2/30專題5.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象】 3【題型2描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程】 5【題型3求圖象變化前（后）的解析式】 6【題型4由部分圖象求函數(shù)的解析式】 7【題型5結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)】 8【題型6三角函數(shù)模型在勻速圓周運(yùn)動中的應(yīng)用】 10【題型7函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 13知識點(diǎn)1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)1．φ,ω,A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響(1)φ對的圖象的影響函數(shù)（其中φ≠0）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時)或向右(當(dāng)φ<0時)平移|φ|個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).(2)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時)或伸長(當(dāng)0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.(3)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.(4)由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象以上兩種方法的圖示如下：2．函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象類似于正弦型函數(shù)，余弦型函數(shù)的圖象的畫法有以下兩種.

(1)“五點(diǎn)法”，令，求出相應(yīng)的x值及y值，利用這五個點(diǎn)，可以得到在一個周期內(nèi)的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數(shù)的變換作圖法，可由的圖象通過變換作圖法得到(ω>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導(dǎo)公式將余弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，即，再由的圖象通過變換作圖法得到的圖象即可.3．三角函數(shù)的圖象變換問題的求解方法解決三角函數(shù)圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：(1)定函數(shù)：一定要看準(zhǔn)是將哪個函數(shù)的圖象變換得到另一個函數(shù)的圖象；(2)變同名：函數(shù)的名稱要變得一樣；(3)選方法：即選擇變換方法.4．由部分圖象確定函數(shù)解析式的方法由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點(diǎn)”坐標(biāo)，那么由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的零點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則令即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo).利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或零點(diǎn))坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【題型1“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象】【例1】（24-25高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asinωx+φA>0,ω>0,xπ2ωx+φ0ππ32πy0400則A，ω，φ的值分別為（

）A．4，2，?π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【變式1-1】（24-25高一上·廣東揭陽·期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05?50根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，函數(shù)fx的解析式可以是（

A．fx=5sinC．fx=5sin【變式1-2】（24-25高二下·北京昌平·期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)fx=Asinωx+φ,ω>0,∣φ∣<ωx+φ0ππ32πxπ7Asin020?0(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)fx(2)若函數(shù)gx=fx?2sin【變式1-3】（24-25高一下·山東日照·階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)fxxπ5ωx+φ0ππ32y=A0300(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)fx(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出fx(3)將函數(shù)fx圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得函數(shù)圖像上所有點(diǎn)向左平移π8個單位長度得到gx的圖像，求【題型2描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程】【例2】（24-25高一下·廣東清遠(yuǎn)·期中）要得到函數(shù)y=3sin2x?π4的圖象，只需將y=3sinA．向左平移π8個單位 B．向右平移πC．向左平移π4個單位 D．向右平移π【變式2-1】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函數(shù)y=sin2x+π3A．向左平移π6個單位長度而得到 B．向右平移πC．向左平移π3個單位長度而得到 D．向右平移π【變式2-2】（24-25高一下·四川宜賓·期末）要得到函數(shù)y=sin2x+5π6A．向左平移π3個單位 B．向左平移5πC．向右平移π3個單位 D．向右平移5π【變式2-3】（24-25高一下·山東威?！て谀┮阎€C1:y=sinx，A．把C1上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍，再把得到的曲線上的所有點(diǎn)向左平移πB．把C1上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍，再把得到的曲線上的所有點(diǎn)向右平移πC．把C1上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再把得到的曲線上的所有點(diǎn)向左平移π6D．把C1上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再把得到的曲線上的所有點(diǎn)向右平移π12【題型3\t"/gzsx/zj145231/_blank"\o"求圖象變化前（后）的解析式"求圖象變化前（后）的解析式】【例3】（25-26高三上·河北·階段練習(xí)）把函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向左平移π6個單位長度，得到函數(shù)y=sinx的圖象，則f(x)=（A．sinx2?C．sin2x?π6【變式3-1】（2025高一·全國·專題練習(xí)）把函數(shù)y=sinx3?πA．y=sinx6C．y=sin2x3【變式3-2】（24-25高一下·江蘇常州·期末）已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π2<φ<π2A．y=2B．y=?2C．y=2D．y=?2【變式3-3】（24-25高一下·廣東茂名·期末）將函數(shù)y=sinx?π3的圖象向左平移π4個單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的1A．fx=sinC．fx=sin【題型4由部分圖象求函數(shù)的解析式】【例4】（24-25高一下·遼寧大連·期末）已知函數(shù)fx=Asinωx+φ

