2/30專題01集合大題（舉一反三專項訓(xùn)練）【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________題型一題型一元素與集合的關(guān)系1．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A=x|a(1)若集合A中只有一個元素，求實數(shù)a的值；(2)若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若集合A中有兩個元素，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)a=0或a=1(2){a|a=0或a≥1}．(3){a|a<1且a≠0}．【解題思路】（1）由a=0，a≠0兩種情況討論即可；（2）由（1），再結(jié)合A中沒有元素討論即可；（3）由Δ=4?4a>0【解答過程】（1）當a=0時，原方程變?yōu)?x+1=0，此時x=?1當a≠0時，原方程ax故當Δ=4?4a=0，即a=1時，原方程的解為x=?1綜上，當a=0或a=1時，集合A中只有一個元素．（2）集合A中至多有一個元素，即集合A中只有一個元素或沒有元素．當集合A中只有一個元素時，由（1）可知，a=0或a=1．當A中沒有元素時，Δ=4?4a<0，且a≠0，即a>1綜上，當集合A中至多有一個元素時，實數(shù)a的取值范圍是{a|a=0或a≥1}．（3）由題意得a≠0，且Δ=4?4a>0所以a<1且a≠0，故實數(shù)a的取值范圍是{a|a<1且a≠0}．2．（24-25高一上·四川內(nèi)江·期中）已知集合A=x(1)若1∈A，求a的值；(2)若A中只有一個元素，求a的取值范圍；(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．【答案】(1)a=?3(2)a=0或a=1時，(3)a|a=0或a≥1【解題思路】（1）將x=1代入方程中即可求解，（2）（3）將問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0【解答過程】（1）由于1∈A，所以x=1是ax2+2x+1=0的實數(shù)根，故（2）當a=0時，原方程變?yōu)?x+1=0，此時x=?1當a≠0時，方程ax2+2x+1=0為一元二次方程，Δ=4?4a=0，即故當a=0或a=1時，原方程只有一個解，此時A只有一個元素．（3）若A中最多有一個元素，則A中可能無任何元素，或者只有一個元素，由（1）知當a=0時只有一個元素，當a≠0時，方程ax2+2x+2=0為一元二次方程，Δ=4?4a<0，即a>1時，Δ=0，即a=1時，方程有兩個相等的根，AA中最多有一個元素，a|a=0或a≥1.3．（24-25高一上·北京順義·階段練習(xí)）已知A=x|x=3k,k∈Z，B=(1)判斷3，5是否在集合A中，并說明理由；(2)判斷6m?2m∈Z是否在集合B(3)若a∈A，b∈B，判斷a+b是否屬于集合B，并說明理由．【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由見解析(2)6m?2m∈Z在集合B(3)a+b屬于集合B，理由見解析【解題思路】（1）根據(jù)集合A中元素的特征判斷求解；（2）根據(jù)集合B中元素的特征判斷求解；（3）設(shè)a=3p,p∈Z，b=3q+1,q∈Z，進而根據(jù)集合B中元素的特征判斷求解.【解答過程】（1）∵3=3×1，∴3在集合A中，令3k=5，則k=53?Z（2）6m?2=32m?1+1，且2m?1∈Z，故6m?2m∈Z（3）設(shè)a=3p,p∈Z，b=3q+1,q∈Z，則a+b=3p+q所以a+b屬于集合B.4．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若x∈A(x≠1且x≠0)，則11?x(1)若3∈A，試證明A中還有另外兩個元素；(2)集合A是否為只含有兩個元素的集合，并說明理由；(3)若A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為143，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A（提示：6x【答案】(1)證明見解析；(2)不是，理由見解析；(3)A=【解題思路】（1）根據(jù)集合A的性質(zhì)代入3計算可得集合A中還含有?1（2）根據(jù)集合中元素的互異性，易證明集合A中至少含有三個元素；（3）利用（2）中的結(jié)論可知集合A中的元素個數(shù)需為3的倍數(shù)，再由元素個數(shù)不超過8個以及所有元素的積可確定A中的元素個數(shù)必為6個，再由所有元素的和為143【解答過程】（1）證明：根據(jù)題意若3∈A，則11?3若?12∈A若23∈A，則因此可得集合A=3,?即可知集合A中除了含有3之外，還含有?1（2）由x∈A(x≠1且x≠0)，可得11?x由11?x∈A可得由1?1x∈A可得x∈A，且x≠所以x≠1即可得集合A中至少含有3個元素，所以集合A不可能為只含有兩個元素的集合.