專升本理工科2025年概率論真題試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在題后的括號內。）1.設事件A和B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結論正確的是（）。（A）P(AB)=P(A)P(B)（B）P(A|B)=0（C）P(B|A)=P(B)（D）P(A+B)=P(A)+P(B)2.設隨機變量X的分布律為P(X=k)=c(1/2)^k，k=1,2,3,4，則c的值為（）。（A）1/15（B）1/8（C）2/3（D）3/83.設隨機變量X的密度函數為f(x)={1/2,-1<x<1;0,其他。則P(X<-0.5)等于（）。（A）1/4（B）1/2（C）3/4（D）14.設隨機變量X和Y相互獨立，且X~N(0,1)，Y~N(1,1)，則隨機變量Z=2X-Y的分布為（）。（A）N(0,1)（B）N(1,1)（C）N(0,5)（D）N(1,5)5.設隨機變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1，則根據切比雪夫不等式，有P(|X-2|>=2)小于或等于（）。（A）1/4（B）1/2（C）1（D）2二、填空題（每小題2分，共10分。請將答案填在題中橫線上。）6.設A，B，C為三個事件，若P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/4，P(AB)=1/12，P(AC)=1/8，P(BC)=1/24，P(ABC)=1/24，則P(A+B+C)=________。7.設隨機變量X服從參數為lambda的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，則lambda=________。8.設隨機變量X的密度函數為f(x)={kx^2,0<x<3;0,其他。則k=________。9.設隨機變量X和Y相互獨立，且X~N(1,4)，Y~N(0,9)，則E(XY)=________。10.設隨機變量X和Y的協(xié)方差cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=1，Y的方差D(Y)=4，則X和Y的相關系數rho(X,Y)=________。三、計算題（每小題5分，共20分。）11.一個袋中有5個紅球和3個白球，從中不放回地依次取出兩個球，求取出的兩個球顏色不同的概率。12.設隨機變量X的分布律為P(X=k)=k/15，k=1,2,3,4,5，求隨機變量X的分布函數F(x)。13.設隨機變量X的密度函數為f(x)={2x,0<x<1;0,其他。求隨機變量X的數學期望E(X)和方差D(X)。14.設隨機變量X和Y相互獨立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，求隨機變量Z=X^2+Y^2的分布函數在x=2時的值。四、證明題（每小題10分，共20分。）15.設A，B，C為三個事件，證明：P(ABC)<=P(A)+P(B)+P(C)-2。16.設隨機變量X和Y的期望分別為E(X)和E(Y)，證明：對于任意實數a和b，有[E(X-aY)]^2<=D(X)+a^2D(Y)。試卷答案一、選擇題1.(B)2.(D)3.(A)4.(C)5.(A)二、填空題6.5/87.28.9/279.010.1/3三、計算題11.解：設A=第一次取到紅球，B=第二次取到紅球。P(A)=5/8，P(AB)=5/8*4/7=20/56。P(A'+B)=3/8*5/7=15/56。P(A+B)=P(A)+P(A')+P(AB)=5/8+3/8-20/56=35/56。或者P(顏色不同)=1-P(顏色相同)=1-P(兩次都是紅球)=1-5/8*4/7=35/56。12.解：因為P(X=k)=k/15，k=1,2,3,4,5，所以P(X<=x)=sum_{k=1}^{floor(x)}P(X=k)。當x<1時，F(x)=0。當1<=x<2時，F(x)=1/15+2/15=3/15。當2<=x<3時，F(x)=3/15+3/15=6/15。當3<=x<4時，F(x)=6/15+4/15=10/15。當4<=x<5時，F(x)=10/15+5/15=15/15。當x>=5時，F(x)=1。所以F(x)={0,x<1;3/15,1<=x<2;6/15,2<=x<3;10/15,3<=x<4;15/15,x>=4。}13.解：E(X)=int_0^1x*2xdx=2int_0^1x^2dx=2*(1/3)x^3|_0^1=2/3。E(X^2)=int_0^1x^2*2xdx=2int_0^1x^3dx=2*(1/4)x^4|_0^1=1/2。D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1/2-(2/3)^2=1/18。14.解：因為X和Y相互獨立，且都服從N(0,1)，所以X^2和Y^2都服從卡方分布，自由度為1。Z=X^2+Y^2服從自由度為2的卡方分布。P(Z<=2)=integralfrom0to2of(1/2*exp(-t/2))dt=1-2*exp(-1)=1-2/e。所以F(2)=1-2/e。四、證明題15.證明：P(ABC)<=P(A)P(B)P(C)（由概率乘法公式和獨立性）。P(A)+P(B)+P(C)-2<=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)（因為P(ABC)<=P(A)P(B)P(C)）。P(A)+P(B)+P(C)-2<=1-P(A'+B'+C')（由德摩根律和全概率公式）。P(A)+P(B)+P(C)-2<=1-(1-P(A)(1-P(B)(1-P(C)))（因為A,B,C互斥）。P(A)+P(B)+P(C)-2<=P(A)(1-P(B)(1-P(C)))。P(A)+P(B)+P(C)-2<=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)。P(A)+P(B)+P(C)-2<=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)（因為P(A)+P(B)+P(C)-2<=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)）。P(A)+P(B)+P(C)-2<=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)。P(ABC)<=P(A)+P(B)+P(C)-2。16.證明：令Z=X-aY。E(Z)=E(X-aY)=E(X)-aE(Y)=E(X)-a*0=E(X)。E(Z^2)=E((X-aY)^2)=E(X^2-2aXY+a^2Y^2)=E(X^2)-2aE(XY)+a^2E(Y^2)。因為X和Y獨立，所以E(XY)=E(X)E(