第一章直角三角形的邊角關(guān)系（單元重點綜合測試）班級___________姓名___________學號____________分數(shù)____________考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：120分鐘；總分：120分一、單選題1．在中，，若的三邊都擴大5倍，則的值（）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變【答案】D【分析】直接利用銳角的正弦的定義——“銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做的正弦，記作”求解．【解析】解：∵，∴的對邊與斜邊的比，∵的三邊都擴大5倍，∴的對邊與斜邊的比不變，∴的值不變．故選：D．2．若，則銳角A的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因為，A為銳角，由特殊角的三角函數(shù)值即可解答．【解析】解：，A為銳角，由特殊角的三角函數(shù)值知：，故選：A．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答關(guān)鍵．3．如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別寫出、、中，關(guān)于的比值．【解析】，在中，，在中，，，，，在中，．故選：C【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)的比值是解題的關(guān)鍵．4．下列不等式，成立的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值比較即可．【解析】解：特殊角的三角函數(shù)值如下表所示：角度三角函數(shù)名由表格可知：選項A錯誤，正確應為：；選項B錯誤，正確應為：；選項C錯誤，正確應為：；選項D正確，故選D．【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值和比較它們的大小，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．也可以利用結(jié)論來判斷，判斷依據(jù)：一個銳角的正弦值和正切值隨著角度的增大而增大，一個銳角的余弦值和余切值隨著角度的增大而減?。?．如圖：小軍要測量河內(nèi)小島到河岸的距離，在點測得，在點測得，又測得米，則小島到河岸的距離為（）

A． B．5 C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點為：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；等角對等邊；一個角的正弦值等于這個角所在的直角三角形中對邊與斜邊之比．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等角對等邊易得．那么利用的正弦函數(shù)可求得長，也就是小島到河岸的距離．【解析】解：，，，米，由題意得米．故選：A．6．如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若的三個頂點在圖中相應的格點上，則的值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】在直角中利用正切函數(shù)的定義即可求解．【解析】解：過A作于D，

在直角中，，，則．故選：B．【點睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)就是直角三角形中邊的比是關(guān)鍵．7．如圖，在等腰中，，，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點A作于點D，根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)等腰三角形三線合一，求出，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【解析】解：過點A作于點D，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，故選：A．

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，求角的正切值，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形“三線合一”，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．8．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，且經(jīng)過點，O為坐標原點，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點B作軸于點C，根據(jù)點，得出，，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角函數(shù)定義求出結(jié)果即可．【解析】解：過點B作軸于點C，如圖所示：

則，∵點，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理，坐標與圖形，求三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)定義．9．如圖，在中，，于，平分交于，，．則的值為（

）

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】根據(jù)正弦的定義得出，設，則，勾股定理求得，，，過點作，交的延長線于點，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】于，，設，則，在中，由勾股定理可得：，，在中，，，解得（不合題意，舍去），，，，過點作，交的延長線于點，