（3）由（2）可知，若x∈A，則x,1易知集合A中的元素個數(shù)需為3的倍數(shù)，若A中元素個數(shù)不超過8個，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，由x?11?x?1?1因此6個元素的積必為1，不妨取x2=1，解得x=?1或可知?1,1又所有元素的和為143，不妨設(shè)?1+根據(jù)提供解析式可解得m=?12或m=3或所以A=?1,5．（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知A是滿足下列條件的集合：①0∈A，1∈A；②若x,y∈A，則x?y∈A；③若x∈A且x≠0，則1x(1)判斷2∈A，3∈A是否正確，并說明理由；(2)證明：若x∈A，x≠0且x≠1，則1x(3)證明：若x,y∈A，則xy∈A.【答案】(1)正確，理由見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析；【解題思路】（1）根據(jù)0∈A，1∈A，利用條件②可依次推出?1∈A，2∈A，3∈A；（2）由x∈A，1∈A可知x?1∈A，再由條件③可知1x∈A，（3）由x,y∈A并結(jié)合（2）中的結(jié)論可得x2∈A,y2∈A，再依次證得?x∈A，x+y【解答過程】（1）2∈A，3∈A正確，理由如下：因為0∈A，1∈A，由條件②可知0?1=?1∈A，由1∈A，?1∈A，可得1??1由2∈A，?1∈A，可得2??1因此2∈A，3∈A的說法正確；（2）因為x∈A，x≠0且x≠1，又1∈A，可得x?1∈A；結(jié)合條件③可知1x∈A，再由條件②可知1x?1即1x（3）由（2）中1xx?1∈A又由條件②知xx?1當x=0或x=1時，易知02即可得當x∈A時，x2∈A，同理可得又當x∈A時，0∈A，則?x=0?x∈A，則?x則由x∈A,y∈A可知x+y=x??y∈A，則所以x+y2?x因此?12xy∈A，所以1即若x,y∈A，則xy∈A得證.6．（24-25高一上·上海·階段練習(xí)）已知集合A的元素為實數(shù)，滿足①a≠0且a≠1；②若a∈A，則1+a1?a(1)若a=2，求A；(2)集合A有沒有可能是單元素集?(3)若a∈A，證明：a?1a+1【答案】(1){?3,?1(2)沒有可能；(3)證明見解析.【解題思路】（1）利用定義依次計算即得.（2）假定是，結(jié)合定義計算導(dǎo)出矛盾即可.（3）利用給定的定義計算推理即得.【解答過程】（1）當a=2時，即2∈A，則1+a1?a=1+21+(?12)1?(?1（2）假設(shè)集合A是單元素集，由a∈A，則1+a1?a∈A，得a=1+a所以集合A不可能是單元素集.（3）由a∈A，得a≠0且a≠1，1+a1?a∈A，于是1?1a1+題型二題型二集合間的基本關(guān)系7．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)集合A=x∈R|(1)若集合B有且僅有兩個子集，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1){?1}．(2){a|a≤?1或a=1}．【解題思路】（1）由集合B有且僅有兩個子集，所以集合B只有一個元素，結(jié)合Δ=0，求得a（2）先求得A={?4,0}，根據(jù)B?A，所以集合B可能是?，{0}，{?4}，{0,?4}，分情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出方程組，即可求解.【解答過程】（1）解：由集合B=x∈因為集合B有且僅有兩個子集，所以集合B只有一個元素，故Δ=4(a+1)2?4a所以實數(shù)a的取值范圍是{?1}．（2）解：由x2+4x=0，解得x=0或x=?4，所以因為B?A，所以集合B可能是?，{0}，{?4}，{0,?4}；當B=?時，即方程x2則Δ=4(a+1)2?4a當B={0}時，即方程x2Δ=4a+12當B={?4}時，即方程x2+2(a+1)x+a則Δ=4當B={?4,0}時，方程x2+2(a+1)x+a2?1=0則Δ=4a+12綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤?1或a=1}．8．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知全集U=R，集合M=x∈Rx(1)若a=5，存在集合P，使得M?P?N，求出這樣的集合P．(2)是否存在集合M，N，滿足M?N？若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)?4，1，3，?4,1，?4,3，1,3．(2)存在，{aa=3或a>4}【解題思路】（1）化簡M,N，再結(jié)合M?P?N逐個列舉即可；（2）由M=?和M≠?兩類情況討論求解.【解答過程】（1）當a=5時，M=x∈N=x∈又因為M?P?N，所以這樣的集合P共有6個：?4，1，3，?4,1，?4,3，1,3．（2）當M=?，即?42?4a<0，a>4時，當M≠?時，若x2?4x+a=0有兩個相等的實數(shù)根，即?42此時M=x∈若x2又M?N，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得兩根x1+x2=4綜上，實數(shù)a的取值范圍為{aa=3或a>4}9．