2025~2026學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試

數(shù)學(xué)

考生注意:

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘。

2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。

3.考生作答時,請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效。

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

4.本卷命題范圍:人教A版選擇性必修第一冊第一章~第三章第1節(jié)。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符

合題目要求的。

1.直線4父—5y十8=0在父軸上的截距為

A.2B.—2C.D

2.已知圓C的方程為父2十y2—2父—4=0,則圓C的圓心和半徑分別是

A.C(1,0),r=5B.C(2,0),r=\

C.C(2,0),r=5D.C(1,0),r=\

3.已知向量m=(3,1,5),n=(λ—2,λ,2),若m丄n,則λ=

A.—4B.—1C.2D.4

4.方程表示焦點在y軸上的橢圓,則k的取值范圍為

A.(—3,十∞)B.(—2,十∞)

C.(—1,十∞)D.(0,十∞)

—→—→—→

5.已知動點Q在△ABC所在平面內(nèi)運動,若對于空間中任意一點P,都有AQ=—3PA十5PB

—→

十mCP,則實數(shù)m的值為

A.2B.0C.—1D.—2

6.直線k父十y十2k—1=0(k∈R)與橢圓的交點個數(shù)為

A.1B.2C.1或2D.無法確定

【高二期中考試.數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】26—L—216B

7.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB丄BC,BB1=\AB=\2BC,M,N分別是B1C1,A1B1的

中點,則直線BM與直線CN所成角的余弦值為

AB.\

1

C.\D.2

55

8.已知圓C:(父十6)2十(y—7)2=49和點A(0,—4),B(0,2),若點M在圓C上,且AM2十

BM2=m2,則實數(shù)m的最小值是

A.2\B.6C.—6D.—2\

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要

求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。

9.若點A(m,4)和點B(—1—m,3)關(guān)于直線l:父十ny—3=0對稱,則

A.AB的中點坐標(biāo)為)B.n=1

C.直線l的斜率為1D.m=0

10.已知橢圓C的左、右焦點分別是F1,F2,點P是C上一點,△PF1F2是等腰三角

形,則△PF1F2的面積可能是

A.\35B.\42C.7D.3\7

—→—→—→

11.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點P滿足BP=λBC十μBB1,λ∈[0,1],

μ∈[0,1],則下列說法正確的是

A.當(dāng)λ=μ≠0時,BPⅡ平面AB1D1

B.當(dāng)λ=μ時,AP丄B1C

\

C.當(dāng)λ十μ=1時,AP長度的最小值為

D.當(dāng)λ十μ=1時,存在點P,使得AP與平面BC1B1所成的角為

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。

12.平行線2父—y—3=0與2父—y十2=0之間的距離為.

13.過點(—2,3)與圓(父十1)2十y2=1相切的直線方程為.

14.已知F是橢圓Ca>b>0)的一個焦點,B是C的上頂點,BF的延長線交C于

—→—→

點A,若BF=4FA,則C的離心率是.

【高二期中考試●數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】26—L—216B

四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

已知A(2,2),B(3,1),C(0,4).

求:(1)過點A且與BC垂直的直線方程;

(2)過點B且傾斜角為直線AB傾斜角的的直線方程.

16.(本小題滿分15分)

如圖所示,四棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形,PB丄底面ABCD,AB=BC=3,BP=

(1)證明:直線EFⅡ平面ABP;

(2)求點P到平面ADF的距離.

17.(本小題滿分15分)

已知橢圓C上任意一點P到兩個焦點的距離之和為8,且離心率

為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點M(2,1)作直線l交橢圓于A,B兩點,點M為線段AB的中點,求直線l的方程.

【高二期中考試●數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】26—L—216B

18.(本小題滿分17分)

已知直三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC,

C1的中點,D為棱A1B1上的點,BF丄A1B1.

(1)證明:AB丄平面BC1B1;

(2)證明:BF丄DE;

(3)當(dāng)B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成角的余弦值最大?

并求出這個最大值.

19.(本小題滿分17分)

已知圓O的圓心為坐標(biāo)原點,且經(jīng)過點(1,—\3),圓O與父軸正半軸交于點A,與y軸正半

軸交于點B,與父軸負(fù)半軸交于點C.

(1)求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)P是圓O上一點且不在坐標(biāo)軸上,直線AP交y軸于點M,直線BP交父軸于點N,求

證:|AN|.|BM|為定值;

(3)若直線l的斜率存在,且與圓O交于D,E兩點(異于點C),直線CD與直線CE的斜率

之積為3,求證:直線l過定點.

【高二期中考試.數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】26—L—216B

2025~2026學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試●數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

1.B在4父—5y十8=0中令y=0,得父=—2,所以直線在父軸上的截距為—2.故選B.

2.D圓C:父2十y2—2父—4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(父—1)2十y2=5,所以圓C的圓心和半徑分別是C(1,0),r=

\.故選D.

