2025年有限元法試題及答案一、選擇題（每題2分，共20分）1.有限元法中，線性三角形單元的形函數(shù)在單元內部滿足的插值特性是（）。A.一階完全多項式且節(jié)點值唯一確定B.二階完全多項式但節(jié)點值不唯一C.僅滿足節(jié)點連續(xù)性不滿足協(xié)調性D.形函數(shù)之和恒等于單元體積2.構造四節(jié)點四邊形等參單元時，若采用雙線性形函數(shù)，其能精確表示的位移場最高次數(shù)為（）。A.一次多項式B.二次多項式C.三次多項式D.任意次數(shù)多項式3.對于二維平面應力問題，單元剛度矩陣的推導需基于（）。A.應變-位移關系、應力-應變關系、虛功原理B.胡克定律、最小勢能原理、幾何非線性假設C.平衡方程、相容方程、大變形理論D.節(jié)點力平衡、熱傳導方程、接觸條件4.采用高斯積分計算單元剛度矩陣時，若被積函數(shù)為四次多項式，至少需要（）積分點。A.1點B.2點C.3點D.4點5.集中質量矩陣與一致質量矩陣的本質區(qū)別在于（）。A.集中質量矩陣僅考慮節(jié)點質量，一致質量矩陣考慮質量分布B.集中質量矩陣是對角陣，一致質量矩陣是滿陣C.集中質量矩陣精度更高，一致質量矩陣計算效率更高D.集中質量矩陣用于動力分析，一致質量矩陣用于靜力分析6.處理本質邊界條件（位移邊界條件）時，最常用的方法是（）。A.罰函數(shù)法B.拉格朗日乘子法C.直接代入法D.附加約束法7.有限元網(wǎng)格劃分時，若某區(qū)域應力梯度較大，應采用（）。A.粗網(wǎng)格B.細網(wǎng)格C.三角形單元D.四邊形單元8.平面問題中，三角形單元的應變矩陣B的維度為（）。A.2×3B.3×3C.3×6D.6×69.下列關于有限元收斂性的描述，錯誤的是（）。A.單元必須滿足位移協(xié)調性（C0連續(xù)性）B.單元必須包含剛體位移模式C.單元必須包含常應變模式D.高階單元一定比低階單元收斂更快10.計算單元等效節(jié)點載荷時，分布載荷q(x)的等效節(jié)點力需通過（）積分得到。A.虛功原理B.最小勢能原理C.平衡方程D.胡克定律二、填空題（每題2分，共20分）1.有限元法的核心思想是將連續(xù)體離散為有限個______，通過______近似表示單元內的場變量。2.形函數(shù)Ni在節(jié)點i處的值為______，在其他節(jié)點j（j≠i）處的值為______。3.平面應力問題的彈性矩陣D中，泊松比ν的取值范圍是______。4.四節(jié)點矩形單元的形函數(shù)由______和______兩個方向的線性插值函數(shù)乘積構成。5.剛度矩陣的主要特性包括______、______和稀疏性。6.處理自然邊界條件（力邊界條件）時，通常將其轉化為______。7.高斯積分的精度與積分點數(shù)量的關系是：積分點越多，能精確積分的多項式次數(shù)______。8.動力有限元分析中，質量矩陣的選擇會影響______和______的計算結果。9.自適應網(wǎng)格加密的依據(jù)通常是______或______。10.三維六面體單元的形函數(shù)共有______個，每個節(jié)點對應______個位移自由度。三、簡答題（每題8分，共40分）1.簡述有限元法求解靜力學問題的基本步驟。2.說明形函數(shù)構造需滿足的基本條件。3.比較集中質量矩陣與一致質量矩陣的優(yōu)缺點。4.解釋“單元的常應變相容性”要求及其物理意義。5.分析有限元計算中出現(xiàn)“剛體位移”的原因及處理方法。四、計算題（每題10分，共20分）1.