（24-25高一上·河北廊坊·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若A?B，求實數(shù)a的取值范圍【答案】(1){a|a≤?1或a=1}(2)a=1【解題思路】（1）由B?A，對集合B進行分類討論：①若B=?，②若B為{0}，{?4}，③若B=A=?4,0，由此求得a（2）先化簡集合A，B，再由A?B，能求得a的值．【解答過程】（1）集合A={x|x2B?A，①若B=?，則Δ則a<?1；②若B={0}或{?4}，則Δ解得：a=?1，將a=?1代入方程x2+2(a+1)x+a2?1=0得：x③若B=A={?4,0}，則Δ=8a+8>0，即即x2+2(a+1)x+a則有a2?1=0且則a=1綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤?1或a=1}．（2）∵A?B，∴B=A={0,?4}，則Δ=8a+8>0，即即0和?4是方程x2∴0?4=?2(a+1)=?40×(?4)=解得：a=1或a=?1（舍去）故a=1．10．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）已知集合A=x(1)若A??，求實數(shù)a的取值集合.(2)若A的子集有兩個，求實數(shù)a的取值集合.(3)若1∈A且B?A，求實數(shù)b的取值集合.【答案】(1)a(2)0,3(3)0,?1,3【解題思路】（1）根據(jù)A??，可得A=?，再分a=0和a≠0兩種情況討論即可；（2）由題意可得集合A中只有一個元素，再分a=0和a≠0兩種情況討論即可；（3）先根據(jù)1∈A求出a，進而求出集合A，再分b=0和b≠0兩種情況討論即可.【解答過程】（1）因為A??，所以A=?，當a=0時，則A=?當a≠0時，則Δ=36?12a<0，解得a>3綜上所述，實數(shù)a的取值集合為aa>3（2）因為A的子集有兩個，所以集合A中只有一個元素，當a=0時，則A=?當a≠0時，則Δ=36?12a=0，解得a=3綜上所述，實數(shù)a的取值集合為0,3；（3）因為1∈A，所以a+6+3=0，解得a=?9，所以A=x當b=0時，B=??A，當b≠0時，B=?因為B?A，所以?1b=?13或?綜上所述，實數(shù)b的取值集合為0,?1,3.11．（24-25高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|?(1)若A?B,求實數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)a<?8或a≥2；(2)a=2【解題思路】（1）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A?B求解；（2）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A=B求解；【解答過程】（1）當a=0時，A=R，A?B當a<0時，A=x|4a≤x<?1a，因為當a>0時，A=x|?1a<x≤4a，因為綜上：實數(shù)a的取值范圍是a<?8或a≥2；（2）當a=0時，A=R，A=B當a<0時，A=x|4a當a>0時，A=x|?1a<x≤4a，因為綜上：實數(shù)a的值是2.12．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合A=x(1)若B?A，B={xm+1≤x≤2m?1,m為常數(shù)}，求實數(shù)m(2)若A?B，B={xm+1≤x≤2m?1,m為常數(shù)}，求實數(shù)m(3)若B={xm+1≤x≤2m?1,m為常數(shù)}，是否存在實數(shù)m，使得A=B？若存在，求出m【答案】(1)m|m≤3(2)?(3)不存在，理由見解析【解題思路】（1）由集合的包含關(guān)系，分B=?和B≠?兩種情況，列不等式求實數(shù)m的取值范圍；（2）由集合的包含關(guān)系，列不等式求實數(shù)m的取值范圍；（3）由集合的相等關(guān)系，列方程組求實數(shù)m的值.【解答過程】（1）①若B=?，滿足B?A，則m+1>2m?1，解得m<2．②若B≠?，滿足B?A，則2m?1≥m+1,m+1≥?2,2m?1≤5,解得由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為m|m≤3．（2）若A?B，數(shù)軸表示如下：依題意有m+1≤?2,2m?1≥5,m+1≤2m?1,此時m的取值范圍是?．（3）假設(shè)存在滿足題意的實數(shù)m．若A=B，則必有m+1=?2且2m?1=5，此時無解，即不存在使得A=B的實數(shù)m．題型三題型三集合的運算問題13．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A={x∣?5<x<2},B={x∣2a?3<x<a+1}．(1)若C=3,4,a2(2)從條件①②③中選擇一個作為已知條件，求實數(shù)a的取值范圍．條件：①A∩B=B；②B∩?RA【答案】(1)a=1(2)答案見解析【解答過程】解：（1）由于0∈(B∩C)，所以a2+2a?3=0,2a?3<0<a+1,（2）若選①，由A∩B=B得B?A．