高三數(shù)學(xué)數(shù)列的概念選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練單元達(dá)標(biāo)專項(xiàng)訓(xùn)練學(xué)能測(cè)試一、數(shù)列的概念選擇題1．在數(shù)列中，已知，，且，則()A．-6 B．6C．-3 D．3答案：C解析：C【分析】根據(jù)題設(shè)條件，得到數(shù)列是以6項(xiàng)為周期的數(shù)列，其中，再由，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，，，且，可得，可得數(shù)列是以6項(xiàng)為周期的數(shù)列，其中，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式，以及數(shù)列的周期性的應(yīng)用，其中解答中得出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】利用項(xiàng)和關(guān)系，代入即得解.【詳解】利用項(xiàng)和關(guān)系，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的項(xiàng)和關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F(xiàn)（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則b2020=（）A．3 B．2 C．1 D．0答案：A解析：A【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列的周期即可.【詳解】由題意可知“兔子數(shù)列”被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……則可得到周期為6，所以b2020=b4=3，故選：A4．正整數(shù)的排列規(guī)則如圖所示，其中排在第行第列的數(shù)記為，例如，則等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022答案：C解析：C【分析】根據(jù)題目中已知數(shù)據(jù)，進(jìn)行歸總結(jié)，得到一般性結(jié)論，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，第1行第1列的數(shù)為1，此時(shí)，第2行第1列的數(shù)為2，此時(shí)，第3行第1列的數(shù)為4,此時(shí)，據(jù)此分析可得:第64行第1列的數(shù)為，則，故選：C.5．已知數(shù)列滿足，且，則的前2021項(xiàng)之積為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由，且，可得：，可得其周期性，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，，，，?.則的前2021項(xiàng)之積.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)：（1）用代數(shù)的變形技巧整理變形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、構(gòu)造法或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)等方法求得通項(xiàng)公式．（2）通過具體的前幾項(xiàng)找到其規(guī)律，如周期性等求解.6．在數(shù)列中，，則（）A．是常數(shù)列 B．不是單調(diào)數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列答案：D解析：D【分析】由，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】在數(shù)列中，，由反比例函數(shù)的性質(zhì)得：是時(shí)單調(diào)遞減數(shù)列，故選：D7．定義：在數(shù)列中，若滿足（為常數(shù)），稱為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”中，，則等于（）A．4×20162－1 B．4×20172－1 C．4×20182－1 D．4×20182答案：C解析：C【分析】根據(jù)“等差比”數(shù)列的定義，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用求解.【詳解】由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首先為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義，等差數(shù)列，重點(diǎn)考查理解題意，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型.8．?dāng)?shù)列中，，，則（）A．511 B．513 C．1025 D．1024答案：B解析：B【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，求解出的通項(xiàng)公式即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以且，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式，難度一般.對(duì)于求解滿足的數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以采用構(gòu)造等比數(shù)列的方法進(jìn)行求解.9．已知等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入可得的值.【詳解】由，得，則有.故選：B.【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，知識(shí)點(diǎn)較為簡(jiǎn)單.10．在數(shù)列中，已知，，，則等于（）A． B． C．4 D．5答案：B解析：B【分析】根據(jù)已知遞推條件即可求得【詳解】由知：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系求項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題11．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中的最大項(xiàng)為（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，從而可得到n＝2時(shí)，an最大.【詳解】解：，當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an；當(dāng)n＝2時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n2時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為a2或a3，且.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：最值問題，屬于基礎(chǔ)題.12．已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第10項(xiàng) B．第11項(xiàng) C．第12項(xiàng) D．第21項(xiàng)答案：B解析：B【分析】根據(jù)題中所給的通項(xiàng)公式，令，求得n=11，得到結(jié)果.【詳解】令，解得n=11，故是這個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng).故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題目.13．已知數(shù)列，則該數(shù)列第項(xiàng)是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由觀察可得項(xiàng)數(shù)為，注意到，第項(xiàng)是第個(gè)括號(hào)里的第項(xiàng).【詳解】由數(shù)列，可發(fā)現(xiàn)其項(xiàng)數(shù)為，則前個(gè)括號(hào)里共有項(xiàng)，前個(gè)括號(hào)里共有項(xiàng)，故原數(shù)列第項(xiàng)是第個(gè)括號(hào)里的第項(xiàng)，第個(gè)括號(hào)里的數(shù)列通項(xiàng)為，所以第個(gè)括號(hào)里的第項(xiàng)是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的定義，考查學(xué)生觀察找出已知數(shù)列的特征歸納出其項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，是一道中檔題.14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．35 B．40 C．45 D．50答案：A解析：A【分析】利用，根據(jù)題目已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，問題得解.【詳解】,時(shí)，時(shí)滿足，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項(xiàng).已知求的三個(gè)步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式．(3)對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．．15．在數(shù)列中，，，則（）A．0 B．1 C． D．答案：A解析：A【分析】寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找尋規(guī)律，求出數(shù)列的周期，問題即可解.【詳解】，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；數(shù)列的周期是3故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列.求解數(shù)列的周期問題時(shí)，周期數(shù)列的解題方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前項(xiàng)的和.二、數(shù)列多選題16．已知數(shù)列滿足，()，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯(cuò)，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯(cuò).【詳解】由可知，即，當(dāng)時(shí)，則，即得到，故選項(xiàng)B正確；無法計(jì)算，故A錯(cuò)；，所以，則解析：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯(cuò)，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯(cuò).