如圖1所示，一等截面直桿長度L=2m，截面積A=0.01m2，彈性模量E=2×1011Pa，承受沿桿長分布的載荷q(x)=1000x（N/m，x從左端開始），右端受集中力F=5000N。試：（1）將桿劃分為2個等長單元，推導單元剛度矩陣；（2）計算單元等效節(jié)點載荷向量；（3）組裝整體剛度矩陣和整體載荷向量，考慮左端固定（u?=0），求解節(jié)點位移u?、u?。2.如圖2所示，二維平面應力問題中，三角形單元三節(jié)點坐標分別為i(0,0)、j(2,0)、k(0,1)，厚度t=0.1m，彈性模量E=2×1011Pa，泊松比ν=0.3。試：（1）推導單元的形函數(shù)矩陣N；（2）計算應變矩陣B和彈性矩陣D；（3）推導單元剛度矩陣k。答案一、選擇題1.A2.A3.A4.B5.B6.C7.B8.C9.D10.A二、填空題1.單元；插值函數(shù)（或形函數(shù)）2.1；03.-1<ν<0.5（平面應力問題中ν實際取值0~0.5）4.x；y5.對稱性；奇異性（或半正定性）6.等效節(jié)點力7.越高8.固有頻率；振型9.應力誤差估計；能量范數(shù)誤差10.8；3三、簡答題1.有限元法求解靜力學問題的基本步驟：（1）離散化：將連續(xù)體劃分為有限個單元，確定節(jié)點坐標和單元連接關系；（2）選擇插值函數(shù)：定義單元內位移場的形函數(shù)，建立節(jié)點位移與單元內任意點位移的關系；（3）推導單元剛度矩陣：通過虛功原理或最小勢能原理，結合幾何方程（應變-位移）和物理方程（應力-應變），計算單元剛度矩陣k?和單元載荷向量f?；（4）組裝整體方程：將各單元剛度矩陣和載荷向量按節(jié)點編號組裝為整體剛度矩陣K和整體載荷向量F；（5）處理邊界條件：引入位移邊界條件（如固定端位移為0），修改整體剛度矩陣和載荷向量以消除奇異性；（6）求解線性方程組：解Ku=F得到節(jié)點位移；（7）計算單元應力/應變：利用節(jié)點位移和B矩陣、D矩陣計算單元內應力應變，必要時進行后處理（如應力平滑）。2.形函數(shù)構造需滿足的基本條件：（1）節(jié)點性：Ni(xj,yj)=δij（δij為克羅內克函數(shù)，i=j時為1，否則為0）；（2）完備性：形函數(shù)應包含常數(shù)項（剛體位移模式）和一次項（常應變模式），確保收斂性；（3）協(xié)調性（C0連續(xù)性）：相鄰單元在公共邊界上的位移連續(xù)，避免應力跳躍；（4）歸一性：ΣNi=1，保證單元內位移場的剛體位移和常應變分量正確；（5）幾何不變性：形函數(shù)的表達式不隨單元坐標系的選擇而改變，具有坐標無關性。3.集中質量矩陣與一致質量矩陣的優(yōu)缺點：集中質量矩陣：優(yōu)點：對角陣，計算效率高，存儲量小，顯式動力分析中可直接求逆；缺點：忽略質量分布，可能低估高階振型的慣性效應，精度較低（尤其對彎曲問題）。一致質量矩陣：優(yōu)點：基于形函數(shù)積分得到，反映質量分布，動力特性計算更準確（能捕捉高階振型）；缺點：滿陣且非對角，存儲和計算成本高，隱式分析中需解大型方程組，計算效率低。4.“單元的常應變相容性”要求及物理意義：要求：單元的位移場插值函數(shù)必須包含一次多項式（線性項），使得單元內的應變（位移的一階導數(shù)）為常數(shù)。物理意義：當物體發(fā)生均勻變形（如簡單拉伸）時，有限元解應能精確反映這種變形，即單元內各點應變相等。若單元不滿足常應變相容性，會導致均勻變形下的應變計算錯誤，無法保證收斂性（無法通過加密網(wǎng)格得到正確解）。5.