3.B由m丄n,m=(3,1,5),n=(λ—2,λ,2),得3λ—6十λ十10=0,解得λ=—1.故選B.

父22

4C由方程十y=1表示焦點在軸上的橢圓,得2k十4>k十3>0,解得k>—1,所以k的取值范圍

.k十32k十4y

為k>—1.故選C.

—————————————

5.A由A—→Q=—3P—→A十5P→B十mCP→,得P→Q—P—→A=—3P—→A十5P→B—mP—→C,所以P→Q=—2P—→A十5P→B—mP—→C,

動點Q在△ABC所在平面內(nèi)運動,可知Q,A,B,C四點共面,則—2十5十(—m)=1,所以實數(shù)m的值為2.

故選A.

6.C由直線k父十y十2k—1=0(k∈R),得y—1十k(父十2)=0,即直線過定點(—2,1).又因為

=1,所以此定點在橢圓上.即直線與橢圓有1個或2個交點.故選C.

7.A因為由題意知BA,BC,BB1兩兩垂直,故分別以直線BA,BC,BB1為父軸,y軸,

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=a(a>0),則B(0,0,0),C(0,a,0),

——→——→

M(0,,\a),N,0,\a),所以BM=(0,,\a),CN=,—a,\a),設(shè)直

—→—→—B—→M●—C—→N

線BM與直線CN所成角為θ,則cOSθ=cOS〈BM,CN〉=——=

B—→MlC—→N

21

所以直線BM與直線CN所成角的余弦值為故選A

3..

8.D設(shè)M(父,y),由AM2十BM2=m2,得父2十即點M在圓父2十(y十1)2=

N(0—1)r=C的圓心為C(—67)半徑r=7M

上,圓心為,,半徑1\.圓,,2,又點

在圓C上,故圓C與圓N有公共點,所以十7,解得36≤m2≤

596,所以—2\≤m≤—6或6≤m≤2\,即m的最小值為—2\.故選D.

9.ABD易知AB的中點坐標(biāo)為(—,則點(—,在直線l上,所以解得n=1,

所以直線l的斜率為—1.又因為AB丄l,所以解得m=0.故選ABD.

10.AD設(shè)O為坐標(biāo)原點,則|PF1|十|PF2|=8,|F1F2|=6,當(dāng)|PF1|=|PF2|時,OP丄F1F2,|OP|=\,所

以△PF1F2的面積為×|F1F2|×|OP|=×6×\=3\;當(dāng)|PF1|=|F1F2|時,|PF2|=8—|PF1|=

2,所以△PF1F2的面積為×2×\=\.同理,當(dāng)|PF2|=|F1F2|時,△PF1F2的面積為×2

×\62—12=\35.故選AD.

—→——→—→——→

11.AB對于A,當(dāng)λ=μ≠0時,BP=λ(BB1十BC)=λBC1,即點P在線段BC1上,則BPⅡAD1,又BP丈平

面AB1D1,AD1∈平面AB1D1,所以BPⅡ平面AB1D1;易證B1C丄平面ABC1D1,又AP∈平面ABC1D1,

—→—→—→—→—→

所以AP丄B1C,故A,B均正確;對于C,當(dāng)λ十μ=1時,BP=λBC十(1—λ)BB1,即B1P=λB1C,所以P,C,

【高二期中考試●數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共4頁)】26—L—216B

B1三點共線,線段AP在△ACB1中,因為AB1=AC=\,所以當(dāng)點P為B1C中點時,AP最小,此時AP丄

B1C,min點A在平面BC1B1上的射影為B,所以AP與平

\6\2\6

面BC1B1所成的角為上APB,sin上APB==,易求AP∈,\2所以sin上APB∈,,

[2],[23]

又sin=\>\上APB∈0所以上APB<故CD均錯誤故選AB

3,[,,,..

—3—2

12.\由已知所求距離為d==\.

\22十(—1)2

13.父十2=0或4父十3y—1=0當(dāng)直線過點(—2,3)且斜率不存在時,父=—2,顯然與圓相切;當(dāng)直線過點

—k十2k十3

(—2,3),且斜率存在時,其方程為y—3=k(父十2),則=1,解得k=—,故方程為4父十3y

\k2十1

—1=0.

\

14.不妨設(shè)F是橢圓C的左焦點,F’是C的右焦點,C的焦距為2C,連接BF’,AF’,則|BF|=|BF’|=a,又

5

→→

—BF=4—FA,所以|AF|=a,|AF’|=a.在△ABF’中,由余弦定理得COs上ABF’

5272

(a)十a(chǎn)2—(a)

AB2十BF’2AF’2441

=．==—,所以1—2sin2上FBO=

2ABB’2.5a.a5

4

\OF\

—,即sin上FBO=,所以e===sin上FBO=.