當B=?時，則2a?3≥a+1，解得a≥4，滿足條件；當B≠?時，則2a?3<a+1,2a?3≥?5,a+1≤2,解得綜上，實數(shù)a的取值范圍是[?1,1]∪[4,+∞若選②，B∩?當B=?時，2a?3≥a+1，解得a≥4，滿足條件：當B≠?時，?RA={x∣x≥2或x≤?5}，則2a?3<a+1,2a?3≥?5,綜上，實數(shù)a的取值范圍是[?1,1]∪[4,+∞若選③，A∪?當B=?時，2a?3≥a+1，解得a≥4，滿足條件；當B≠?時，?RB={x∣x≥a+1或x≤2a?3}，則2a?3<a+1,2a?3≥?5,綜上，實數(shù)a的取值范圍是[?1,1]∪[4,+∞14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合A={x?3≤x<4(1)當m=1時，求A∩?(2)若A∩B=B，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)x?3≤x<1或2<x<4(2)m【解題思路】（1）先計算?RB，再計算（2）由A∩B=B得B?A，再分類討論.【解答過程】（1）當m=1時，B=x1≤x≤2，則?R則A∩?RB（2）若A∩B=B，則B?A,當B=?時，2m?1>m+1，即m>2；當B≠?時，?3≤2m?1≤m+1<4，得?1≤m≤2，則實數(shù)m的取值范圍為mm≥?115．（24-25高一上·四川廣元·期末）已知集合A=x3?a≤x≤3+a，B=x(1)當a=2時，求A∩B和A∪B；(2)若a>0，且A∩?RB【答案】(1)A∩B=x4<x≤5，A∪B=xx<0(2)0<a≤1【解題思路】（1）利用交集和并集概念求出答案；（2）先得到?RB=x0≤x≤4，A??【解答過程】（1）a=2時，A=x1≤x≤5，又B=x故A∩B=x1≤x≤5∩xx<0或x>4A∪B=x1≤x≤5∪xx<0或x>4（2）A∩?RB?R當A=?時，3?a>3+a，解得a<0，與a>0矛盾，舍去，當A≠?時，3?a≤3+a3?a≥03+a≤4，解得綜上，實數(shù)a的取值范圍為0<a≤1.16．（24-25高一上·廣西河池·期末）已知集合U=1,2,3,5,7,9(1)求A∩?(2)若集合C=x∣x?2x?a=0，是否存在實數(shù)a，使得【答案】(1)A∩?U(2)存在，a=2或3或5.【解題思路】（1）求出?UA,?（2）分類討論求出集合C，根據(jù)A∪C=A得C?A，可得答案.【解答過程】（1）∵U=1,2,3,5,7,9∴?∴A∩??（2）存在.C=x∣①當a=2時，C=2，滿足A∪C=A，所以a=2②當a≠2時，C=2,a，要滿足A∪C=A，則C?A因為A=2,3,5，所以a=3綜上所述，a=2或3或5.17．（24-25高一上·天津南開·期中）已知全集為R，集合A=x|x<?1或x>6，B=(1)若m=2，求?R(2)若?RA∪B=【答案】(1)?RB∪A=(2)?∞【解題思路】（1）先求出當m=2時的集合B，再根據(jù)補集和并集定義即可計算求解.（2）先由題意求得B??RA，接著求出?RA【解答過程】（1）若m=2，則B=x|1?m≤x≤1+m所以?RB=x|x<?1或x>3，又集合A=所以?RB∪A=（2）因為?RA∪B=因為?RA=x|?1≤x≤6所以當B=?時符合題意，此時1?m>1+m，即m<0；當B≠?時，要使B??則1?m≤1+m1?m≥?11+m≤6，解得綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為?∞18．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知關(guān)于x不等式x?a≤2的解集A=x0≤x≤4(1)求實數(shù)a的值；(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求實數(shù)m的取值范圍．條件①：?2,4?條件②：A∩B=A．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.【答案】(1)a=2(2)選擇見解析，答案見解析【解題思路】（1）根據(jù)絕對值不等式的幾何意義，得到a?2≤x≤a+2，再結(jié)合條件，即可求解；（2）選擇①，根據(jù)條件，結(jié)合圖形，得到m?3≤?2m+3≥0，即可求解；選項擇②，根據(jù)條件，結(jié)合圖形，得到m?3≤0【解答過程】（1）由x?a≤2，得到?2≤x?a≤2，即a?2≤x≤a+2又因為關(guān)于x不等式x?a≤2的解集A=所以a?2=0a+2=4，解得a=2，所以實數(shù)a的值為2（2）選擇條件①，因為A=x0≤x≤4，又?2,4?m?3≤?2m+3≥0，解得?3≤m≤1選擇條件②，因為A=x0≤x≤4，又A∩B=A，即A?B，由圖知，m?3≤0m+3≥4，解得1≤m≤3題型四題型四集合與充分、必要條件交匯19．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合A=x∣?2≤x?1≤5，集合B=(1)若m=3，求?R(2)設(shè)命題p:x∈A；命題q:x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)?