剛體位移的原因及處理方法：原因：未施加足夠的位移邊界條件時，整體剛度矩陣K為奇異矩陣，存在零特征值，對應剛體位移模式（如平移、轉動），此時方程組Ku=F無唯一解。處理方法：（1）直接約束法：對至少一個節(jié)點施加位移邊界條件（如u=0、v=0），消除剛體位移自由度；（2）引入附加方程：通過強制某節(jié)點位移為0或某兩點位移差為0，修改剛度矩陣使其非奇異；（3）采用罰函數(shù)法：在剛度矩陣中對自由節(jié)點添加大剛度項（如Kii=αE，α=101?~1012），近似約束位移；（4）拉格朗日乘子法：引入約束方程和乘子，將約束條件與原方程聯(lián)立求解，得到唯一解。四、計算題1.（1）單元剛度矩陣推導：桿劃分為2個單元，每個單元長度l=L/2=1m。桿單元剛度矩陣通用公式：k?=(EA/l)×[1-1;-11]代入EA=2×1011×0.01=2×10?N，l=1m，故每個單元剛度矩陣：k1=k2=2×10?×[1-1;-11]（單位：N/m）（2）單元等效節(jié)點載荷向量：單元1（節(jié)點1-2）：分布載荷q(x)=1000x，x∈[0,1m]（局部坐標ξ=x，ξ從0到1）。等效節(jié)點力f?=∫N?q(x)dx，形函數(shù)N=[1-ξ/l,ξ/l]?（l=1m），故N=[1-ξ,ξ]?。f1=∫?1[1-ξ;ξ]×1000ξdξ=1000×[∫?1(ξ-ξ2)dξ;∫?1ξ2dξ]=1000×[(1/2-1/3);1/3]=1000×[1/6;1/3]=[166.67;333.33]N單元2（節(jié)點2-3）：分布載荷q(x)=1000x，x∈[1,2m]（局部坐標η=x-1，η從0到1），則x=1+η，q(x)=1000(1+η)。形函數(shù)N=[1-η,η]?，等效節(jié)點力：f2=∫?1[1-η;η]×1000(1+η)dη=1000×[∫?1(1+η)(1-η)dη;∫?1(1+η)ηdη]=1000×[∫?1(1-η2)dη;∫?1(η+η2)dη]=1000×[(1-1/3);(1/2+1/3)]=1000×[2/3;5/6]=[666.67;833.33]N右端集中力F=5000N作用于節(jié)點3，故整體載荷向量需疊加：F=[f1?;f1?+f2?;f2?+F]=[166.67;333.33+666.67;833.33+5000]=[166.67;1000;5833.33]N（3）整體剛度矩陣組裝（節(jié)點1-2-3）：K=[k1??k1??0][k1??k1??+k2??k2??][0k2??k2??]代入k1=k2=2×10?×[1-1;-11]，得：K=2×10?×[1-10][-12-1][0-11]考慮左端固定u?=0，修改K和F：保留第2、3行/列，得到：2×10?×[2-1;-11]×[u?;u?]=[1000;5833.33]解方程組：第一式：2×10?×2u?-2×10?×u?=1000→4×10?u?-2×10?u?=1000第二式：-2×10?u?+2×10?u?=5833.33→-2×10?u?+2×10?u?=5833.33相加得：2×10?u?=6833.33→u?=6833.33/(2×10?)=3.4167×10??m代入第二式：-2×10?×3.4167×10??+2×10?u?=5833.33→-6833.33+2×10?u?=5833.33→u?=(5833.33+6833.33)/(2×10?)=12666.66/(2×10?)=6.3333×10??m2.（1）形函數(shù)矩陣N推導：三角形單元面積A=(xjyk-xkyj)/2=(2×1-0×0)/2=1m2。