1.2空間向量基本定理第一章空閭向量與立體幾何人教A版(2019)選擇性必修第一冊學習目標核心素養(yǎng)1.理解空間向量基本定理及其意義，會用基底表示空間向量.

(重點)直觀想象2.了解正交分解的意義，體會空間向量基本定理求解

立體幾何問題的方法.

(難點)邏輯推理我們知道，平面內的任意一個向量p

都可以用兩個不共線的向量

a,b

來表示(平面向量基本定理).類似地，任意一個空間向量能否用任意三個不共面的向量a,b,c

來表示呢?新課引入從空間中三個不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論.如圖，設

i,j,k

是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點0.對于任意一個空間向量p=0P,設

0Q為

OP

在

i,j所確定的平面上的投影向量，

則

OP=0Q+QP.新知學習□又向量

QP,k共線，因此存在唯一的實數z,使得QP=zk,

從而

OP=0Q+zk.而在i,j所確定的平面上，

由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x,y),

使

得

0Q=xi+yj.

從而

OP=0Q+zk=xi+yj+zk.

新

知學習如果i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z)

,

使得

p=xi+yj+zk

.

我們稱

xi,yj,zk分

別為向量p在

i,j,k上的分向量

.新知學習工是唯一的.證明如下：若

p=xi+yj+zk=xi+yj+zk,

則(x-x)i+(y-y);+(z-z)k=0.因為

i,j,k

不共面，所以x-x=y-y′=z-z=0,即

x=x,y=y,z=z,所以有序實數組

(x,y,z)是唯一的.另外，根據

OP的表示過程，由平面向量基本定理可

知(x,y)

是唯一的，由共線向量定理可知z

是唯一的，所以實數組(x,y,z)是唯一的.新知學習

你能證明唯

一性嗎?在空間中，如果用任意三個不共面的向量a,b,c代替兩兩垂直的向量i,j,k,

你能得出類似的結論嗎?新知學

習

探究空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個

空間向量p,

存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.新知學習□基底與基向量：如果三個向量a,b,c

不共面，那么所有空間向量組成的集

合就是{plp=xa+yb+zc,x,y,z

∈R}

.這個集合可看作由向量a,b,c

生成的

我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底，a,b,c

都叫做基向量

.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.新知學習

單位正交基底：特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i,j,k}表

示

.新知學習

正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a,均可以分解

為三個向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk

.像這樣，把一個空間向量分解為三個

兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解

.新知學習足新知學習由空間向量基本定理可知，如果把三個不共面的向量作為空間的一個基底，那么所有空間向量都可以用三個基向量表示出來.進一步地，所有空間向量間的

運算都可以轉化為基向量間的運算，這為解決問題帶來了方便.分析：0A,OB,OC是三個不共面的向量，它們構成空間的一個基底{OA,OB,OC},OP

可以用基底{OA,OB,OC}表示出來.例1如圖

，M

是四面體

OABC的棱BC的中點，點N在線段

OM

上，點P在線段AN

上，且

,用向量

OA,OB,OC

表示OP.ACB例題鞏固例題鞏固解：例2如圖，在平行六面體ABCD-A?

B?C?

D?AB=4,AD=4,AA?=5,∠DAB=60°,∠BAA?=60°,∠DAA?=60°,M,N分別為

D?C?,C?B?中

點

.

求

證

MN⊥AC?

.分

析：要證

MN⊥AC?

,

只需證明MN

·AC?=0.中

，的由已知，{

可構成空間的

一個基底

.把MN

和AC?

分別用基底表示，然后計算

MN·AC?

即

可

.證明：設AB=a,AD=b,AA?=c,這三個向量不共面，{a,b,c}構成空間的一個基底，我們用它們表示MN,AC?,貝,AC?=AB+BC+CC?=a+b+c,例題鞏固所以MN⊥AC?

.例

3如圖，正方體ABCD-A'B'C'D′的棱長為1,E,F,G

分別為CD'A'D,D'D

的中點

.(1)求證：EF//AC;(

2

)

求

CE

與

AG

所成角的余弦值.分析：(1)要證明EFIAC,只需證明

EF

與

AC

共線

.設DA=i,DC=j,DD=k,

則{i,j,k}構成空間的一個單位正交基底，把

EF

和

AC

分別用基向

量表示，作相應的運算證明它們共線即可.

(2)要求

CE

與

AG

所成角的余弦

值，只需求

CE,AG

所成角的余弦值即可.(1)

證明：設DA=i,DC=j,DD=k,則{i,j,k}

構成空間的一個單位正交基底.所以

,CA=DA-DC=i-j所以所以EF//AC.例題鞏固所以CE

與AG

所成角的余弦值為例題鞏固(2)

解：因為解析：因為AC?=AB+BC+CC?,且AC=xAB+2yBC+3zC?C,所以x=1,2y=1,3z=-1,即x=1,2.在平行六面體ABCD-A?B?C?D?

中，若AC?=xAB+2yBC+3zC?C,A.1

B

隨堂練習D

C

3.若{a,b,c}是空間的一個基底，且向量m=a+

b,n=a-b,

則可以與

m,n構成空間的另一個基底的向量是(C)A.a

B.b

C.cD.2a解析：由題意知，a,b,c

不共面，對于A,故a,m,n共面，排除A;對于B,

故

b,m,n共面，排除B;對于C,易知c,m,n不共面，故可以構成空間的另一個基底，C

正確；

對于D,

由

A得，2a=m+n,故2a,m,n共面，排除D.故選C.解析：A

選項，當a,c不共線時，a·(b·c)與

a

共線，(a·b)·c與

c共線，故a·(b·c)=(a·b)·c不可能成立，故A不正確.B選項，{a,b,c}是空間的一組基底，

故三個向量不共面且兩兩共面不共線，假設x,y,z

不全為0,不妨設x≠0,

此時有xa=0,故a=0,矛盾；不妨設x≠0,y≠0,此時xa+

yb=0,故

a,b共線，矛盾；若三者均不為0,即xa+yb+zc=0,此時

a,b,c

共面，矛盾，綜上，假設不成立，故x=y=z=0,B正確.C選項，a

在b上的投影向量為C正確.D

選項，設a+b=m(b-c)+n(c+2a),

即無解，故a+b,b-c,c+2a不共面，一定能構成空間的一組基底，D正確.故選BCD.5.已知{e?,e?,e?}是空間的一個基底，向量a=e?+e?+e?

,b=e?+e?-e?,C=e?-e?+e3,d=e?+2e?+3e?

.若d=xa+yb+zc,則

x,y,z的值分別隨堂練習解析：

xa-yb+zc=x(e?+e?+e?)+y(e?+e?-e=(x+y+z)e?+(x-y-z)e?+(x-y+z)e?=e?+?)+z(e?-e?+e?)2e?+3e?,由空間向量基本定理，得隨堂練習

印隨堂練習6.已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD

為正方形，G為△PCD

的重心，AB=i,AD=j,AP=k,用基底{i,j,k}表示向量BG,則

解析：如圖所示，延長PG交

CD

于點E,

則

E

為

CD

的中點.隨堂練習7.如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°,AC與

BD交于點

O,EC⊥底面ABCD,F為

BE

的中點，AB=CE.(1)求證：DE//平面ACF;

(用向量方法證明)(2)求〈EO,AF〉的余弦值.DLA解析：設AB=CE=1,CD=a,CB=b,CE=c,則

|a=b=c|=1,<a,c〉=<