天津市塘沽第一中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.1002．已知直線是圓的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.83．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得5．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或146．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的兩點(diǎn)，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.7．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.98．已知，則下列三個(gè)數(shù)，，（）A.都不大于-4 B.至少有一個(gè)不大于-4C.都不小于-4 D.至少有一個(gè)不小于-49．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.10．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離11．如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.12．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有______個(gè)①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無公共點(diǎn)；④曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線左支上的一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是____________15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且，若，則______.16．設(shè)函數(shù)，.若對(duì)任何，，恒成立，求的取值范圍______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知雙曲線，過向雙曲線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，且.（1）證明：直線的方程為.（2）設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19．（12分）拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（1）若，求直線AB的斜率；（2）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值20．（12分）已知四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，G是的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小22．（10分）一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為、、、的四個(gè)形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號(hào)之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)，列出所有的基本事件，并求的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題設(shè)條件求出，從而可求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，故，解得，故，故選：D.2、C【解析】首先將圓心坐標(biāo)代入直線方程求出參數(shù)a，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由切線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點(diǎn)A坐標(biāo)為，，切點(diǎn)為B則，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.4、B【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)一真一假時(shí)也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項(xiàng)，可以使用正弦定理和大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊進(jìn)行證明；C選項(xiàng)，利用逆否命題的定義進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)，特稱命題的否定，把存在改為任意，把結(jié)論否定，故可判斷D選項(xiàng).【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯(cuò)誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯(cuò)誤；命題，使得，則，使得，故D錯(cuò)誤.故選：B5、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得公差，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時(shí)，取得最大值，故選：C6、C【解析】作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，結(jié)合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，因?yàn)?，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.7、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B8、B【解析】利用反證法設(shè)，，都大于，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，都大于，則，由于，故，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不大于，故選：B.9、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題10、A【解析】先計(jì)算兩圓心之間的距離，判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，兩圓心之間的距離，故兩圓內(nèi)切.故選：A.11、B【解析】先用向量與表示，然后用向量表示向量與，即可得解【詳解】解：為的中點(diǎn)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】因?yàn)椤叭?，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對(duì)稱性、范圍，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；②因?yàn)?，解得或，故，同理可得：，故錯(cuò)誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關(guān)于的一元二次方程，故，所以方程無根，故曲線與沒有交點(diǎn)；綜上所述，③正確；④假設(shè)曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)構(gòu)成正方形，根據(jù)對(duì)稱性，第一象限的交點(diǎn)必在上，聯(lián)立與可得：，故交點(diǎn)為，而此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如何研究對(duì)稱性以及范圍問題，屬困難題.14、5【解析】根據(jù)得出，設(shè)，從而利用雙曲線的定義可求出，的關(guān)系，從而可求出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，因?yàn)椋?，因?yàn)?，不妨設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以雙曲線的離心率故答案為：.15、3【解析】先求點(diǎn)坐標(biāo)，再由已知得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由列方程得解.【詳解】拋物線：()的焦點(diǎn)，∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)，因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，，，因?yàn)?，所以，，所?故答案為：3.16、【解析】先把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任何，，所以對(duì)任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對(duì)恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對(duì)參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個(gè)別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)出切線方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理及根的判別式進(jìn)行表達(dá)出A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出直線的方程，化簡(jiǎn)即為結(jié)果；（2）再第一問的基礎(chǔ)上，利用向量的夾角公式表達(dá)出夾角的余弦值，進(jìn)而證明出結(jié)論.【小問1詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，化簡(jiǎn)得.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，故切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，得，則，故，則，即.【小問2詳解】同理可得，又與均過，所以.故，，，又因?yàn)?，所以，則，，故，故.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中證明角度相關(guān)的問題，往往需要轉(zhuǎn)化為斜率或向量進(jìn)行求解.18、（1）當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）0.【解析】（1）求得，對(duì)參數(shù)分類討論，即可由每種情況下的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意求得，利用進(jìn)行放縮，只需證即，再利用導(dǎo)數(shù)通過證明從而得到恒成立，則問題得解.【小問1詳解】以為，其定義域?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)?，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故在恒成立，即；因?yàn)椋剩?，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，也即；令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，也即；又，故恒成立，則在恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)問題的處理；本題第二問處理的關(guān)鍵是通過分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，證明恒成立，屬綜合困難題.19、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，依題意F（1,0），設(shè)直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設(shè)直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得．設(shè)，，所以，．①因?yàn)?，所以．②?lián)立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因?yàn)?，所以?dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)，線段的中點(diǎn)為H，分別連接，可證，從而可得平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量后可求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：設(shè)，線段的中點(diǎn)為H，分別連接又因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑩?jù)菱形性質(zhì)知，O為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【小?詳解】解：據(jù)四邊形是菱形的性質(zhì)知，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，故平面，所以以分別為x軸，y軸，以過與的交點(diǎn)O，且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則有，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則，且，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則，且，所以所以，所以二面角的正弦值為21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證得，利用線面平行的判定定理，即可求解；（2）以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量的夾角公式，即可求解【小問1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，由，，則，又由平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系，可得，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則又平面的法向量為；則，所以平面與平面所成的銳二面角為.22、（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，