2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.1兩條直線的交點坐標兩條直線的位置關(guān)系

復習引入直線l1：A1x+B1y+C1=0和直線l2：A2x+B2y+C2=0復習引入（分母不為零時）思考已知兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,它們的交點坐標與直線l1,l2的方程有什么系?你能由此得到求兩條相交直線交點坐標的方法嗎?OyxP設(shè)這兩條直線的交點為P,則點P既在直線l1上,也在直線l2上,所以點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,也滿足直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,即點P的坐標是方程組的解,解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.課堂探究OyxP1.兩條直線的交點坐標：一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則直線l1

與

l2

相交，方程組的解就是交點的坐標.

課堂探究例1

求下列兩條直線的交點坐標，并畫出圖形：l1:3x＋4y─2＝0，l2:2x＋y＋2＝0.Ml1xyO1-22-2-1-121l2典例精講

例2判斷下列各對直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點坐標.(1)l1:x－y=0，l2:3x＋3y－10＝0；(2)l1:

3x－y＋4＝0，l2:6x－2y－1＝0；(3)l1:

3x＋4y－5＝0，l2:6x＋8y－10＝0.典例精講一般地，對于直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程組

總結(jié)感悟直線l1、l2聯(lián)立得方程組

(代數(shù)問題)(幾何問題)總結(jié)感悟1、

求經(jīng)過兩條直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程．因為直線l和直線3x＋y－1＝0平行，所以直線l的斜率k＝－3.應用舉例解2：設(shè)直線l的方程為(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.應用舉例1、

求經(jīng)過兩條直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程．求過兩直線交點的直線方程的方法①方程組法：一般是先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件求出直線方程．②直線系法：先設(shè)出過兩直線交點的直線系方程，再結(jié)合條件利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程．如過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0).總結(jié)感悟思考：經(jīng)過兩相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程還可以怎樣表示？m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0或總結(jié)感悟2、求證:不論m為何實數(shù),直線

(m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒過某一定點.應用舉例總結(jié)感悟1.兩條直線的交點坐標：一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則直線l1

與

l2

相交，方程組的解就是交點的坐標.

(1)平行直線系方程：2.直線系：具有某一共同屬性的一類直線的集合.(2)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m≠C),m是參變量.與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n=0(n是參變量).(3)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是參變量，它不表示直線l2.

課堂小結(jié)2.3.2兩點間的距離

我們知道，在各種幾何量中，直線段的長度是最基本的.所以，在解析幾何中，最基本的公式自然是用平面內(nèi)兩點的坐標表示這兩點間距離的公式.探究如圖,已知平面內(nèi)兩點P1(x1,y1),

P2(x2,y2),如何求P1,P2間的距離|P1P2|?OyxP1(x1,y1)??P2(x2,y2)我們用平面向量的知識來解決.如圖,由點P1(x1,y1),

P2(x2,y2),得

于是課堂探究由此得到P1(x1,y1),

P2(x2,y2)兩點間的距離公式為：特別地,原點O(0,0)與任一點P(x,y)間的距離為：思考

你還有其它推導兩點間的距離公式的方法嗎？課堂探究如圖，以P1P2為斜邊構(gòu)造一個Rt△P1P2Q，則點Q的坐標為

利用P1(x1,y1),

P2(x2,y2)構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理推導兩點間距離公式.與向量法比較，你有什么體會?OyxP1(x1,y1)??P2(x2,y2)Q(x2,y1)(x2,y1).由勾股定理得∴平面內(nèi)兩點P1(x1,y1),

P2(x2,y2)間的距離公式為課堂探究

例3已知點A(－1,2),B(2,),在x軸上求一點P,使得|PA|=|PB|,并求|PA|的值.典例精講

例4

用坐標法證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條相鄰的平方和的兩倍.yxO(a+b,c)ABDC(b,c)(0,0)(a,0)證明:如圖示,四邊形ABCD是平行四邊形,以頂點A為原點,邊AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.在ABCD中,點A的坐標是(0,0),設(shè)點B的坐標為(a,0),點D的坐標為(b,c),由平行四邊形的性質(zhì),得點C的坐標為(a+b,c).即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條相鄰的平方和的兩倍.典例精講第一步：建立坐標系，用坐標表示有關(guān)的量；第二步：進行有關(guān)的代數(shù)運算；第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

在“平面向量及其應用”的學習中，我們用“向量法”證明過這個命題.你能回憶一下證明過程嗎?比較“坐標法”和“向量法”，你有什么體會?用坐標法證明簡單的平面幾何問題的步驟:總結(jié)感悟思考1:已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線P1P2的斜率為k，則y2-y1可怎樣表示？從而點P1和P2的距離公式可作怎樣的變形？

思考2:已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線P1P2的斜率為k，則x2-x1可怎樣表示？從而點P1和P2的距離公式又可作怎樣的變形？

課堂探究思考3:兩個結(jié)論是兩點間距離公式的兩種變形，其使用條件分別是什么？

思考4:若已知

和

，如何求

？

課堂探究1、如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,

求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.思路分析:建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?設(shè)出各頂點的坐標,應用兩點間的距離公式證明.典例解析應用舉例證明:如圖,以BC的中點為原點O,BC所在的直線為x軸,建立直角坐標系.設(shè)A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m