3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修一第三章圓錐曲線發(fā)展簡史圓錐曲線最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年-公元前190年），通過平面截圓錐發(fā)現(xiàn)，并通過幾何法推導(dǎo)出圓錐曲線大部分重要性質(zhì)。17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾提出平面直角坐標(biāo)系后，使得圓錐曲線與平面直角坐標(biāo)系相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點、離心率。平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.平面內(nèi)一個定點定長問題1

若一個動點的軌跡是圓，則該動點應(yīng)滿足什么條件？課本實驗：給你一根細繩和一支鉛筆，如何畫橢圓？繩長大于兩定點間的距離

繩長大于兩定點間的距離

繩長等于兩定點間的距離

繩長小于兩定點間的距離問題3你能歸納出橢圓的定義嗎？1.橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫作橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半叫做半焦距。|MF1|+|MF2|=2aMF1F2記焦距為2c，橢圓上的點M與F1，F(xiàn)2的距離和記為2a.>|F1F2|=2c注重本質(zhì)、理解概念：定義的數(shù)學(xué)表達式：思考：為什么要求2a>2c?

當(dāng)繩長等于兩定點間距離即2a=2c時,軌跡為線段；當(dāng)繩長小于兩定點間距離即2a<2c時,軌跡不存在；問題2

回憶一下我們是如何求圓軌跡方程的？建系建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系設(shè)點設(shè)曲線上任意一點M的坐標(biāo)為(x,y)列式找出限制條件P(M)，并列出幾何等式代換把坐標(biāo)代入限制條件P(M)列出方程化簡化簡方程

類比這個方法，我們開始求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立平面直角坐標(biāo)系一般遵循的原則：對稱、簡潔xOyM方案一?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案問題3：如何建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？如何建系？方案二xOy標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：F1F2xyM(x,

y)以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點，設(shè)M與F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a，橢圓的焦距為2c，則有F1(-c，0)、F2(c，0).

結(jié)論：焦點在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

思考：如果橢圓的焦點在y軸上，那么橢圓方程又會是什么呢？

a,b,c的關(guān)系：a2=b2+c2總結(jié)歸納—橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)三者之間的關(guān)系焦點位置的判斷OxyOxy“誰大在誰家”

題型一：定義的應(yīng)用例1平面內(nèi)到點A(0，－3)和B(3，1)距離的和為6的動點軌跡為(

)A．橢圓 B．圓C．線段 D．射線跟蹤訓(xùn)練已知P，Q為橢圓上兩點且F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，當(dāng)|PF1|＝4時，|PF2|＝8．求點Q在運動過程中，|QF1|·|QF2|的最大值．A

課堂練習(xí)：

18解：由于橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義得從而b2=a2-c2

=10-4=6.因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)又c=2,定義法題型二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

19由已知c=2,得a2-b2=4.①

另解：由題意,橢圓的焦點在x軸上,設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為你還能用其他方法求它的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？聯(lián)立①②解方程組,得a2

=10,b2=6.所以,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)②

待定系數(shù)法

20(2)由已知得b2=a2-c2=16-15=1,

解得a=6,b=4.∴a-b=2,c2=a2-b2=(a+b)(a-b),

由2.

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a=4,b=1,焦點在x軸上;

a-b=2.a+b=10,

課堂練習(xí)：小結(jié)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要先定“位”，

a,b,c滿足的關(guān)系有：根據(jù)焦點位置設(shè)方程，代入計算出待定字母的值；通用性強，適用于已知橢圓上點的坐標(biāo)或多個參數(shù)的題目。用定義尋找a,b,c的方程；小巧高效，適用于已知焦點坐標(biāo)和定長的題目。(1)定義法：(2)待定系數(shù)法：即求a,b

的大小.即確定焦點的位置；其次是定“量”，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法有：總結(jié)歸納—求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程22所以

x2+4y2=4,解:設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),

例3

如圖,在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？因為點P在圓x2+y2=4上,xyMPDO(x,y)所以點M的軌跡是橢圓.相關(guān)點代入法即題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問題由例2我們發(fā)現(xiàn),圓通過“壓縮”可得到橢圓,你能描述一下圖像變換的過程嗎？23Oxy你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？Oxy縱向壓縮圓x2+y2=4x2+(2y)2=4

橫坐標(biāo)保持不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱向拉伸

橫坐標(biāo)保持不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膱Ax2+y2=4

24所以點M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點的橢圓.化簡,得點M的軌跡方程為

MOxy解：設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),得到橢圓的方法有定義，圓的伸縮，到兩定點斜率乘積為定值你還有別的方法得到橢圓嗎？課堂小結(jié)（1）橢圓的定義：（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：對稱美、簡潔美

2、本節(jié)課的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想有哪些?（1）具體方法：坐標(biāo)法、待定系數(shù)