2025年小升初數(shù)學(xué)試題牛吃草問題一、牛吃草問題的核心概念牛吃草問題，又稱牛頓問題或消長問題，是17世紀(jì)英國科學(xué)家牛頓提出的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型。其本質(zhì)是研究動態(tài)平衡系統(tǒng)中，兩個(gè)變量（如草的生長與牛的消耗）之間的數(shù)量關(guān)系。這類問題的顯著特征是：在變化過程中存在兩個(gè)不變量——牧場原有的草量和草的生長速度（或減少速度）。在小升初數(shù)學(xué)考試中，牛吃草問題常以實(shí)際生活場景為背景，如牧場吃草、水池抽水、檢票入場等，重點(diǎn)考察學(xué)生將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，以及對線性方程和比例關(guān)系的綜合應(yīng)用能力。二、核心公式與推導(dǎo)原理解決牛吃草問題需掌握四個(gè)基本公式，其推導(dǎo)基于“假設(shè)每頭牛每天吃草量為1份”的簡化模型，通過對比不同條件下的總草量差異，反推出草的生長速度和原有草量。1.草的生長速度公式公式：草的生長速度=（對應(yīng)牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-相應(yīng)牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù)）原理：當(dāng)牛吃的天數(shù)越多，草生長的總量越多，兩者的差值即為“多出天數(shù)內(nèi)生長的草量”。例如，若10頭牛吃20天的總草量為200份，15頭牛吃10天的總草量為150份，兩者相差50份，這是由于多生長了10天導(dǎo)致的，因此每天生長量為50÷10=5份。2.原有草量公式公式：原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長速度×吃的天數(shù)原理：總草量由原有草量和生長草量兩部分組成，減去生長草量即可得到初始草量。以上例為例，原有草量=10×20-5×20=100份（或15×10-5×10=100份）。3.吃的天數(shù)公式公式：吃的天數(shù)=原有草量÷（牛頭數(shù)-草的生長速度）原理：牛頭數(shù)中需扣除“專門吃新草的?！?，剩余牛才消耗原有草量。例如，25頭牛中，5頭吃每天新長的5份草，剩余20頭吃原有100份草，可吃100÷20=5天。4.牛頭數(shù)公式公式：牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長速度原理：所需牛分為兩部分，一部分吃原有草，另一部分吃新長草。若要求10天吃完100份原有草，則需100÷10=10頭牛，加上吃新草的5頭牛，共需15頭牛。三、標(biāo)準(zhǔn)解題步驟牛吃草問題的解題過程可概括為“四步分析法”，適用于各類基礎(chǔ)題型和變式題型：第一步：設(shè)定單位量假設(shè)每頭牛每天吃草量為“1份”，將牛的吃草速度標(biāo)準(zhǔn)化，簡化后續(xù)計(jì)算。第二步：計(jì)算草的生長（或減少）速度根據(jù)題目給出的兩組條件（不同牛頭數(shù)對應(yīng)不同天數(shù)），代入“生長速度公式”計(jì)算。若草在減少（如冬季枯萎），則公式結(jié)果為負(fù)數(shù)，代表每天減少的草量。第三步：計(jì)算原有草量利用“原有草量公式”，代入任意一組條件及已求出的生長速度，求出牧場初始草量。第四步：求解目標(biāo)問題根據(jù)題目所求（天數(shù)、牛頭數(shù)等），選擇對應(yīng)公式代入計(jì)算。若涉及多階段變化（如中途增加牛的數(shù)量），需分段計(jì)算草量變化。四、基礎(chǔ)題型示例與解析例1：基礎(chǔ)生長型題目：牧場上一片青草，每天牧草勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？解析：設(shè)定單位量：每頭牛每天吃草1份。計(jì)算生長速度：草的生長速度=（10×20-15×10）÷（20-10）=（200-150）÷10=5份/天。計(jì)算原有草量：原有草量=10×20-5×20=200-100=100份。求吃的天數(shù)：25頭牛中，5頭吃新草，剩余20頭吃原有草，天數(shù)=100÷（25-5）=5天。答案：5天。例2：草量減少型題目：深秋牧場的草勻速減少，已知20頭牛吃5天，或15頭牛吃6天。問：可供多少頭牛吃10天？解析：設(shè)定單位量：每頭牛每天吃草1份。計(jì)算減少速度：草的減少速度=（20×5-15×6）÷（6-5）=（100-90）÷1=10份/天（此處天數(shù)差為6-5，因草在減少，吃的天數(shù)越多總草量越少）。計(jì)算原有草量：原有草量=20×5+10×5=100+50=150份（減少型需用“+”號，因原有草量=總草量+減少草量）。求牛頭數(shù)：10天內(nèi)草共減少10×10=100份，剩余草量=150-100=50份，可供50÷10=5頭牛。