(2)?【解題思路】（1）求出集合A,B，再求?R（2）由命題p是命題q的必要不充分條件得集合B是集合A的真子集，再分B=?、B≠?討論可得答案.【解答過程】（1）A=x∣?2≤x?1≤5若m=3，則集合B=x∣4≤x≤5所以A∪B=?1,6則?RA∪B=（2）∵命題p是命題q的必要不充分條件，∴集合B是集合A的真子集，當B=?時，m+1>2m?1，解得m<2，當B≠?時，m+1≤2m?1m+1>?12m?1≤6，或解得2≤m≤7綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為?∞20．（24-25高一上·四川自貢·階段練習(xí)）已知集合A=x?2≤x?1≤5，集合(1)若m=4，求?R(2)若集合A成立的充分不必要條件是集合B，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)xx<?1或(2)m≤【解題思路】（1）利用并集與補集定義計算即可得；（2）由題意可得集合B是集合A的真子集，再分B=?與B≠?計算即可得.【解答過程】（1）由題意可知A=x若m=4，則B=x故A∪B=x?1≤x≤7，則?R（2）由題意可得集合B是集合A的真子集，當B=?時，m+1>2m?1，解得m<2，當B≠?時，則有m+1≤2m?1，解得m≥2，且m+1≥?12m?1≤6（等號不能同時成立），解得2≤m≤綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為m≤721．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）設(shè)集合A={x|?7≤2x?1≤7}，B={x|m?1≤x≤3m?2}.(1)當m=3時，求A∩B，(?(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤4}，(?RA)∪B={x|x<?3(2)m≤2【解題思路】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及補集運算的概念求解即可；（2）根據(jù)題意得B是A的真子集，按照B=?和B≠?分類討論，列不等式組求解即可，注意求并集.【解答過程】（1）由?7≤2x?1≤7，可得?6≤2x≤8，解得?3≤x≤4，所以A={x|?3≤x≤4}，?RA={x|x<?3或當m=3時，集合B={x|3?1≤x≤3×3?2}，即B={x|2≤x≤7}，所以A∩B={x|2≤x≤4}，(?RA)∪B={x|x<?3（2）因為“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，所以B是A的真子集，當B=?時，m?1>3m?2，解得m<1當B≠?時，m?1≤3m?2m?1≥?3由m?1≤3m?2得m≥12，由m?1≥?3得m≥?2，由3m?2≤4得所以12綜上，實數(shù)m的取值范圍是m≤2.22．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A={x∣?1<x<3}，集合B={x|?1<x<m+1}．(1)若x∈A是x∈B成立的一個充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若x∈A是x∈B成立的充要條件，求實數(shù)m的值．【答案】(1){m∣m>2}．(2)2【解題思路】（1）由題意A是B的真子集，構(gòu)造不等式即可求解；（2）由題意得到A=B，進而可求解.【解答過程】（1）由題意?A是B的真子集，所以m+1>3，即m>2，所以實數(shù)m的取值范圍為{m∣m>2}.（2）因為x∈A是x∈B成立的充要條件，所以A=B,所以m+1=3，即m=2．即實數(shù)m的值為2．23．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合A=xa?1≤x≤2a+3，B=x(1)當a=1時，求?U(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)?(2)a【解題思路】（1）當a=1時，寫出集合A，利用補集和交集的定義可得出集合?U（2）由題意可知，集合A為集合B的真子集，分A=?、A≠?兩種情況討論，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式（組），綜合可得出實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】（1）當a=1時，集合A=x0≤x≤5，全集U=R，則?U又因為集合B=x?1≤x≤4，故（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分條件，則集合A為集合B的真子集，當A=?時，a?1>2a+3，解得a<?4；當A≠?時，由題意可得a?1≤2a+3a?1≥?12a+3≤4，解得檢驗：當a=0時，A=x?1≤x≤3，此時集合A為集合當a=12時，A=x?1綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是aa<?424．