13.3.1三角形的內(nèi)角（第1課時(shí)）（解析版）目錄TOC\o"1-3"\h\u類型一、利用三角形內(nèi)角和求角度 1類型二、跨學(xué)科問(wèn)題 1類型三、三角板問(wèn)題 2TOC\o"1-3"\h\u類型一、利用三角形內(nèi)角和求角度1．如圖，中，平分，．，．則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了與角平分線的三角形內(nèi)角和性質(zhì)，直角三角形兩個(gè)銳角互余，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由平分，得，根據(jù)，則，再把數(shù)值代入，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，在中，，∴，即，解得，故選：D2．某哨兵在燈塔A處觀察到船只B在燈塔的北偏西方向上，船只C在燈塔的北偏東方向上，船只B上的人觀察到船只C在他的南偏東方向上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了方向角的有關(guān)計(jì)算，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意可知：，，，由平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，，，∵，∴，∴，∴，故選：B3．將直尺和圓規(guī)按如圖方式擺放在水平桌面上，圓規(guī)的兩腳恰好接觸直尺的一組對(duì)邊．已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解圖示，掌握以上知識(shí)是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，∴，∵，∴，故選：D．4．若中，，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程的應(yīng)用，先設(shè)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，求出即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)題意，得，解得，∴．故選：C．5．如圖，直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)、垂線的定義、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，然后代入已知條件求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵，∴，∴，故選A．6．在中，，，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的和是．根據(jù)已知條件和三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是求出答案即可．【詳解】解：，，，，，，故答案為：．7．在中，，是的高，是的角平分線，則．【答案】/15度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義．根據(jù)已知條件用表示出和，利用三角形的內(nèi)角和求出，再求出，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，最后根據(jù)角平分線的定義求出即可．【詳解】解：∵，設(shè)，∴，，∵，∴，解得：，∴，，∵是的高，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴．故答案為：．8．在一個(gè)直角三角形中，已知一個(gè)銳角比另一個(gè)銳角的倍多，則較小銳角的度數(shù)為．【答案】/15度【分析】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，關(guān)鍵步驟是正確設(shè)定變量并準(zhǔn)確列方程，最終求出較小的銳角度數(shù)．本題設(shè)定未知數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，建立方程求解較小的銳角度數(shù)．【詳解】解：設(shè)較小的銳角為，則較大的銳角為，

根據(jù)直角三角形兩銳角之和為，得：

，解得：，所以較小銳角的度數(shù)為．故答案為：．9．已知△中，，，求、、的度數(shù)及的面積．【答案】，，【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及三角形的分類，三角形的面積，根據(jù)題意設(shè)、、的度數(shù)分別為、、，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出、，則是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：設(shè)、、的度數(shù)分別為、、，

由三角形內(nèi)角和定理可得：解得所以、，

所以是等腰直角三角形，,則10．如圖,在中，，分別是邊上的高,且與相交于點(diǎn),求及的度數(shù)．【答案】∠A=54°；.【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求出∠A的度數(shù)；由垂直的定義，以及，，求出∠BCE和∠CBD，然后求出∠BOC.【詳解】解：根據(jù)題意，∵在中，，，∴；∵BD垂直AC，CE垂直AB，∴，∴∠BCE=，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和余角的性質(zhì)進(jìn)行求角度.11．如圖，∠A＝26°，∠B＝50°，∠DFE＝128°，求∠C的度數(shù)．【答案】52°【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和即可求出∠FDC的度數(shù)，再根據(jù)互補(bǔ)兩角的和為180°，即可得出∠DFC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°即可得出∠C的度數(shù)．【詳解】∵∠A＝26°，∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－(∠A＋∠B)＝104°，∴∠CDF＝180°－∠ADB＝76°，∵∠DFE＝128°，∴∠CFD＝180°－∠DFE＝52°，在△CDF中，∠C＝180°－∠CDF－∠CFD＝52°【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和為180°，以及互補(bǔ)兩角的和為180°，難度適中．12．如圖，在中，，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)即可；根據(jù)及三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，再由即可求出的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)用、表示出的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用表示出的度數(shù)，，化簡(jiǎn)即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵平分，∴；∵，，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴．13．如圖，在中，平分，，．求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線，先根據(jù)角平分線的定義求出度數(shù)，然后在中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵平分，，∴，又，∴．類型二、跨學(xué)科問(wèn)題1．跨學(xué)科試題·物理