答案：5頭。五、變式題型拓展2025年小升初考試中，牛吃草問題常與其他知識點(diǎn)結(jié)合，衍生出多動物、多牧場、變速生長等復(fù)雜題型，需通過“不變量分析”和“分段計(jì)算”突破。變式1：多動物參與型題目：一片草地可供8只羊吃20天，或14只羊吃10天?，F(xiàn)有羊若干只，吃4天后增加6只，又吃2天將草吃完，原有羊多少只？解析：統(tǒng)一單位：羊每天吃草1份。生長速度=（8×20-14×10）÷（20-10）=（160-140）÷10=2份/天。原有草量=8×20-2×20=160-40=120份。分段計(jì)算：設(shè)原有羊x只，前4天吃草4x份，新長草4×2=8份，剩余草量=120+8-4x=128-4x。后2天羊的數(shù)量為x+6，吃草2(x+6)份，新長草2×2=4份，剩余草量=（128-4x）+4-2(x+6)=128-4x+4-2x-12=120-6x。草吃完時(shí)剩余草量為0，即120-6x=0，解得x=20。答案：20只。變式2：抽水機(jī)問題（逆向牛吃草）題目：一水池有泉水勻速涌出，10臺抽水機(jī)20小時(shí)抽干，15臺抽水機(jī)10小時(shí)抽干。問25臺抽水機(jī)幾小時(shí)抽干？解析：設(shè)定單位：每臺抽水機(jī)每小時(shí)抽水量1份。泉水涌出速度=（10×20-15×10）÷（20-10）=5份/小時(shí)。原有水量=10×20-5×20=100份。抽水時(shí)間=100÷（25-5）=5小時(shí)（25臺中有5臺抽新涌出的水）。答案：5小時(shí)。變式3：檢票口問題（多人流模型）題目：超市9時(shí)開門，開門前有人排隊(duì)，每分鐘來的顧客數(shù)相同。開4個(gè)門需8分鐘進(jìn)完，開6個(gè)門需4分鐘進(jìn)完。問第一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間？解析：設(shè)定單位：每個(gè)門每分鐘進(jìn)客1份。顧客增長速度=（4×8-6×4）÷（8-4）=（32-24）÷4=2份/分鐘。開門前排隊(duì)人數(shù)=4×8-2×8=32-16=16份。排隊(duì)時(shí)間=16÷2=8分鐘（每分鐘來2人，16人需8分鐘），故第一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間為8時(shí)52分（9時(shí)-8分鐘）。答案：8時(shí)52分。六、易錯(cuò)點(diǎn)與解題技巧1.易混淆“生長”與“減少”模型生長型：原有草量=牛頭數(shù)×天數(shù)-生長速度×天數(shù)（用“-”）。減少型：原有草量=牛頭數(shù)×天數(shù)+減少速度×天數(shù)（用“+”）。技巧：通過比較總草量判斷草的增減趨勢，天數(shù)越多總草量越大則為生長型，反之為減少型。2.多階段問題需分段計(jì)算如中途增加牛的數(shù)量、草的生長速度變化等，需將時(shí)間分為不同階段，分別計(jì)算草量變化。例如“吃4天后增加6只羊”，需先算前4天剩余草量，再算后2天的消耗。3.統(tǒng)一單位與假設(shè)法的應(yīng)用當(dāng)題目中出現(xiàn)“牛和羊”“大抽水機(jī)和小抽水機(jī)”等不同主體時(shí)，需先統(tǒng)一單位，如“1頭牛=2只羊”，再代入公式計(jì)算。七、2025年命題趨勢分析從近年小升初真題來看，牛吃草問題的命題呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：與生活場景結(jié)合更緊密：如疫情期間的口罩生產(chǎn)（消耗與補(bǔ)充）、快遞分揀（入庫與出庫）等，需學(xué)生具備場景轉(zhuǎn)化能力。多變量融合：結(jié)合行程問題（如牛追草的動態(tài)過程）、經(jīng)濟(jì)問題（如成本消耗與利潤增長），考察綜合解題能力。數(shù)據(jù)更隱蔽：題目中可能不直接給出“牛頭數(shù)”和“天數(shù)”，而是通過圖表、對話等形式呈現(xiàn)，需學(xué)生提取關(guān)鍵信息。例如，2025年模擬題中出現(xiàn)：“某水庫有10個(gè)泄洪閘，全開8小時(shí)可將水位從警戒水位降至安全水位；開6個(gè)泄洪閘需24小時(shí)。若每小時(shí)入庫水量穩(wěn)定，問開8個(gè)泄洪閘需幾小時(shí)？”此類題目本質(zhì)為牛吃草問題的變形，泄洪閘相當(dāng)于“?！保霂焖肯喈?dāng)于“草的生長速度”，初始水位差相當(dāng)于“原有草量”，代入公式即可求解。八、強(qiáng)化訓(xùn)練題基礎(chǔ)題：一片草地可供27頭牛吃6天，23頭牛吃9天，問21頭牛吃幾天？（答案：12天）減少型：冬天牧場草每天減少，50頭牛吃10天，30頭牛吃15天，問20頭牛吃幾天？（答案：20天）多動物題：2頭牛和4只羊一天吃10斤草，8頭牛和6只羊一天吃36斤草，問1頭牛和1只羊一天各吃多少斤？（答案：牛4斤，羊0.5斤）變速生長題：某草地前10天每天長草5份，10天后每