin對(duì)于B，因?yàn)閒?所以fx的圖象不關(guān)于直線(xiàn)x=?對(duì)于C，若fx+fπ3?x而fπ6=2對(duì)于D，由x∈?5π而y=2sint在?3π2故選：D.【變式10-1】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函數(shù)fx=sinA．若f