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合A=x|m?1≤x≤2m，B=(1)當m=3時，求A∩B，A∪?(2)從①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；②A∩?RB=?問題：若_______，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤3}，A∪?R(2)答案見解析【解題思路】（1）由集合的交并補混合運算求解即可；（2）選①，由題意得到A是B的真子集，再分集合A是否為空集討論即可；選②，因為A∩?RB=?，所以A?B，再分集合A是否為空集討論即可；選③，A∪B=B，所以A?B【解答過程】（1）當m=3時，A=x|2≤x≤6，又B=∴A∩B={x|2≤x≤3}，又?RB=x|x<0∴A∪?RB=（2）選①，因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A是B的真子集，若A=?，則m?1>2m，解得m<?1；若A≠?，則m?1≤2mm?1≥02m≤3且等號不能同時成立，解得綜上，m<?1或1≤m≤32，即m選②，因為A∩?RB=?選③，A∪B=B，所以A?B，下同選①.題型五題型五集合與命題交匯25．（24-25高一上·湖北宜昌·階段練習(xí)）已知集合A={x||2x?1∣≤5}，B={x∣x<?3或x≥1}．(1)求?RA，(2)若集合C={x∣2m<x<m+1}，且“?x∈C，x?A”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)?RA={x∣x<?2或x>3}(2){m∣m≤?3或m≥1}【解題思路】（1）求出集合A然后求其補集即可，求出集合B的補集，再求與集合A的交集即可.（2）由題意可得A∩C=?，討論集合C是否為空集即可.【解答過程】（1）集合A={x∣?2≤x≤3}，B={x∣x<?3或x≥1}，則?RA={x∣x<?2或x>3}，?（2）?x∈C，x?A為真命題，即A∩C=?，又C={x∣2m<x<m+1}，A={x∣?2≤x≤3}，當C=?時，2m≥m+1，即m≥1，此時A∩C=?，符合題意；當C≠?時，由A∩C=?可得2m<m+1m+1≤?2或2m<m+12m≥3，解得綜上，m的取值范圍為：{m∣m≤?3或m≥1}．26．（24-25高一上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知集合A=x|1≤x≤7，B=x|?3m+1≤x≤m?1，且(1)若命題p:?x∈A，x∈B是真命題，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題q:?x∈B，x?A是假命題，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)8,+(2)2,+【解題思路】（1）由命題p為真命題可得A?B，且B≠?，再根據(jù)子集列不等式求解范圍即可；（2）由q:?x∈B，x?A是假命題，則q:?x∈B，x∈A是真命題，即A∩B≠?，再列不等式求解即可.【解答過程】（1）由命題p為真命題可得A?B，且B≠?則?3m+1≤m?1?3m+1≤1m?1≥7，解得即實數(shù)m的取值范圍為8,+∞（2）∵q:?x∈B，x?A是假命題∴q:?x∈B，x∈A是真命題，即A∩B≠?∴?3m+1≤m?1?3m+1≤7m?1≥1即實數(shù)m的取值范圍為2,+∞27．（24-25高一上·青海西寧·階段練習(xí)）已知集合A=x1<x<3，集合B=x(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題“?x∈B，都有x∈A”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍;(3)若A∩B=?，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)?(2)1(3)0,+【解題思路】（1）根據(jù)已知條件得A是B的真子集，列不等式組即可求解；（2）根據(jù)已知條件得B是A的子集，討論B=?和B≠?，列不等式組即可求解；（3）討論B=?和B≠?，列不等式組即可求解.【解答過程】（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則A是B的真子集，所以2m≤11?m≥3，解得m≤?2所以實數(shù)m的取值范圍為?∞（2）若命題“?x∈B，都有x∈A”是真命題，則B是A的子集，當B=?時，2m≥1?m，得m≥1當B≠?時，2m<1?m2m≥1綜上實數(shù)m的取值范圍為13（3）若A∩B=?，當B=?時，2m≥1?m，得m≥1當B≠?時，2m<1?m1?m≤1或2m<1?m2m≥3，解得綜上m≥0，所以實數(shù)m的取值范圍為0,+∞28．（24-25高一上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知集合A={x|?5≤x≤?3},B={x|3m?2<x<2m+2}.