5BF5

15.解:(1)設(shè)過點A且與BC垂直的直線的斜率為k,直線BC的斜率kBC==—1,…2分

由kBC.k=—1,得k=1,……………………4分

所以y—2=1×(父—2),即所求直線的方程為父—y=0.…………………6分

(2)直線AB的斜率kAB==—1,設(shè)直線AB的傾斜角為α,則tanα=—1,………9分

又0?！堞?lt;180。,所以α=135。,………………10分

。。

135。

由題意知所求直線的傾斜角為=45,故所求直線的斜率為tan45=1,…………11分

3

所以y—1=1×(父—3),即父—y—2=0.…………………13分

16.(1)證明:由PB丄平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則B(0,0,0),A(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0),P(0,0,3),…………2分

由CF=CP,得—C→F=—C→P,解得F(0,2,1),同理E(3,2,0),

:—E→F=(—3,0,1),顯然平面ABP的一個法向量為n=(0,1,0),……5分

顯然—→EF.n=0且EF丈平面ABP,故EFⅡ平面ABP.…7分

—→—→

(2)解:設(shè)平面ADF的一個法向量為n1=(父,y,義),且AD=(0,3,0),DF

=(—3,—1,1),

【高二期中考試.數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共4頁)】26—L—216B

由……………10分

y十z=0,

取父=1,則y=0,z=3,

所以n1=(1,0,3)為平面ADF的一個法向量,…………11分

又—A—→P=(—3,0,3),

——→

AP.n13\

故點P到平面ADF的距離為d==.…………………15分

In15

17.解:(1)由橢圓的定義知,2a=8,:a=4,

又“橢圓的離心率e…………………2分

:b2=a2—c2=16—12=4,

父2

:橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為十=1.………………………5分

16

父2

(2)“M(2,1)為橢圓十=1內(nèi)一點,:直線l與橢圓必交于A,B兩點.……………6分

16

設(shè)A(父1,y1),B(父2,y2),當(dāng)父1=父2時,不合題意,故父1≠父2,

(父1十父2

=2,

2父1十父24,

“M(2,1)為線段AB的中點,:〈:{…………8分

y1十y2y1十y22,

=1,

(2

22

父1y1

(十=1,

164

又“A,B均在橢圓上,……………………9分

:〈22

父2y2

十=1,

(164

22

父1父2(父1十父2(父1—父2)(y1十y2)(y1—2)

兩式相減,得—十=0,即=—y,…11分

1664

4(父1—父2)y1—y2

:=—,:=—,即KAB=—,………13分

16父1—父2

:直線l的方程為y—1=—(父—2),即父十2y—4=0.………………15分

18.(1)證明:因為三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以BB1丄底面ABC,所以BB1丄AB,……………1分

因為A1B1ⅡAB,BF丄A1B1,所以BF丄AB,………………2分

又BB1∩BF=B,BB1,BFG平面BB1C1C,所以AB丄平面BC1B1.…………4分

(2)證明:因為BA,BC,BB1兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點,分別以BA,BC,BB1所在直線為父,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖.………………5分

所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,

0),F(0,2,1).………………………6分

由題設(shè)D(a,0,2)(0≤a≤2).……………………7分

—→—→

因為BF=(0,2,1),DE=(1—a,1,—2),

—→—→

所以BF.DE=0×(1—a)十2×1十1×(—2)=0,…………8分

所以BF丄DE.………………9分

(3)解:設(shè)平面DFE的法向量為m=(父,y,z),

—→

——m.0,—父十十z0,

因為E→F=(—1,1,1),D—→E=(1—a,1,—2),所以即

{m.0,{(1—a父十—2z=0.

【高二期中考試.數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共4頁)】26—L—216B

令z=2—a,則m=(3,1十a(chǎn),2—a).………………………11分

—→

因為平面BC1B1的法向量為BA=(2,0,0),……………12分

設(shè)平面BC1B1與平面DEF所成的角為θ,θ∈[0,,

則cos14分

當(dāng)a=時,2a2—2a十4取最小值為,…………………15分

此時cosθ取最大值為,此時B1D=,………16分

\

所以當(dāng)B1D時,平面BB1C1C與平面DFE所成角的余弦值最大,最大值是.…17分

3

19.(1)解:由已知得圓O的半徑r……………………1分

所以圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為父2十y2=4.…………3分

(2)證明:由(1)可知A(2,0),B(0,2),

22

設(shè)P(父0,y0)(父0≠0,y0≠0),則父0十y0=4,

y0

由題意知父0≠2,直線AP的方程為y=(父—2).…………………4分

父0—2

—2y0

令父=0,得y,所以M0,.…………………5分

(父0—2)

y0—2

由父0≠0,得直線BP的方程為y=父十2.……………6分

父0

—2父—2父

令y=0,得父=0,所以N0,0.…………………7分

y0—2(y0—2)

所以.