【詳解】由可知，即，當(dāng)時(shí)，則，即得到，故選項(xiàng)B正確；無法計(jì)算，故A錯(cuò)；，所以，則，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法：（1）累加法，形如的數(shù)列，求通項(xiàng)時(shí)，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的數(shù)列，求通項(xiàng)時(shí)，常用累乘法求解；（3）構(gòu)造法，形如（且，，）的數(shù)列，求通項(xiàng)時(shí)，常需要構(gòu)造成等比數(shù)列求解；（4）已知與的關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，一般可根據(jù)求解.17．已知數(shù)列中，，，.若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)可能為（）A．－4 B．－2 C．0 D．2答案：AB【分析】由題意可得，利用裂項(xiàng)相相消法求和求出，只需對(duì)于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的恒成立，然后將選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可求解.【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對(duì)于任意的恒成立解析：AB【分析】由題意可得，利用裂項(xiàng)相相消法求和求出，只需對(duì)于任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的恒成立，然后將選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可求解.【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對(duì)于任意的恒成立，整理得對(duì)于任意的恒成立，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故D錯(cuò)誤，故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查了裂項(xiàng)相消法、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.18．已知數(shù)列滿足，，則下列各數(shù)是的項(xiàng)的有（）A． B． C． D．答案：BD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式找出規(guī)律，可得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，從而可求解結(jié)論．【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，；；；數(shù)列是周期為3的數(shù)列，且前3項(xiàng)為，，3；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要解析：BD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式找出規(guī)律，可得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，從而可求解結(jié)論．【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，；；；數(shù)列是周期為3的數(shù)列，且前3項(xiàng)為，，3；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查數(shù)列的周期性，解題的關(guān)鍵在于求出數(shù)列的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．19．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．答案：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列解析：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題運(yùn)算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．20．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，答案：ABC【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由可得，利用通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為和即可判斷選項(xiàng)A；利用前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C；由可得且，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而得出正確選項(xiàng)解析：ABC【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由可得，利用通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為和即可判斷選項(xiàng)A；利用前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C；由可得且，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，前項(xiàng)和為，由得：，即，即，對(duì)于選項(xiàng)A：由得，可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，若，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以，，所以，故選項(xiàng)D不正確，故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是由得出，熟記等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)即可.21．在等差數(shù)列中，公差，前項(xiàng)和為，則（）A． B．，，則C．若，則中的最大值是 D．若，則答案：AD【分析】對(duì)于，作差后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得答案；對(duì)于，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得到和，進(jìn)而可得，由此可知，故不正確；對(duì)于，由得到，，然后分類討論的符號(hào)可得答案；對(duì)于，由求出及解析：AD【分析】對(duì)于，作差后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得答案；對(duì)于，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得到和，進(jìn)而可得，由此可知，故不正確；對(duì)于，由得到，，然后分類討論的符號(hào)可得答案；對(duì)于，由求出及，根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列可求得.【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，且，所以，所以，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，，所以，即，，即，因?yàn)?，所以，所以，即，故不正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)時(shí)，等差數(shù)列遞增，則，所以中的最小值是，無最大值；當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列遞減，則，所以中的最大值是，無最小值，故不正確；對(duì)于，若，則，時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，故正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式是解題關(guān)鍵.22．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則（）A．若，則 B．若，則是中最大的項(xiàng)C．若，則 D．若則.答案：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)判斷．【詳解】A錯(cuò)：；B對(duì)：對(duì)稱軸為7；C對(duì)：，又，；D錯(cuò)：，但不能得出是否為負(fù)，因此不一定有．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列解析：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)判斷．【詳解】A錯(cuò)：；B對(duì)：對(duì)稱軸為7；C對(duì)：，又，；D錯(cuò)：，但不能得出是否為負(fù)，因此不一定有．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，（1）是關(guān)于的二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)得最值；（2），可由的正負(fù)確定與的大?。唬?），因此可由的正負(fù)確定的正負(fù)．23．記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，若且，則下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列中最大值的項(xiàng)是C．公差 D．?dāng)?shù)列也是等差數(shù)列答案：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項(xiàng)是，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由上述分析可知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且.所以數(shù)列的前項(xiàng)遞減，第項(xiàng)后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】等差數(shù)列有關(guān)知識(shí)的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，可以令或來求解.24．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為則