(1)若A∪B=B，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p:“?x∈B，都有x∈A”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若A∩B≠?，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1){x|?(2)m(3){m|?【解題思路】（1）由A∪B=B，得到A?B，根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到B?A，分B=?和B≠?，兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；（3）由A∩B≠?，根據(jù)集合交集的運算，列出等價不等式組，即可求解.【解答過程】（1）解：由集合A={x|?5≤x≤?3},B={x|3m?2<x<2m+2}，因為A∪B=B，可得A?B，則滿足所以3m?2<?52m+2>?3，解得?所以實數(shù)m的取值范圍為：{x|?5（2）解：由命題p:“?x∈B，都有x∈A”為真命題，則B?A；①當B=?時，3m?2≥2m+2，即m≥4，此時B?A；②當B≠?時，需滿足3m?2<2m+23m?2≥?5所以實數(shù)m的取值范圍為：mm≥4（3）解：因為A∩B≠?，則滿足?5≤3m?2<?33m?2<2m+2或?5<2m+2≤?33m?2<2m+2或解得?1≤m<?13或?7所以實數(shù)m的取值范圍為{m|?729．（24-25高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合A=x∣6≤x≤20，集合B=x∣x≤2a，命題p:?x∈A,x∈B，命題q:?x∈R(1)若命題p為假命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)a(2)aa<?1或【解題思路】（1）先根據(jù)p為真命題分析出A∩B≠?，由此求解出a的范圍，然后取對應(yīng)范圍在實數(shù)集下的補集即為結(jié)果；（2）考慮命題p,q均為假命題時a的取值范圍，然后取對應(yīng)范圍在實數(shù)集下的補集即為結(jié)果.【解答過程】（1）若p為真命題，則A∩B≠?，所以2a≥6，所以a≥3，所以命題p為假命題時，a的取值范圍為aa（2）當q為假命題時，即“?x∈R,所以Δ=4+4a≥0，所以a的取值范圍為a所以當p,q均為假命題時a的取值范圍為aa所以當命題p和命題q至少有一個為真命題時a的取值范圍為aa<?1或a≥330．（24-25高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知集合A=x?2≤x≤3，B=x(1)求?RB，(2)若集合C=x2m<x<m+1，且?x∈C,x∈A為假命題，求【答案】(1)x?2≤x≤5，xx<?2(2)?【解題思路】（1）由集合的交并補運算可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為A∩C=?，對C是否為空集討論即可得解.【解答過程】（1）由B=xx<?2,或x>5又A=x?2≤x≤3，則?R故?RA∩B=（2）∵?x∈C，∴?x∈C，x?A為真命題，即又C=x|2m<x<m+1，A=當C=?時，2m≥m+1，即m≥1，A∩C=?當C≠?時，由A∩C=?可得，2m<m+1m+1≤?2，或2m<m+1解得m≤?3，綜上，m的取值范圍為?∞題型六題型六集合的新定義問題31．（24-25高一上·湖南·階段練習(xí)）設(shè)集合A是至少有兩個元素的實數(shù)集，集合FA=zz=xy,x,y∈A且x≠y，稱集合(1)當A=1,2,4,8,32時，寫出集合A的積集F(2)若A=a1,(3)若A=a1,a2【答案】(1)F(2)5(3)±【解題思路】（1）根據(jù)題意，得到FA（2）不妨設(shè)0<a1<a2（3）FA中的元素個數(shù)最多的情況是6個互不相同的數(shù)，同時A中沒有兩個數(shù)互為相反數(shù)，a1,a2,a【解答過程】（1）A=1,2,4,8,32，故1×2=2,1×4=4,1×8=8,1×32=322×4=8,2×8=16,2×32=64,4×8=32,4×32=128,8×32=256，故FA（2）A=a不妨設(shè)0<a因為a1a2當A=2,22故FA（3）由條件可知，對于一個4元集合A=aFA中的元素個數(shù)最多的情況為a同時FA中沒有兩個數(shù)互為相反數(shù)，因此A由此知，a1,a則alaj1≤i≤j≤4中最小的與次小的兩個數(shù)分別為最大與次大的兩個數(shù)分別為a3a4從而必有a1于是a2所以a1當?18a12=?3又a1當?18a12易得a1=1經(jīng)檢驗，均滿足要求，故a1集合A中的所有元素之和為±1932．（24-25高一上·北京·期中）設(shè)A是由有限個正整數(shù)組成的集合，定義A+A=x+yx,y∈A．如果A+A∩A=?，稱A是“好集”．例如，A=1,2時，(1)判斷A=1,3(2)證明：如果A?B且B是“好集”，那么A是“好集”；(3)求所有的集合A，使得①A?1,2,3,4,5②A是“好集”；③不存在“好集”B?1,2,3,4,5，使得A是B【答案】(1)是，理由見解析(2)證明見解析(3)1,4，2,3，2,5，1,3,5，3,4,5.