A．fB．將fx的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍，再向左平移π3個單位，得到gC．fx的對稱中心為kπD．若?π6<x【變式4-1】（24-25高二下·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分圖象如圖所示，將函數(shù)fA．gx=2sinC．gx=2sin【變式4-2】（24-25高一下·黑龍江黑河·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=AsinA．fB．將fx的圖象向左平移π6個單位長度后，得到函數(shù)C．直線x=π是fD．fx圖象的對稱中心為【變式4-3】（24-25高一下·天津河西·期中）函數(shù).fx=Asin①函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π②函數(shù)fx的解析式可以為③函數(shù)fx在π12,④若將fx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的23倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移πA．1 B．2 C．3 D．4【題型5\t"/gzsx/zj145231/_blank"\o"結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)"結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)】【例5】（24-25高一下·北京海淀·期中）將函數(shù)y=sinx圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ωω>0，再向左平移π5個單位，得到函數(shù)f①fx的圖象關(guān)于點(diǎn)?π5,0對稱；

②③fx在0,π5內(nèi)單調(diào)遞減；

④ω所有真命題的序號是（

）A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④【變式5-1】（24-25高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）將函數(shù)fx=2sin4x?π3的圖象向右平移π3A．圖象關(guān)于直線x=πB．曲線gx與直線y=3C．gx的一個單調(diào)遞增區(qū)間為D．圖象關(guān)于點(diǎn)π6【變式5-2】（24-25高一下·福建龍巖·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx(1)求f(x)的解析式及對稱中心；(2)先將fx的圖象縱坐標(biāo)縮短到原來的12倍，再向右平移π12個單位后得到gx的圖象，求函數(shù)【變式5-3】（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)?1在：①函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)為0；②函數(shù)f(x)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為π2；③函數(shù)fx圖象的一個最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)求f(x)的解析式；(2)把y=f(x)的圖象向右平移π6個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間?π3知識點(diǎn)2勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型1．勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖5.6-2).明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.【題型6三角函數(shù)模型在勻速圓周運(yùn)動中的應(yīng)用】【例6】（24-25高一下·四川成都·階段練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最低點(diǎn)距離地面高度為10m，轉(zhuǎn)盤半徑為50m，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．在運(yùn)行一周的過程中，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，則H關(guān)于

A．H=50sin(πC．H=50cos(π15【變式6-1】（24-25高一下·四川巴中·階段練習(xí)）筒車發(fā)明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一種古老的提水設(shè)備，距今已有1000多年的歷史，它以水流作動力，取水灌田．如圖，為了打造傳統(tǒng)農(nóng)耕文化，某景區(qū)的景觀筒車直徑12米，有24個盛水筒均勻分布，分別寓意一年12個月和24節(jié)氣，筒車轉(zhuǎn)一周需48秒，其最高點(diǎn)到水面的距離為10米，每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運(yùn)動，盛水筒A（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置P到水面的距離為7米．為了把水引到高處，在筒車中心O正上方距離水面8米處正中間設(shè)置一個寬4米的水平盛水槽，筒車受水流沖擊轉(zhuǎn)到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A轉(zhuǎn)一圈的過程中，有多長時間能把水倒入盛水槽．（參考數(shù)據(jù)：sin2π5≈A．245 B．265 C．275【變式6-2】（24-25高一下·河南南陽·階段練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用．假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動．如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），一個半徑為4米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2米，且按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每12s轉(zhuǎn)動1圈．如果以水輪上點(diǎn)P從水面浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)P0位置）開始計時，記點(diǎn)P距離水面的高度h(m)關(guān)于時間t(s)的函數(shù)解析式為h(t)=Asin(ωt+φ)+B（A>0

(1)求點(diǎn)P距離水面高度h(m)關(guān)于時間(2)若水面下降(23?2)m【變式6-3】（24-25高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均勻設(shè)置了36個座艙（如圖2）．開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，游客在座艙離地面最近時的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙.摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．

(1)經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，求H(t)的解析式．(2)問：游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度恰好為30米？【題型7函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【例7】（24-25高一下·廣東肇慶·期末）將函數(shù)y=sinx?3cosx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2，再將圖象向左平移φ個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其中0<φ<A．5π12 B．π12 C．π【變式7-1】（24-25高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)fx=3A．函數(shù)fx的最小正周期為B．