形函數(shù)Ni=(aj+bjx+cjy)/(2A)，其中：ai=xjyk-xkyj=2×1-0×0=2，bi=yk-yi=1-0=1，ci=xi-xj=0-2=-2aj=xkyi-xiyk=0×0-0×1=0，bj=yi-yk=0-1=-1，cj=xj-xk=2-0=2ak=xiyj-xjyi=0×0-2×0=0，bk=yj-yi=0-0=0，ck=xi-xj=0-2=-2（注：實際應為bk=yi-yj=0-0=0，ck=xj-xi=2-0=2，可能筆誤，正確計算如下）正確計算形函數(shù)系數(shù)：對于節(jié)點i(0,0)、j(2,0)、k(0,1)，面積A=1/2|(xj-xi)(yk-yi)-(xk-xi)(yj-yi)|=1/2|2×1-0×0|=1m2。形函數(shù)Ni=((xj-xk)(y-yk)-(yj-yk)(x-xk))/(2A)代入xj=2,xk=0,yj=0,yk=1：Ni=((2-0)(y-1)-(0-1)(x-0))/(2×1)=(2y-2+x)/2=(x+2y-2)/2同理，Nj=((xk-xi)(y-yi)-(yk-yi)(x-xi))/(2A)=((0-0)(y-0)-(1-0)(x-0))/2=(-x)/2Nk=((xi-xj)(y-yj)-(yi-yj)(x-xj))/(2A)=((0-2)(y-0)-(0-0)(x-2))/2=(-2y)/2=-y驗證歸一性：Ni+Nj+Nk=(x+2y-2)/2-x/2-y=(x+2y-2-x-2y)/2=-2/2=-1？顯然錯誤，正確方法應為：三角形單元形函數(shù)通用公式：Ni=(1/2A)(a_i+b_ix+c_iy)，其中：a_i=x_jy_k-x_ky_j=2×1-0×0=2b_i=y_j-y_k=0-1=-1c_i=x_k-x_j=0-2=-2同理，a_j=x_ky_i-x_iy_k=0×0-0×1=0，b_j=y_k-y_i=1-0=1，c_i=x_i-x_k=0-0=0（此處c_j應為x_i-x_k=0-0=0？正確計算：b_j=y_k-y_i=1-0=1，c_j=x_i-x_k=0-0=0a_k=x_iy_j-x_jy_i=0×0-2×0=0，b_k=y_i-y_j=0-0=0，c_k=x_j-x_i=2-0=2因此，Ni=(2-1x-2y)/(2×1)=1-0.5x-yNj=(0+1x+0y)/2=0.5xNk=(0+0x+2y)/2=y驗證Ni+Nj+Nk=1-0.5x-y+0.5x+y=1，符合歸一性。故形函數(shù)矩陣N=[Ni0Nj0Nk0;0Ni0Nj0Nk]（平面問題，每個節(jié)點2個自由度）（2）應變矩陣B和彈性矩陣D：應變向量ε=[εx,εy,γxy]?，位移向量u=[u_i,v_i,u_j,v_j,u_k,v_k]?εx=?u/?x=?(Niu_i+Nju_j+Nku_k)/?x=Ni,xu_i+Nj,xu_j+Nk,xu_k同理，εy=?v/?y=Ni,yv_i+Nj,yv_j+Nk,yv_kγxy=?u/?y+?v/?x=Ni,yu_i+Nj,yu_j+Nk,yu_k+Ni,xv_i+Nj,xv_j+Nk,xv_k計算形函數(shù)偏導數(shù)：Ni,x=-0.5，Ni,y=-1Nj,x=0.5，Nj,y=0Nk,x=0，Nk,y=1因此，應變矩陣B=[-0.500.5000][0-10001][-1-0.500.510]平面應力問題彈性矩陣D=E/(1-ν2)×[1ν0;ν10;00(1-ν)/2]代入E=2×1011Pa，ν=0.3：D=2×1011/(1-0.09)×[10.30;0.310;000.35]≈2.1978×1011×[10.30;0.310;0