第二章二次函數(shù)（壓軸專練）（十六大題型）題型1：存在性問題1．如圖，拋物線與x軸交于點A-4,0、兩點，與y軸交于點B0,3，點是線段上的一個動點，過點M作x軸的垂線l，分別與直線和拋物線交于D、E兩點，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)求出當?shù)拿娣e為3時，m的值；(3)當時，m的值為；(4)在x軸上有一點F，恰好是等腰三角形，請你直接寫出點F的坐標．題型2：最值問題2．已知二次函數(shù)（，是常數(shù)）．(1)當是二次函數(shù)圖象上的點時，求代數(shù)式的值；(2)若二次函數(shù)的表達式可以寫成（是常數(shù)）的形式，求的最大值；(3)若二次函數(shù)的表達式可以寫成（是常數(shù)，且）的形式，該函數(shù)圖象與軸交于、兩點（點在點左側(cè)），已知點、點都是該拋物線對稱軸上的點，點位于第一象限，且，點是點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱的點，連接并延長交軸于點，連接．當?shù)闹荛L的最小值等于時，求此時的值．題型3：取值范圍問題3．【項目式學習】如圖，拋物線與x軸分別交于A、B兩點（A、B分別在原點左右兩側(cè)），與y軸交于點C，點P為拋物線上第一象限內(nèi)一動點，過點A、點P的直線交y軸于點M，過點B、點P的直線交y軸于點N，連接，試探究之間的數(shù)量關(guān)系．為探究該問題，擬采用研究問題的一般路徑一一由特殊到一般的研究方式：(1)設．①若點P的橫坐標為2，計算：______，______；比較大小：______（填“>”、“=”或“<”）．②若點P的橫坐標為m，上述、之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(2)根據(jù)上述研究經(jīng)驗，當A、B兩點的橫坐標為、時，之間的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？請說明理由．(3)若，求出k的取值范圍．題型4：定點問題4．如圖，直線與拋物線交于、兩點（點在點的左側(cè)），拋物線與軸交于點．(1)若點的橫坐標為，求拋物線的解析式；(2)在（1）條件下，點為直線：上方的拋物線上一點，若，求點的坐標；(3)將拋物線平移使得頂點落在原點得到拋物線，直線交拋物線于，兩點，已知點，直線，分別交拋物線于另一點，．求證：直線恒過一個定點．題型5：定值問題5．如圖1，拋物線與x軸交于、兩點，D為拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，經(jīng)過定點G的直線交拋物線于E、F兩點（點E在點F的左側(cè)），若的面積是面積的三倍，求k的值：(3)如圖3，直線與拋物線有唯一公共點M，直線與拋物線有唯一公共點N，且直線過定點，則的面積為定值，求出這個定值．題型6：新定義題6．定義：若拋物線的頂點和與軸的兩個交點所組成的三角形為等邊三角形時，則稱此拋物線為正拋物線．概念理解：（1）如圖，在中，，點是的中點．試證明：以點為頂點，且與軸交于兩點的拋物線是正拋物線；問題探究：（2）已知一條拋物線經(jīng)過軸的兩點（在的左邊），且若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；應用拓展：（3）將拋物線向下平移個單位后得新的拋物線．拋物線的頂點為，與軸的兩個交點分別為（在左側(cè)），把沿軸正半軸無滑動翻滾，當邊與軸重合時記為第次翻滾，當邊與軸重合時記為第次翻滾，依此類推，請求出當?shù)诖畏瓭L后拋物線的頂點的對應點坐標．題型7：二次函數(shù)與特殊平行四邊形7．已知直線與x軸交于A

，與y軸交于點B，拋物線與x軸交于A，C兩點，與y軸交于點B(1)求這個拋物線的解析式(2)若P是直線上方拋物線上一點，存在點P使得，求點P的坐標(3)在對稱軸上是否存在點Q，使得的周長最小，若存在，請直接寫出Q點坐標，若不存在，請說明理由(4)點M在x軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以A