如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．利用平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：，，，，，，，故選：B．2．一個(gè)魔方靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角的度數(shù)為，則支持力與重力方向的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由已知得，即得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而得出即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖∵重力的方向豎直向下，∴，∴，∵摩擦力的方向與斜面平行，∴，∵支持力的方向與斜面垂直，∴∴故選：C．3．立定跳遠(yuǎn)動(dòng)作中，從起跳到落地瞬間的幾個(gè)身體相關(guān)關(guān)節(jié)的角度，對(duì)跳遠(yuǎn)成績(jī)起著舉足輕重的作用．如圖是小李落地瞬間的動(dòng)作及其示意圖，若，．，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，先求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)論即可．【詳解】解：如下圖：，，，，，，故選：B．4．小東同學(xué)使用激光筆進(jìn)行折射實(shí)驗(yàn)．當(dāng)光線從空氣進(jìn)入水中時(shí)，它的傳播方向會(huì)發(fā)生改變．已知實(shí)驗(yàn)裝置中液面與玻璃杯底面平行，其截面圖如圖所示．若，，則．【答案】【分析】本題考查了角的和差，直角三角形兩個(gè)銳角互余，解題關(guān)鍵利用直角三角形兩個(gè)銳角互余求出相應(yīng)角度．根據(jù)求解．【詳解】解：∵，，，∴，解得：．故答案為：．類型三、三角板問(wèn)題1．如圖，一把直尺的邊緣經(jīng)過(guò)一塊三角板的直角頂點(diǎn)，交斜邊于點(diǎn)，直尺的邊緣分別交，于點(diǎn)，，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由題意得，進(jìn)而由平行線的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：．2．兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，，若是上一點(diǎn)且，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的有關(guān)計(jì)算，由，，，則，，又，則，然后通過(guò)角度和差即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：．3．將直尺與角的三角板如圖所示疊放在一起，若，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意可知，再由三角形內(nèi)角和定理確定的值，然后根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，根據(jù)題意，可知，∵，∴，∵，∴．故選：B．4．如圖，和都是直角三角形，，，，點(diǎn)在上．若，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，平行求出，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴；故選D．5．如圖，直線，是一塊含角的直角三角板，其中，．若，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)逐步進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，，，，故選：B．6．將三角尺按如圖位置擺放，頂點(diǎn)落在直線上，頂點(diǎn)落在直線上．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟悉掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．求出后，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖進(jìn)行標(biāo)注：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：C．7．如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中等于．【答案】/度【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和以及三角板的度數(shù)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角板的度數(shù)得到，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得：，，．故答案為：．8．把直角三角尺和長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式擺放，使直角頂點(diǎn)C在紙片邊緣上，，若，則的度數(shù)為．【答案】25°【分析】本題考查了平行線的公理及性質(zhì),平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，再根據(jù)角的和差得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，則，，，，，故答案為：．1．如圖，在中，是高，是角平分線，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義，求出的度數(shù)，再次利用三角形內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，最后根據(jù)求出答案即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵是角平分線，∴，∵是高，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．2．如圖，在中，，，為的外角，與的平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，由可得，即得，再根據(jù)角平分線的定義得，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∵與的平分線交于點(diǎn)，∴，∴，故選：．3．在中，，若從頂點(diǎn)作高線和角平分線，與的夾角為，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了三角形的高和角平分線，三角形內(nèi)角和定理，分和兩種情況，分別畫出圖形解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖①，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖②，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或，故答案為：或．4．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交于點(diǎn)．若，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．由三角形的內(nèi)角和定理可求解，折疊可知：，進(jìn)而得出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，由折疊可知：，當(dāng)時(shí)，則∴故答案為：．5．如圖，在中，，于點(diǎn)，是的一條角平分線，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的角平分線以及高線的定義，根據(jù)題意角平分線的定義以及已知條件得出，進(jìn)而求得，由，即可求解．【詳解】解：∵分∴．∵∴∵∴∴1．【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，射線BP在的內(nèi)部，若，則射線叫做的鄰“分線”．【問(wèn)題解決】(1)如圖②，在中，點(diǎn)是的鄰“2分線”與的鄰“2分線”的交點(diǎn)，若，則___________；(2)如圖③，在中，點(diǎn)是的鄰“4分線”與的鄰“4分線”的交點(diǎn)，且，求的度數(shù)；(3)如圖④，在中，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接，且，的鄰“3分線”與交于點(diǎn)，若，直接寫出的大小（用含的式子表示）．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握新定義，是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)，，根據(jù)鄰“2分線”和鄰“2分線”的定義和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；（2）設(shè)，，根據(jù)鄰“4分線”與鄰“4分線”的定義和三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合新定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合新定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，，∵點(diǎn)是的鄰“2分線”與的鄰“2分線”的交點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∴，故答案為：；（2）解：設(shè)，，∵點(diǎn)是的鄰“4分線”