【解題思路】（1）直接根據(jù)定義即可判斷；（2）利用“好集”的定義，證明該結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)果，列舉不同情況即可得到答案.【解答過程】（1）由于A+A=2,4,6，A=1,3，二者交集為空，故（2）顯然此時A+A?B+B，A?B，而B+B∩B=?，故A+A∩A=?，所以（3）由于1,2，2,4，1,3,4，1,4,5，2,3,5都不是“好集”，所以“好集”不能包含這些集合中的任何一個.那么，包含于1,2,3,4,5的“好集”就只可能是空集，單元素集，除1,2和2,4以外的雙元素集，以及1,3,5，3,4,5，經(jīng)過驗證，這些集合都是“好集”.再加上A不能被更大的“好集”包含的要求，滿足條件的A就只能是1,4，2,3，2,5，1,3,5，3,4,5.33．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）含有有限個元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如，4,6,9的元素和是4+6+9=19；交替和是9?6+4=7；而5的元素和與交替和都是5.(1)寫出集合1,2,3的所有非空子集的交替和的總和.(2)已知集合M=1,2,3,4,5,6①求集合M所有非空子集的元素和的總和；提示：?x∈M，先求出x在集合M的非空子集中一共出現(xiàn)多少次，進而可求出集合M的所有非空子集的元素和的總是；②求集合M所有非空子集的交替和的總數(shù).【答案】(1)12；(2)①672；②192.【解題思路】（1）先求出集合1,2,3的所有非空子集，根據(jù)“交替和”的定義分別求和后可得所有的“交替和”的和；（2）①根據(jù)提示可計算每個元素出現(xiàn)的次數(shù)求所有非空子集的元素和的總和；②通過（1）歸納出集合1,2,3,?,n的所有非空子集的交替和的總和.【解答過程】（1）集合1,2,3的非空子集為1，2，3，2,1，3,1，3,2，3,2,1，集合1，2，3的交替和分別為1，2，3，集合2,1的交替和為2?1=1，集合3,1的交替和為3?1=2，集合3,2的交替和為3?2=1，集合3,2,1的交替和為3?2+1=2，所以集合1,2,3的所有非空子集的交替和的總和為1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合1,2,3所有非空子集中，1，2，3，2,1，3,1，3,2，3,2,1，數(shù)字1、2、3各出現(xiàn)4=2集合1,2,3,4所有非空子集為：1，2，3，4，2,1，3,1，4,1，3,2，2,4，3,4，3,2,1，4,2,1，4,3,1，4,3,2，4,3,2,1，其中數(shù)字1、2、3、4各出現(xiàn)8=2在集合1,2,3,4,5所有非空子集中，含1的子集的個數(shù)為24因此數(shù)字1在16個子集中出現(xiàn)，即數(shù)字1在所有的非空子集中出現(xiàn)了16次，同理數(shù)字2、3、4、5各出現(xiàn)24同理在集合1,2,3,4,5,6所有非空子集中，數(shù)字1、2、3、4、5、6各出現(xiàn)25所以集合M所有非空子集的元素和的總和為32(1+2+3+4+5+6)=672.②1,2,???,n的子集一共有2n個，按照子集是否含有n每一個含n和去掉n的兩個配對子集交替和之和為n，因為不含n的子集共有2n?1所以1,2,???,n的所有非空子集的交替和總和為Sn=n?2所以集合M所有非空子集的交替和的總和S634．（24-25高一上·安徽銅陵·期末）對于非空集合U，記Ω={x∣x?U}．若集合A?Ω，且滿足如下兩個條件：①對任意的M,N∈A，有M∪N∈A；②對任意的M∈A，有?U(1)若集合U={1,2,3}，試寫出集合U的所有“完美子集類”；(2)已知A是集合U的一個“完美子集類”，證明：（Ⅰ）?∈A；（Ⅱ）對任意的M,N∈A，有M∩N∈A．【答案】(1)答案見解析(2)（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析【解題思路】（1）根據(jù)“完美子集類”的定義，寫出集合U的所有“完美子集類”即可；（2）（i）由A是U的“完美子集類”，可知對于任意的M∈A,?UM∈A，從而U=M∪?UM∈A，即可證得?∈A；（ii）由A是U的“完美子集類”及“完美子集類”得定義可得?【解答過程】（1）集合U的“完美子集類”有:{?,{1,2,3}},{?,{1},{2,3},{1,2,3}},{?,{2},{1,3},{1,2,3}},{?,{3},{1,2},{1,2,3}},{?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}{1,2,3}}.（2）（i）因為A是U的“完美子集類”，所以對于任意的M∈A,?從而U=M∪?所以?=?（ii）因為A是U的“完美子集類”，所以對于任意的M,N∈A，?U從而?U下證：M∩N=一方面，x∈M∩N?x∈M且x∈N?x??UM即x??另一方面，x∈?x??UM或x??故M∩N=?35．（24-25高一上·云南玉溪·期末）設(shè)k是正整數(shù)，A