，B

，M，N為頂點的四邊形是菱形，若存在直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．題型8：二次函數(shù)與相似三角形8．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中，，連接，．(1)求該拋物線的解析式；(2)點P為直線下方拋物線上一點，過點P作交y軸于點D，求的最大值及此時點P的坐標；(3)將該拋物線沿射線方向平移，經(jīng)過點B時得到新拋物線，在新拋物線上有一點M，過點M作軸于點N．若以B，M，N三點為頂點的三角形與相似，寫出所有符合條件的點M的坐標，并寫出求解點M的坐標的其中一種情況的過程．題型9：二次函數(shù)與解直角三角形9．如圖，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為該拋物線上一動點．①當點P在直線下方時，過點P作軸，交直線于點E，作軸．交直線于點F，求的最大值；②若，求點P的橫坐標．10．已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，線段的兩個端點，分別在y軸和x軸的正半軸上，現(xiàn)將線段繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，拋物線經(jīng)過點D．(1)如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點O，且①求點D的坐標及該拋物線的解析式；②在拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；(2)如圖2，若該拋物線經(jīng)過點，點Q在拋物線上，且滿足．若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍．題型10：動點問題11．如圖，拋物線與x軸交于點、B4,0兩點，與y軸交點C，連接，頂點為M．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)已知點P是拋物線上的一點，連接，若，求點P的坐標；(3)如圖2，若D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點E，當?shù)闹底畲髸r，求點D的坐標．題型11：平移問題12．已知拋物線與x軸交于點A、點B（點A在點B的左側(cè)，點B在原點O右側(cè)），與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點P是直線上方拋物線上一點，過點P作平行于y軸交于點Q，點D是的中點，過點D作的平行線交y軸于點F，過點C作平行于x軸交于點H，當取最大值時，求此時點P的坐標及的最大值；(3)如圖2，點E坐標為，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到新拋物線，在拋物線是否存在點M，滿足，若存在，直接寫出點M的坐標并寫出其中一個點的求解過程，若不存在請說明理由．題型12：對稱問題13．已知拋物線的頂點為D，與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊）．(1)若該拋物線的頂點D的坐標為，求其解析式；(2)如圖1，已知拋物線的頂點D在直線上運動，且與直線l交于另一點E，若的面積為，求點A的坐標；(3)如圖2，在（1）的條件下，P，Q為y軸上的兩個關(guān)于原點對稱的動點，射線，分別與拋物線交于M，N兩點，求與的數(shù)量關(guān)系．題型13：翻折問題14．我們約定：拋物線與軸的兩個交點以及頂點構(gòu)成的三角形稱為“頂點三角形”，若頂點三角形為等邊三角形，則稱該拋物線為“正拋物線”（如圖3），若頂點三角形為等腰直角三角形，則稱該拋物線為“正直拋物線”（如圖2）．(1)如圖1，已知，是線段的中點，，，求證：以為頂點且過點、的拋物線是“正拋物線”；(2)若點與點在“正直拋物線”上，求該“正直拋物線”的解析式；(3)已知：與“正拋物線”關(guān)于原點中心對稱的拋物線為，將拋物線圖象中在直線上方的圖象沿直線向下翻折，當直線與翻折后的圖象有個交點時，求的取值范圍．題型14：旋轉(zhuǎn)問題15．平面直角坐標系中，拋物線（，均為常數(shù)）與軸相交于點，與軸相交于、兩點，連接，過點作交拋物線于點．(1)求出該拋物線的函數(shù)表達式及點的坐標；(2)如圖1，已知點是線段上方拋物線上一點，過點作軸交于，在線段和線段上分別有兩個動點、，且滿足，是的中點，當取得最大值時，在線段上是否存在一點，使得的值最小？若存在，請求出點的坐標以及的最小值；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，是線段上一定點，且滿足，連接，將線段沿軸向下平移6個單位至，連接，是線段上一動點，點、同時繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，應對點分別是、．在旋轉(zhuǎn)過程中，當是直角三角形時，請直接寫出此時的坐標．題型15：二次函數(shù)與一元二次方程16．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如，一元二次方程的兩個根是，，則方程是“鄰根方程”．(1)通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①；②．(2)已知關(guān)于x