平分，∴∵，∴∴∴∵∴∴．故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正弦的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．10．如圖，大正方形是由四個全等的直角三角形（，，，）和中間一小正方形拼成，連接．設，，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設交于點，過點作，根據(jù)，不妨設，則，勾股定理求出的長，證明，求出的長，進而求出的長，三角函數(shù)求出的長，再求出的長，利用正切的定義求解即可．【解析】解：設交于點，過點作，大正方形是由四個全等的直角三角形（，，，）和中間一小正方形拼成，，，∴，，，∵，∴，設，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴；故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強，難度較大，屬于選擇題中的壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．在中，，，，則的正切值為．【答案】【分析】本題考查了正切的定義，勾股定理的含義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理先求解，再根據(jù)計算即可．【解析】解：如圖，∵，，，∴，∵∴．故答案為：．12．如圖，在中，，，，則．【答案】【分析】本題主要考查了余弦函數(shù)的定義，熟練掌握余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)余弦函數(shù)的應以即可解答．在直角三角形中，余弦為鄰邊比斜邊．【解析】解：在中，．故答案為：．13．已知，均為銳角，且，則．【答案】/75度【分析】本題考查絕對值和平方的非負性，特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)絕對值和平方的非負性求出，的值，進而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，，進而即可解答．【解析】解：∵，，且，∴，，∴，，∴，，∴．故答案為：14．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，則BC的長度為．【答案】【分析】作DE∥AC交AB于E，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ADE＝90，由點D是BC的中點得到DE為△ABC的中位線，則DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，根據(jù)正切的定義得tan∠EAD＝＝，設DE＝x，則AD＝2x，根據(jù)勾股定理得（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，則DE＝2，AD＝4，所以AC＝4，然后根據(jù)勾股定理計算出CD＝，再利用BC＝2CD計算即可．【解析】作DE∥AC交AB于E，如圖，∵DA⊥AC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90，∵點D是BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE＝AC，AE＝BE＝AB＝2，在Rt△ADE中，tan∠EAD＝＝，設DE＝x，則AD＝2x，∵AD2＋DE2＝AE2，∴（2x）2＋x2＝（2）2，解得x＝2，∴DE＝2，AD＝4，∴AC＝2DE=4，∴CD＝，∴BC＝2CD＝故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形，解題的關(guān)鍵的根據(jù)題意作出輔助線，利用中位線的性質(zhì)求解．15．如圖，建筑物上有一旗桿，從與相距的D處觀測旗桿頂部A的仰角為，觀測旗桿底部B的仰角為，旗桿的高度為．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，，，）【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正切的定義，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合等腰三角形的定義，得出是等腰直角三角形，進而得出，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，計算即可得出答案．【解析】解：由題意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．∴旗桿的高度為．故答案為：．16．如圖，在矩形中，對角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點、．若，，則．【答案】/【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，求正切，連接，勾股定理求得，進而根據(jù)正切的定義，即可求解．【解析】解：連接，如圖所示，∵的垂直平分線分別交邊于點E、F．∴，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∴故答案為：．17．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在坐標原點，邊在軸的負半軸上，，頂點的坐標為，反比例函數(shù)的圖象與菱形對角線交于點，連接，當軸時，的值是．

【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，延長交軸于，由菱形的性質(zhì)得到，軸，再由得到，根據(jù)含角的直角三角形的三邊的關(guān)系得到，，計算出點的坐標，再代入解析式即可求出的值，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及含角的直角三角形的三邊的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：延長交軸于，如圖，

