2.1.1傾斜角與斜率

人教A版（2019）選擇性必修一學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點(diǎn)）2.掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（重難點(diǎn)）1新課導(dǎo)入確定一條直線的幾何要素是什么？對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線l（如右圖），如何利用坐標(biāo)系確定它的位置？Oxyl1.兩點(diǎn)確定一條直線2.一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線.我們知道一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線可以由兩點(diǎn)確定一條直線推導(dǎo)出來，下面我們來推導(dǎo)一下.新課學(xué)習(xí)3推導(dǎo)一下上面的問題：

Oxy.A.Bl兩點(diǎn)確定一條直線?一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線所以一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線可以由兩點(diǎn)確定一條直線推導(dǎo)出來.新課學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過一點(diǎn)P

可以作無數(shù)條直線l1，l2，l3，…，它們組成一個(gè)直線束.觀察右圖說說這些直線的區(qū)別是什么？l2Oxy.Pl1l3l'α3α'α2α1在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向?yàn)檫@條直線的方向.結(jié)論：各直線相對(duì)于x軸的傾斜程度不同；即直線向上的方向與x軸的正方向所成的角不同.新課學(xué)習(xí)直線的傾斜角的概念當(dāng)直線

l與

x軸相交時(shí)，我們以

x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線

l向上的方向之間所成的角

α叫做直線

l的傾斜角．新課學(xué)習(xí)觀察一下上圖中的角，哪些角是銳角，哪些角是鈍角？圖中直線

l1的傾斜角α1為銳角，直線

l'

的傾斜角α'為鈍角.因此，我們有如下規(guī)定：1.當(dāng)直線

l與

x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定此時(shí)直線的傾斜角為0°

新課學(xué)習(xí)根據(jù)上面的學(xué)習(xí)，傾斜角確定的嗎？什么時(shí)候直線的傾斜角是相同的？在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，可以用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.新課學(xué)習(xí)下面我們用向量的方法研究直線的傾斜角.我們?cè)O(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)（其中x1≠x2）是直線l的兩點(diǎn).Oxyl.P1(x1，y1).P2(x2，y2)由兩點(diǎn)確定一條直線可知，直線l可以由上面的兩點(diǎn)確定,所以，可以推斷出直線

l的傾斜角

α與

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)有內(nèi)在聯(lián)系.下面我們來研究一下這兩點(diǎn)與傾斜角的內(nèi)部聯(lián)系.新課學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線

l的傾斜角為

α．

Oxy.

l

新課學(xué)習(xí)

Oxy

P1(–1，1)

ααP新課學(xué)習(xí)(3)一般地，如果直線

l經(jīng)過兩點(diǎn)

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么

α與

P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？xαOyP1P2PαxαOyP1P2Pα新課學(xué)習(xí)(3)一般地，如果直線

l經(jīng)過兩點(diǎn)

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么

α與

P1，P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系？xαOyP2P1PαxαOyP2P1Pα新課學(xué)習(xí)當(dāng)直線P1P2與x軸平行或者重合時(shí)，上述式子還成立嗎？為什么？OxyP2P1P2P1新課學(xué)習(xí)直線的斜率的概念我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即直線

l的傾斜角

α與直線

l上的兩點(diǎn)

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1

x2)的坐標(biāo)有如下關(guān)系：k＝tanα②新課學(xué)習(xí)根據(jù)直線的斜率，我們對(duì)直線的傾斜角作出下面的規(guī)定：1.直線l的傾斜角為90°的直線無意義，直線斜率不存在.2.直線l的傾斜角不是90°的直線都有斜率.例如，傾斜角30°時(shí)，這條直線的斜率

k＝tan30°=傾斜角120°時(shí)，這條直線的斜率k＝tan120°=-tan60°=

新課學(xué)習(xí)

當(dāng)傾斜角

α滿足

0°≤α＜90°且逐漸增大時(shí)，斜率

k逐漸增大；當(dāng)傾斜角

α＝90°，斜率不存在；當(dāng)傾斜角

α滿足

90°＜α＜180°且逐漸增大時(shí)，斜率

k逐漸增大.由正切函數(shù)的單調(diào)性，傾斜角不同的直線，其斜率也不同．因此，我們可以用斜率表示傾斜角不等于

90°的直線相對(duì)于

x軸的傾斜程度，進(jìn)而表示直線的方向．新課學(xué)習(xí)過兩點(diǎn)的直線的斜率的概念如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1

x2)，那么由①②可得如下的斜率公式：我們發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫了直線相對(duì)于x軸的傾斜角.新課學(xué)習(xí)(1)已知直線上的兩點(diǎn)

A(a1，a2)，B(b1，b2)，運(yùn)用上述公式計(jì)算直線

AB的斜率時(shí)，與

A，B兩點(diǎn)的順序有關(guān)嗎？計(jì)算直線

AB的斜率時(shí)，與

A，B兩點(diǎn)的順序無關(guān)，可以寫為(2)當(dāng)直線平行于

y軸，或與

y軸重合時(shí)，上述公式還適用嗎？為什么？當(dāng)直線平行于y軸或與

y軸重合時(shí)，上述公式不適用，此時(shí)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，分母為零無意義.新課學(xué)習(xí)直線的方向向量與斜率的向量表示

(x2－x1，y2－y1)因此，若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（x，y），則新課學(xué)習(xí)例1：如圖，已知

A(3,2)，B(-4,1)，C(0,-1)，求直線

AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．直線

AB的斜率

kAB＝

；

直線

BC的斜率

kBC＝

；

直線

CA的斜率

kCA＝

．

由

kAB＞0及

kCA＞0可知，直線

AB與

CA的傾斜角均為銳角；由