2026屆河南省濟源英才學校高二上數(shù)學期末達標測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點，弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20222．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點，，設，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.3．《九章算數(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升4．在中，，滿足條件的三角形的個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無數(shù)多5．設，則當數(shù)列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（）A.4 B.5C.4或5 D.5或66．復數(shù)的共軛復數(shù)是A. B.C. D.7．在正方體中中，，若點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D9．某家大型超市近10天的日客流量（單位：千人次）分別為：2.5、2.8、4.4、3.6.下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）A.散點圖 B.條形圖C.莖葉圖 D.扇形圖10．已知數(shù)列的前n項和為，，，則=（）A. B.C. D.11．德國數(shù)學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數(shù)的幾何意義．設是函數(shù)的導函數(shù)，若，且對，，且總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.12．若數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若，則________.14．已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________.15．已知直線與雙曲線交于兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______16．已知圓，過點作圓O的切線，則切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.18．（12分）在數(shù)列中，，點在直線上.（1）求的通項公式；（2）記的前項和為，且，求數(shù)列的前項和.19．（12分）從某居民區(qū)隨機抽取2021年的10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位：千元)與月儲蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計算得，，，（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關還是負相關；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲蓄之間的變化情況，并預測當該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值20．（12分）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上.（1）求漁船甲的速度；（2）求的值.21．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞．某機構將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822．（10分）用長度為80米的護欄圍出一個一面靠墻的矩形運動場地，如圖所示，運動場地的一條邊記為（單位：米），面積記為（單位：平方米）（1）求關于的函數(shù)關系；（2）求的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點的最短弦長，再結(jié)合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A2、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D3、B【解析】設出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關于首項和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項和公差，根據(jù)求出的首項和公差，利用等差數(shù)列的通項公式即可求出第5節(jié)的容積【詳解】解：設竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點睛】本題考查學生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用等差數(shù)列的通項公式化簡求值，屬于中檔題4、B【解析】利用正弦定理得到，進而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個.故選：B5、A【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到，解不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】由，即，解得，因為,故.故選：A.6、B【解析】因,故其共軛復數(shù).應選B.考點：復數(shù)的概念及運算.7、A【解析】如圖建立空間直角坐標系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A8、A【解析】由已知，分別表示出選項對應的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.9、A【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特征以及各統(tǒng)計圖表的特征分析即可；【詳解】解：莖葉圖、條形圖、扇形圖均能將數(shù)據(jù)描述出來，并且能夠體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化趨勢；散點圖表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢，故用來描述該超市近10天的日客流量不是很合適；故選：A10、D【解析】利用公式計算得到，得到答案【詳解】由已知得，即，而，所以故選：D11、D【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點睛】本題考查以數(shù)學文化為背景，導數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.12、C【解析】利用前項積與通項的關系可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出導函數(shù)，確定導函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的運算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關鍵14、【解析】由題意得:考點：等差數(shù)列通項15、【解析】分析可知，由可求得結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.16、或【解析】首先判斷點圓位置關系，再設切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【詳解】由題設，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過作圓O的切線斜率一定存在，∴可設切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的極大值為0,的極小值為（2）2【解析】（1）先求導可得，再利用導函數(shù)判斷的單調(diào)性，進而求解；（2）由（1）可得在上的最小值為，由，，可得的最大值為，進而根據(jù)求解即可.【詳解】解:（1）當時，，所以，令，則或，則當和時，；當時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以極大值為；的極小值為.（2）由題,，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值即為的極小值；因為,,所以，因為，則，所以.【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運算能力.18、（1）（2）【解析】（1）由定義證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由得出通項公式；（2）先由求和公式得出，再由裂項相消求和法求和即可.【小問1詳解】由題意可知，，所以數(shù)列是公差的等差數(shù)列又，所以，故小問2詳解】，則故19、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.【小問2詳解】因為，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關.【小問3詳解】將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).20、（1）14海里小時；（2）.【解析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小問1詳解】(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時.即漁船甲的速度為14海里小時.【小問2詳解】在△中，因為，，，，由正弦定理，得，即.值為.21、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應的概率，從而得到分布列與數(shù)學期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關.【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人