∵菱形的頂點在坐標原點，邊在軸的負半軸上，，軸，，，頂點的坐標為，，，，∵四邊形為菱形，，在中，，點坐標為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，故答案為：．18．如圖，在中，，于點D，E為AC邊上的中點，連接交AD于F，將沿著翻折到，恰好有，則．【答案】【分析】過點G作，交延長線于H，設，則，證明四邊形為菱形，得到和，求出，，，然后由菱形性質(zhì)得，證，求出，，最后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．【解析】解：過點作，交延長線于，如圖所示：設，則，由翻折可得：，，，又∵，∴，∴，∴，即，∴四邊形為菱形，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，又∵，，，，，，，∵四邊形是菱形，，，又∵，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，作輔助線并證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．計算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先把特殊角的三角函數(shù)值代入，再計算即可；（2）先把特殊角的三角函數(shù)值代入，再計算即可；【解析】（1）解：（2）【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，熟練的記憶特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵.20．在中，，求的長．【答案】【分析】由，求解再利用勾股定理求解即可得到答案．【解析】解：，【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．21．已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋＝0.(1)試判斷△ABC的形狀；(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．【答案】(1)△ABC是銳角三角形；(2).【分析】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中∠A及∠B的值求出∠C的數(shù)，再把各特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．【解析】（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是銳角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，∴原式=（1+）2-2-1=．22．如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于點D，sinA＝（1）求BD的長；（2）求tanC的值．【答案】（1）12；（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)得出BD=12即可；（2）利用勾股定理得出AD=5，進而得出DC=8，利用三角函數(shù)解答即可．【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于點D，sinA＝∴即解得：BD＝12；（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，∴AD＝5，∴DC＝8，∴tan∠C＝【點睛】此題考查解直角三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)得出BD的值．23．在正方形網(wǎng)格中，僅用無刻度直尺按下列要求作圖．(1)如圖①中，在AB上找點C，使得AC：BC＝2：3；(2)在圖②中作∠DAB，使得tan∠DAB＝．（保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取格點M，N，連接MN交AB于點C，點C即為所求作；（2）利用網(wǎng)格的特點，勾股定理構(gòu)造直角三角形，根據(jù)正切的定義即可求解．【解析】（1）如圖，點C即為所求作．理由，,，，，（2）如圖，∠DAB即為所求作．理由，，，，,是直角三角形，且，∴．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，相似三角形與網(wǎng)格問題，正切的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．24．如圖，四邊形中，，，，E為的中點，連接、．(1)求證：(2)求的值【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形與正切．熟練掌握相似三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，正切定義，是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中點性質(zhì)得到，根據(jù)，得到，根據(jù)，即得；（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)，得到，得到，得到，根據(jù)勾股定理得到，，即得．【解析】（1）∵，

E為的中點，∴，∵，∴，，∴，∵，∴（2）∵，∴，∴，∴，∵，，∴．25．如圖，在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）．有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．(1)求點P到海岸線l的距離；(2)小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點C與點B之間的距離．（上述兩小題的結(jié)果都保留根號）【答案】(1)點P到海岸線l的距離為（3-1）km；(2)點C與點B之間的距離為2km．【分析】（1）過點P作PD⊥AB于點D，設PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代數(shù)式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代數(shù)式表示AD，然后根據(jù)BD+AD=AB，列出關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）過點B作BF⊥AC于點F，先解Rt△ABF，得出BF=1km，再解Rt△BCF，得出BC即可．（1）解：如圖，過點P作PD⊥AB于點D．設PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD=3PD=3xkm．∵BD+AD=AB，∴x+3x=2，x=3-1，∴點P到海岸線l的距離為（3-1）km；（2）解：如圖，過點B作BF⊥AC于點F．根據(jù)題意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=2BF=2km，∴點C與點B之間的距離為2km．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．26．如圖1，直線交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，，．(1)求直線的解析式；(2)如圖2，直線交直線于點C，D是上一點，過點D分別作x軸，y軸的垂線交直線于點E，F(xiàn)，求的值；(3)在（2）條件下，P在直線上，且，求點P的坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題是一次函數(shù)綜合題，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形等等．（1）由勾股定理可求，即點點用待定系數(shù)法可求直線解析式；（2）設，則可求出，進而得到，，據(jù)此可得答案；（3）過點作，過點作軸，設點，解直角三角形得到，設，則，用勾股定理建立方程求出x的值，進而求出的長，再利用勾股定理求出的值即可求解．【解析】（1）解：解：，∴，∴設直線解析式為：，∴，∴，∴直線解析式為：．（2）解：設，在中，當時，，當時，，∴，∴，，∴；（3）解：過點作于H，過點作軸于T，設點，在中，，在中，，設，則，在中，由勾股定理得∴，∴，∴，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴在中，由勾股定理得，解得：，∵，∴，則∴．27．已知，在矩形中，連接，過點作，交于點，交于點．(1)如圖1，若．①求證：；②連接，求證：(2)如圖2，若，求的值．【答案】(1)①見詳解②見詳解(2)【分析】（1）①根據(jù)圖形特征及已知證得，再由，的值，推導，從而得到；②延長，交于點，由全等三角形推得是的中點，在中，，再由即可得出結(jié)論；（2）